Holomorph (matematika) - Holomorph (mathematics)

v matematika, zejména v oblasti algebra známý jako teorie skupin, holomorf a skupina je skupina, která současně obsahuje (kopie) skupiny a jejích automorfická skupina. Holomorf poskytuje zajímavé příklady skupin a umožňuje jednat se skupinovými prvky a skupinovými automorfismy v jednotném kontextu. V teorii skupin pro skupinu ${ displaystyle G}$, holomorf z ${ displaystyle G}$ označeno ${ displaystyle operatorname {Hol} (G)}$ lze popsat jako a polopřímý produkt nebo jako permutační skupina.

Hol (G) jako polopřímý produkt

Li ${ displaystyle operatorname {Aut} (G)}$ je automorfická skupina z ${ displaystyle G}$ pak

${ displaystyle operatorname {Hol} (G) = G rtimes operatorname {Aut} (G)}$

kde násobení je dáno

${ displaystyle (g, alpha) (h, beta) = (g alpha (h), alpha beta).}$ [Rov. 1]

Typicky je polopřímý produkt uveden ve formuláři ${ displaystyle G rtimes _ { phi} A}$ kde ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle A}$ jsou skupiny a ${ displaystyle phi: rightarrow operatorname {Aut} (G)}$ je homomorfismus a kde je násobení prvků v polopřímém produktu uvedeno jako

${ displaystyle (g, a) (h, b) = (g phi (a) (h), ab)}$

který je dobře definované, od té doby ${ displaystyle phi (a) v operatorname {Aut} (G)}$ a proto ${ displaystyle phi (a) (h) v G}$.

Pro holomorfa ${ displaystyle A = operatorname {Aut} (G)}$ a ${ displaystyle phi}$ je mapa identity jako takové potlačujeme psaní ${ displaystyle phi}$ výslovně v násobení uvedeném v [Rov. 1] výše.

Například,

• ${ displaystyle G = C_ {3} = langle x rangle = {1, x, x ^ {2} }}$ the cyklická skupina objednávky 3
• ${ displaystyle operatorname {Aut} (G) = langle sigma rangle = {1, sigma }}$ kde ${ displaystyle sigma (x) = x ^ {2}}$
• ${ displaystyle operatorname {Hol} (G) = {(x ^ {i}, sigma ^ {j}) }}$ s násobením daným:

${ displaystyle (x ^ {i_ {1}}, sigma ^ {j_ {1}}) (x ^ {i_ {2}}, sigma ^ {j_ {2}}) = (x ^ {i_ { 1} + i_ {2} 2 ^ {^ {j_ {1}}}}, sigma ^ {j_ {1} + j_ {2}})}$ kde exponenty ${ displaystyle x}$ jsou převzaty mod 3 a ti z ${ displaystyle sigma}$ mod 2.

Pozorujte například

${ displaystyle (x, sigma) (x ^ {2}, sigma) = (x ^ {1 + 2 cdot 2}, sigma ^ {2}) = (x ^ {2}, 1)}$

a tato skupina není abelian, tak jako ${ displaystyle (x ^ {2}, sigma) (x, sigma) = (x, 1)}$, aby ${ displaystyle operatorname {Hol} (C_ {3})}$ je neabelská skupina řádu 6, což podle základní teorie grup musí být izomorfní do symetrická skupina ${ displaystyle S_ {3}}$.

Hol (G) jako permutační skupina

Skupina G působí přirozeně na sebe levým a pravým násobením, z nichž každá vede k a homomorfismus z G do symetrická skupina na podkladové sadě G. Jeden homomorfismus je definován jako λ: G → Sym (G), λ(G)(h) = G·h. To znamená G je mapován na permutace získáno vynásobením levého každého prvku G podle G. Podobně druhý homomorfismus ρ: G → Sym (G) je definován ρ(G)(h) = h·G⁻¹, kde inverzní zajišťuje, že ρ(G·h)(k) = ρ(G)(ρ(h)(k)). Tyto homomorfismy se nazývají levý a pravý pravidelné reprezentace z G. Každý homomorfismus je injekční, skutečnost označovaná jako Cayleyho věta.

Například pokud G = C₃ = {1, X, X² } je cyklická skupina řádu tři, tedy

• λ(X)(1) = X·1 = X,
• λ(X)(X) = X·X = X², a
• λ(X)(X²) = X·X² = 1,

tak λ(X) trvá (1, X, X²) do (X, X², 1).

Obrázek uživatele λ je podskupinou Sym (G) izomorfní s G, a jeho normalizátor v Sym (G) je definován jako holomorf N z G. Pro každého n v N a G v G, tady je h v G takhle n·λ(G) = λ(h)·n. Pokud prvek n holomorfu opravuje identita z G, pak na 1 palec G, (n·λ(G))(1) = (λ(h)·n) (1), ale levá strana je n(G) a pravá strana je h. Jinými slovy, pokud n v N opravuje identitu G, pak pro každého G v G, n·λ(G) = λ(n(G))·n. Li G, h jsou prvky G, a n je prvek N kterým se stanoví totožnost G, pak tuto rovnost aplikujte dvakrát na n·λ(G)·λ(h) a jednou na (ekvivalentní) výraz n·λ(G·h) dává to n(G)·n(h) = n(G·h). To znamená, že každý prvek N který opravuje identitu G je ve skutečnosti automorfismus z G. Takový n normalizuje λ(G) a jediný λ(G), který opravuje identitu λ(1). Nastavení A být stabilizátor identity, podskupina generovaná A a λ(G) je polopřímý produkt s normální podskupina λ(G) a doplněk A. Od té doby λ(G) je tranzitivní, podskupina generovaná λ(G) a stabilizátor bodu A je vše z N, který ukazuje, že holomorf jako permutační skupina je izomorfní pro holomorf jako polopřímý produkt.

Je užitečné, ale ne přímo relevantní, že centralizátor z λ(G) v Sym (G) je ρ(G), jejich křižovatka je ρ(Z (G)) = λ(Z (G)), kde Z (G) je centrum z G, a to A je společným doplňkem obou těchto normálních podskupin N.

Vlastnosti

• ρ(G) ∩ Aut (G) = 1
• Aut (G) normalizuje ρ(G) aby kanonicky ρ(G) Aut (G) ≅ G ⋊ Aut (G)
• ${ displaystyle operatorname {Inn} (G) cong operatorname {Im} (g mapsto lambda (g) rho (g))}$ od té doby λ(G)ρ(G)(h) = ghg⁻¹ (${ displaystyle operatorname {Inn} (G)}$ je skupina vnitřní automorfismy z G.)
• K. ≤ G je charakteristická podskupina kdyby a jen kdyby λ(K.) ⊴ Hol (G)

Reference

• Hall, Marshall, Jr. (1959), Teorie grup, Macmillan, PAN  0103215