Kvocient podle vztahu ekvivalence - Quotient by an equivalence relation

v matematika, vzhledem k tomu, kategorie C, a kvocient z objekt X vztahem ekvivalence ${ displaystyle f: R až X krát X}$ je ekvalizér pro dvojici map

${ displaystyle R { nadměrné {f} { to}} X krát X { nadměrné { operatorname {pr} _ {i}} { to}} X, i = 1, 2,}$

kde R je objekt v C a "F je ekvivalenční vztah "znamená, že pro jakýkoli objekt T v C, obrázek (což je a soubor ) z ${ displaystyle f: R (T) = operatorname {Mor} (T, R) až X (T) krát X (T)}$ je vztah ekvivalence; to je, a reflexní, symetrický a tranzitivní vztah.

Základní případ v praxi je ten, kdy C je kategorie všech schémat nad nějakým schématem S. Ale představa je flexibilní a lze ji také přijmout C být kategorií snopy.

Příklady

• Nechat X být množinou a zvážit na ní nějaký vztah ekvivalence. Nechat Q být množinou všeho tříd ekvivalence v X. Pak mapa ${ displaystyle q: X až Q}$ který pošle prvek X do třídy ekvivalence X patří je kvocient.
• Ve výše uvedeném příkladu Q je podmnožina z napájecí sada H z X. v algebraická geometrie, jeden by mohl nahradit H podle a Hilbertovo schéma nebo disjunktní spojení Hilbertových schémat. Grothendieck ve skutečnosti vytvořil příbuzného Picardovo schéma plochého projektivního schématu X^[1] jako kvocient Q (režimu Z parametrizace relativní efektivní dělitelé na X), což je uzavřené schéma Hilbertova schématu H. Mapa kvocientu ${ displaystyle q: Z až Q}$ pak lze považovat za relativní verzi Mapa Abel.

Viz také

• Kategorický kvocient speciální případ

Poznámky

Reference

• Nitsure, N. Konstrukce schémat Hilberta a Quota. Základní algebraická geometrie: vysvětlila Grothendieckova FGA, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society 2005, 105–137.