Hopfova fibrace - Hopf fibration - Wikipedia

Hopfovu fibraci lze vizualizovat pomocí a stereografická projekce z S³ na R³ a pak komprimovat R³ na hranici koule. Tento obrázek ukazuje body na S² a jejich odpovídající vlákna se stejnou barvou.

Párové propojení klíčenky napodobuje část Hopfovy fibrace.

V matematické oblasti diferenciální topologie, Hopfova fibrace (také známý jako Hopfův svazek nebo Hopf mapa) popisuje a 3 koule (A hypersféra v čtyřrozměrný prostor ) ve smyslu kruhy a obyčejný koule. Objevil Heinz Hopf v roce 1931 se jedná o vlivný raný příklad a svazek vláken. Technicky Hopf našel mnoho ku jedné spojitá funkce (nebo "mapa") z 3- koule na 2- sféra taková, že každá odlišná směřovat z 2-sphere je mapován z odlišného velký kruh z 3- koule (Hopf 1931 ).^[1] Tak 3- koule se skládá z vláken, kde každé vlákno je kruh - jeden pro každý bod 2-koule.

Tato struktura svazku vláken je označena

${ displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {3} { xrightarrow { p ,}} S ^ {2},}$

což znamená, že vláknový prostor S¹ (kruh) je vložený v celkovém prostoru S³ (dále jen 3-sphere) a str : S³ → S² (Mapa Hopfa) S³ do základního prostoru S² (obyčejný 2-koule). Hopfova fibrace, jako každý svazek vláken, má důležitou vlastnost, kterou má lokálně A produktový prostor. Není to však triviální svazek vláken, tj. S³ není globálně produkt S² a S¹ i když místně je to k nerozeznání od toho.

To má mnoho důsledků: například existence tohoto balíčku ukazuje, že vyšší homotopické skupiny koulí nejsou banální obecně. Poskytuje také základní příklad a hlavní balíček, identifikací vlákna s kruhová skupina.

Stereografická projekce Hopfovy fibrace vyvolává pozoruhodnou strukturu na R³, ve kterém je prostor vyplněn vnořenými Tori z propojení Villarceauovy kruhy. Zde každé vlákno promítá na a kruh v prostoru (z nichž jedna je čára, o které se uvažuje jako o „kruhu do nekonečna“). Každý torus je stereografická projekce inverzní obraz kruhu zeměpisné šířky 2-koule. (Topologicky je torus produktem dvou kruhů.) Tyto tori jsou znázorněny na obrázcích vpravo. Když R³ je stlačen na hranici koule, dojde ke ztrátě určité geometrické struktury, ačkoli topologická struktura je zachována (viz Topologie a geometrie ). Smyčky jsou homeomorfní do kruhů, i když nejsou geometrické kruhy.

Existuje celá řada zobecnění Hopfovy fibrace. Jednotková koule v složitý souřadnicový prostor Cⁿ⁺¹ vlákna přirozeně přes složitý projektivní prostor CPⁿ s kruhy jako vlákny a existují také nemovitý, kvartérní,^[2] a octonionic verze těchto fibrací. Zejména Hopfova fibrace patří do rodiny čtyř svazků vláken, ve kterých jsou celkový prostor, základní prostor a vláknový prostor všechny sféry:

${ displaystyle S ^ {0} hookrightarrow S ^ {1} na S ^ {1},}$

${ displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {3} na S ^ {2},}$

${ displaystyle S ^ {3} hookrightarrow S ^ {7} na S ^ {4},}$

${ displaystyle S ^ {7} hookrightarrow S ^ {15} na S ^ {8}.}$

Podle Adamsova věta k těmto fibracím může dojít pouze v těchto rozměrech.

Hopfova fibrace je důležitá v teorie twistorů.

Definice a konstrukce

Pro všechny přirozené číslo n, an n-dimenzionální koule, nebo n-koule, lze definovat jako množinu bodů v ${ displaystyle (n + 1)}$-dimenzionální prostor které jsou pevnou vzdáleností od středu směřovat. Pro úplnost lze za centrální bod považovat původ a vzdálenost bodů na kouli od tohoto počátku lze považovat za jednotku délky. S touto úmluvou n-koule, ${ displaystyle S ^ {n}}$, se skládá z bodů ${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n + 1})}$ v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$ s X₁² + X₂² + ⋯+ X_{n + 1}² = 1. Například 3- koule se skládá z bodů (X₁, X₂, X₃, X₄) v R⁴ s X₁² + X₂² + X₃² + X₄² = 1.

Hopfova fibrace str: S³ → S² z 3- koule nad 2-sphere lze definovat několika způsoby.

Přímá konstrukce

Identifikovat R⁴ s C² a R³ s C × R (kde C označuje komplexní čísla ) napsáním:

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) leftrightarrow (z_ {0}, z_ {1}) = (x_ {1} + ix_ {2}, x_ {3} + ix_ {4})}$

a

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) leftrightarrow (z, x) = (x_ {1} + ix_ {2}, x_ {3})}$.

Tím pádem S³ je identifikován s podmnožina ze všech (z₀, z₁) v C² takhle |z₀|² + |z₁|² = 1, a S² je identifikován s podmnožinou všech (z, X) v C×R takhle |z|² + X² = 1. (Tady, pro komplexní číslo z = X + iy, |z|² = z z^∗ = X² + y², kde hvězda označuje komplexní konjugát.) Pak Hopfova fibrace str je definováno

${ displaystyle p (z_ {0}, z_ {1}) = (2z_ {0} z_ {1} ^ { ast}, left | z_ {0} right | ^ {2} - left | z_ {1} vpravo | ^ {2}).}$

První složka je komplexní číslo, zatímco druhá složka je skutečná. Jakýkoli bod na 3- koule musí mít tu vlastnost, která |z₀|² + |z₁|² = 1. Pokud je to tak, pak str(z₀, z₁) leží na jednotce 2-sphere dovnitř C × R, jak může být ukázáno čtvercem složitých a skutečných složek str

${ displaystyle 2z_ {0} z_ {1} ^ { ast} cdot 2z_ {0} ^ { ast} z_ {1} + left ( left | z_ {0} right | ^ {2} - left | z_ {1} right | ^ {2} right) ^ {2} = 4 left | z_ {0} right | ^ {2} left | z_ {1} right | ^ {2 } + left | z_ {0} right | ^ {4} -2 left | z_ {0} right | ^ {2} left | z_ {1} right | ^ {2} + left | z_ {1} right | ^ {4} = left ( left | z_ {0} right | ^ {2} + left | z_ {1} right | ^ {2} right) ^ {2 } = 1}$

Dále, pokud se dva body na 3 sféře mapují na stejný bod na 2 sféře, tj. Pokud str(z₀, z₁) = str(w₀, w₁), pak (w₀, w₁) musí se rovnat (λ z₀, λ z₁) pro nějaké komplexní číslo λ s |λ|² = 1. Opak je také pravdivý; libovolné dva body na 3- koule, které se liší společným komplexním faktorem λ mapa do stejného bodu na mapě 2-koule. Tyto závěry následovat, protože složitý faktor λ ruší komplexním konjugátem λ^∗ v obou částech str: v komplexu 2z₀z₁^∗ komponenta a ve skutečné komponentě |z₀|² − |z₁|².

Od množiny komplexních čísel λ s |λ|² = 1 tvoří jednotkovou kružnici v komplexní rovině, vyplývá z toho, že pro každý bod m v S², inverzní obraz str⁻¹(m) je kruh, tj. str⁻¹m ≅ S¹. Tak 3- koule je realizována jako a disjunktní unie těchto kruhových vláken.

Přímá parametrizace 3- sféra využívající Hopfovu mapu je následující.^[3]

${ displaystyle z_ {0} = e ^ {i , { frac { xi _ {1} + xi _ {2}} {2}}} sin eta}$

${ displaystyle z_ {1} = e ^ {i , { frac { xi _ {2} - xi _ {1}} {2}}} cos eta.}$

nebo v euklidovštině R⁴

${ displaystyle x_ {1} = cos left ({ frac { xi _ {1} + xi _ {2}} {2}} right) sin eta}$

${ displaystyle x_ {2} = sin left ({ frac { xi _ {1} + xi _ {2}} {2}} right) sin eta}$

${ displaystyle x_ {3} = cos vlevo ({ frac { xi _ {2} - xi _ {1}} {2}} vpravo) cos eta}$

${ displaystyle x_ {4} = sin left ({ frac { xi _ {2} - xi _ {1}} {2}} right) cos eta}$

Kde η běží přes rozsah 0 na π/2, ξ₁ běží přes rozsah 0 a 2π a ξ₂ může nabývat jakýchkoli hodnot mezi 0 a 4π. Každá hodnota η, až na 0 a π/2 které určují kruhy, určuje samostatné plochý torus v 3- koule a jeden zpáteční let (0 na 4π) buď ξ₁ nebo ξ₂ způsobí, že vytvoříte jeden plný kruh obou končetin torusu.

Mapování výše uvedené parametrizace na 2-sphere je následující, s body na kružnicích parametrizovanými podle ξ₂.

${ displaystyle z = cos (2 eta)}$

${ displaystyle x = sin (2 eta) cos xi _ {1}}$

${ displaystyle y = sin (2 eta) sin xi _ {1}}$

Geometrická interpretace pomocí komplexní projektivní linie

Geometrickou interpretaci fibrace lze získat pomocí komplexní projektivní linie, CP¹, který je definován jako množina všech komplexních jednorozměrných podprostory z C². Ekvivalentně CP¹ je kvocient z C²\{0} podle vztah ekvivalence který identifikuje (z₀, z₁) s (λ z₀, λ z₁) pro jakékoli nenulové komplexní číslo λ. Na libovolném komplexním řádku v C² existuje kruh jednotkové normy, a tak omezení kvocientová mapa k bodům jednotkové normy je fibrace S³ přes CP¹.

CP¹ je difeomorfní s a 2-sphere: ve skutečnosti to může být identifikováno s Riemannova koule C_∞ = C ∪ {∞}, který je jednobodové zhutnění z C (získáno přidáním a bod v nekonečnu ). Vzorec uvedený pro str výše definuje explicitní difeomorfismus mezi komplexní projektivní linií a obyčejnou 2-sphere dovnitř 3-rozměrný prostor. Případně bod (z₀, z₁) lze mapovat na poměr z₁/z₀ v Riemannově sféře C_∞.

Struktura svazku vláken

Hopfova fibrace definuje a svazek vláken, s projekcí svazku str. To znamená, že má „místní strukturu produktu“ v tom smyslu, že každý bod 2- koule nějaké má sousedství U jehož inverzní obraz v 3-sféra může být identifikováno s produkt z U a kruh: str⁻¹(U) ≅ U × S¹. Taková fibrace se říká místně triviální.

Pro Hopfovu fibraci stačí odstranit jediný bod m z S² a odpovídající kruh str⁻¹(m) z S³; tak si člověk může vzít U = S²\{m}a jakýkoli bod v S² má sousedství této formy.

Geometrická interpretace pomocí rotací

Další geometrickou interpretaci Hopfovy fibrace lze získat zvážením rotací 2- koule v obyčejném 3-rozměrný prostor. The rotační skupina SO (3) má dvojitý kryt, spinová skupina Spin (3), difeomorfní do 3-koule. Spin skupina působí přechodně na S² rotací. The stabilizátor bodu je isomorfní s kruhová skupina. Z toho snadno vyplývá, že 3- koule je svazek hlavního kruhu přes 2- koule, a to je Hopfova fibrace.

Aby to bylo jasnější, existují dva přístupy: skupina Spin (3) lze buď identifikovat se skupinou Sp (1) jednotky čtveřice, nebo s speciální jednotná skupina SU (2).

V prvním přístupu vektor (X₁, X₂, X₃, X₄) v R⁴ je interpretován jako čtveřice q ∈ H písemně

${ displaystyle q = x_ {1} + mathbf {i} x_ {2} + mathbf {j} x_ {3} + mathbf {k} x_ {4}. , !}$

The 3- koule je pak identifikována s versors, čtveřice jednotkové normy, ty q ∈ H pro který |q|² = 1, kde |q|² = q q^∗, což se rovná X₁² + X₂² + X₃² + X₄² pro q jak je uvedeno výše.

Na druhou stranu vektor (y₁, y₂, y₃) v R³ lze interpretovat jako imaginární čtveřice

${ displaystyle p = mathbf {i} y_ {1} + mathbf {j} y_ {2} + mathbf {k} y_ {3}. , !}$

Pak, jak je dobře známo od té doby Cayley (1845), mapování

${ displaystyle p mapsto qpq ^ {*} , !}$

je rotace v R³: ve skutečnosti je to jednoznačně izometrie, od té doby |q p q^∗|² = q p q^∗ q str^∗ q^∗ = q p str^∗ q^∗ = |str|²a není těžké zkontrolovat, zda zachovává orientaci.

Ve skutečnosti to identifikuje skupinu versors se skupinou rotací R³, modulo skutečnost, že versors q a −q určit stejnou rotaci. Jak je uvedeno výše, rotace působí přechodně S²a množina protivníků q které opravují daného pravého versora str mít formu q = u + proti str, kde u a proti jsou reálná čísla s u² + proti² = 1. Toto je podskupina kruhů. Pro konkrétnost lze vzít str = k, a pak lze Hopfovu fibraci definovat jako mapu posílající versora ω na ω k ω^∗. Všechny čtveřice ωq, kde q je jedním z kruhu veršů, který opravuje k, namapujte na stejnou věc (což je náhodou jedna ze dvou 180° rotace rotující k na stejné místo jako ω dělá).

Dalším způsobem, jak se na tuto fibraci dívat, je to, že každý versor ω pohybuje rovinou rozloženou kolem {1, k} do nového letadla překlenutého o {ω, ωk}. Jakýkoli čtveřice ωq, kde q je jedním z kruhu veršů, které opravují k, bude mít stejný účinek. Dali jsme všechny tyto do jednoho vlákna a vlákna mohou být mapována jedna k jedné na 2- sféra 180° rotace, což je rozsah ωkω^*.

Tento přístup souvisí s přímou konstrukcí identifikací čtveřice q = X₁ + i X₂ + j X₃ + k X₄ s 2×2 matice:

${ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} + mathbf {i} x_ {2} & x_ {3} + mathbf {i} x_ {4} - x_ {3} + mathbf {i} x_ {4} & x_ {1} - mathbf {i} x_ {2} end {bmatrix}}. , !}$

Tím se identifikuje skupina versors s SU (2), a imaginární čtveřice se šikmým poustevníkem 2×2 matice (izomorfní až C × R).

Explicitní vzorce

Rotace vyvolaná jednotkovým čtveřicí q = w + i X + j y + k z je výslovně dán ortogonální matice

${ displaystyle { begin {bmatrix} 1-2 (y ^ {2} + z ^ {2}) & 2 (xy-wz) & 2 (xz + wy) 2 (xy + wz) & 1-2 (x ^ {2} + z ^ {2}) & 2 (yz-wx) 2 (xz-wy) & 2 (yz + wx) & 1-2 (x ^ {2} + y ^ {2}) end { bmatrix}}.}$

Zde najdeme explicitní skutečný vzorec pro projekci svazku tím, že si všimneme, že vektor pevné jednotky podél z osa, (0,0,1), otočí se na jiný jednotkový vektor,

${ displaystyle { Big (} 2 (xz + wy), 2 (yz-wx), 1-2 (x ^ {2} + y ^ {2}) { Big)}, , !}$

což je spojitá funkce (w, X, y, z). To znamená, obraz q je bod na 2- sféra, kam posílá jednotkový vektor podél z osa. Vlákno pro daný bod S² se skládá ze všech těch čtverců jednotek, které tam posílají jednotkový vektor.

Můžeme také napsat explicitní vzorec pro vlákno přes bod (A, b, C) v S². Násobení čtverců jednotek vytváří složení rotací a

${ displaystyle q _ { theta} = cos theta + mathbf {k} sin theta}$

je rotace o 2θ okolo z osa. Tak jako θ se liší, toto zametá a velký kruh z S³, naše prototypové vlákno. Pokud je základní bod, (A, b, C), není antipod, (0, 0, −1)čtveřice

${ displaystyle q _ {(a, b, c)} = { frac {1} { sqrt {2 (1 + c)}}} (1 + c- mathbf {i} b + mathbf {j} a )}$

pošlu (0, 0, 1) na (A, b, C). Tak vlákno (A, b, C) je dáno čtveřicemi formy q_{(A, b, C)}q_θ, což jsou S³ bodů

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2 (1 + c)}}} { Big (} (1 + c) cos ( theta), a sin ( theta) -b cos ( theta), a cos ( theta) + b sin ( theta), (1 + c) sin ( theta) { Big)}. , !}$

Od násobení q_(A,b,C) působí jako rotace čtvercového prostoru, vlákno není pouze topologický kruh, je to geometrický kruh.

Konečné vlákno pro (0, 0, −1), lze zadat definováním q_(0,0,−1) rovnat se i, produkující

${ displaystyle { Big (} 0, cos ( theta), - sin ( theta), 0 { Big)},}$

který doplňuje balíček. Ale všimněte si, že toto individuální mapování mezi S³ a S²×S¹ není v tomto kruhu kontinuální, což odráží skutečnost, že S³ není topologicky ekvivalentní s S²×S¹.

Jednoduchý způsob vizualizace Hopfovy fibrace je tedy následující. Jakýkoli bod na 3-sphere je ekvivalentní a čtveřice, což je zase ekvivalentní konkrétní rotaci a Kartézský souřadnicový rámec ve třech rozměrech. Sada všech možných čtverců vytváří sadu všech možných rotací, která posune špičku jednoho jednotkového vektoru takového souřadnicového rámce (řekněme z vektor) do všech možných bodů na jednotce 2-koule. Upevnění špičky z vektor neurčuje plně rotaci; je možné další otáčení kolem z-osa. To znamená, že 3- koule je mapována na 2- koule plus jedna rotace.

Rotaci lze znázornit pomocí Eulerovy úhly θ, φ a ψ. Hopfovo mapování mapuje rotaci do bodu na 2 sféře dané θ a φ a přidružená kružnice je parametrizována pomocí ψ. Všimněte si, že když θ = π nejsou Eulerovy úhly φ a ψ dobře definovány jednotlivě, takže nemáme mapování one-to-one (nebo mapování one-to-two) mezi 3-torus z (θ, φ, ψ) a S³.

Mechanika tekutin

Pokud se s Hopfovou fibrací zachází jako s vektorovým polem v trojrozměrném prostoru, pak existuje řešení (stlačitelné, neviskózní) Navier-Stokesovy rovnice dynamiky tekutin, ve kterém tekutina proudí podél kruhů projekce Hopfovy fibrace v trojrozměrném prostoru. Pro splnění rovnic lze v každém bodě zvolit velikost rychlostí, hustotu a tlak. Všechna tato množství klesají na nulu a odcházejí od středu. Pokud a je vzdálenost k vnitřnímu prstenci, jsou pole rychlostí, tlaku a hustoty dána vztahem:

${ displaystyle mathbf {v} (x, y, z) = A left (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} right) ^ {- 2 } left (2 (-ay + xz), 2 (ax + yz), a ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} + z ^ {2} right)}$

${ displaystyle p (x, y, z) = - A ^ {2} B vlevo (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} vpravo) ^ { -3},}$

${ displaystyle rho (x, y, z) = 3B vlevo (a ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} vpravo) ^ {- 1}}$

pro libovolné konstanty A a B. Podobné vzory polí se nacházejí jako soliton řešení magnetohydrodynamika:^[4]

Zobecnění

Konstrukce Hopf, viděná jako svazek vláken str: S³ → CP¹, připouští několik zobecnění, které jsou také často známé jako Hopfovy fibrace. Nejprve lze nahradit projektivní linii znakem n-dimenzionální projektivní prostor. Zadruhé, komplexní čísla lze nahradit libovolnými (reálnými) divize algebra, včetně (pro n = 1) octonions.

Skutečné Hopfovy fibrace

Skutečnou verzi Hopfovy fibrace získáme pozorováním kružnice S¹ jako podmnožina R² obvyklým způsobem a identifikací antipodálních bodů. To dává svazek vláken S¹ → RP¹ přes skutečná projektivní linie s vláknem S⁰ = {1, −1}. Stejně jako CP¹ je difeomorfní vůči kouli, RP¹ je difeomorfní vůči kruhu.

Obecněji, n-koule Sⁿ vlákna přes skutečný projektivní prostor RPⁿ s vláknem S⁰.

Složité Hopfovy fibrace

Konstrukce Hopf dává kruhové svazky str : S²ⁿ⁺¹ → CPⁿ přes složitý projektivní prostor. Jedná se vlastně o omezení tautologický svazek linek přes CPⁿ do jednotkové koule dovnitř Cⁿ⁺¹.

Kvartérní Hopfovy fibrace

Podobně lze uvažovat S^{4n + 3} jako ležet H^{n + 1} (kvartérní n-space) a vyčíslit podle čtverce jednotek (= S³) násobení pro získání kvaternionový projektivní prostor HPⁿ. Zejména proto, že S⁴ = HP¹, existuje balíček S⁷ → S⁴ s vláknem S³.

Octonionic Hopfovy fibrace

Podobná konstrukce s octonions získá balíček S¹⁵ → S⁸ s vláknem S⁷. Ale koule S³¹ nevlákne S¹⁶ s vláknem S¹⁵. Jeden může respektovat S⁸ jako oktonionická projektivní čára OP¹. I když lze také definovat oktonionová projektivní rovina OP²koule S²³ nevlákne OP²s vláknem S⁷.^[5][6]

Fibrace mezi koulemi

Někdy je termín „Hopfova fibrace“ omezen na fibrace mezi sférami získanými výše, které jsou

• S¹ → S¹ s vláknem S⁰
• S³ → S² s vláknem S¹
• S⁷ → S⁴ s vláknem S³
• S¹⁵ → S⁸ s vláknem S⁷

Jako důsledek Adamsova věta, svazky vláken s koule protože celkový prostor, základní prostor a vlákno se mohou vyskytovat pouze v těchto rozměrech. Svazky vláken s podobnými vlastnostmi, ale odlišné od Hopfových fibrací, byly používány společností John Milnor konstruovat exotické sféry.

Geometrie a aplikace

Vlákna Hopfovy fibrace stereograficky vyčnívají do rodiny Villarceauovy kruhy v R³.

Hopfova fibrace má mnoho důsledků, některé čistě atraktivní, jiné hlubší. Například, stereografická projekce S³ → R³ vyvolává v systému pozoruhodnou strukturu R³, což zase osvětluje topologii svazku (Lyons 2003 ). Stereografická projekce zachovává kruhy a mapuje Hopfova vlákna na geometricky dokonalé kruhy R³ které vyplňují prostor. Zde existuje jedna výjimka: Hopfův kruh obsahující bod projekce se mapuje na přímku dovnitř R³ - "kruh skrz nekonečno".

Vlákna přes kruh zeměpisné šířky S² tvoří a torus v S³ (topologicky je torus produktem dvou kruhů) a tyto se promítají do vnoření torusy v R³ které také vyplňují prostor. Jednotlivá vlákna se mapují na propojení Villarceauovy kruhy na těchto tori, s výjimkou kruhu skrz promítací bod a kruhu skrz jeho opačný bod: první mapuje na přímku, druhá na jednotkovou kružnici kolmou na tuto přímku, která může být vnímána jako zdegenerovaný torus, jehož menší poloměr se zmenšil na nulu. Každý další obraz vlákna obklopuje také čáru, a tak je symetricky propojen každý kruh každý kruh, oba dovnitř R³ a v S³. Dva takové spojovací kruhy tvoří a Hopfův odkaz v R³

Hopf dokázal, že mapa Hopf má Hopf invariantní 1, a proto tomu tak není nulová homotopie. Ve skutečnosti generuje homotopická skupina π₃(S²) a má nekonečný řád.

v kvantová mechanika, Riemannova sféra je známá jako Bloch koule a Hopfova fibrace popisuje topologickou strukturu kvantové mechaniky dvouúrovňový systém nebo qubit. Podobně je topologie dvojice zapletených dvouúrovňových systémů dána Hopfovou fibrací

${ displaystyle S ^ {3} hookrightarrow S ^ {7} na S ^ {4}.}$

(Mosseri & Dandoloff 2001 ).

Hopfova fibrace je ekvivalentní struktuře svazku vláken Dirac monopol.^[7]

Poznámky

Reference

• Cayley, Arthur (1845), „K určitým výsledkům týkajícím se čtveřic“, Filozofický časopis, 26: 141–145, doi:10.1080/14786444508562684; přetištěno jako článek 20 v Cayley, Arthur (1889), Shromážděné matematické práce Arthura Cayleyho, I, (1841–1853), Cambridge University Press, str. 123–126
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche“, Mathematische Annalen, Berlín: Springer, 104 (1): 637–665, doi:10.1007 / BF01457962, ISSN  0025-5831
• Hopf, Heinz (1935), „Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension“, Fundamenta Mathematicae, Varšava: polský akadem. Sci., 25: 427–440, ISSN  0016-2736
• Lyons, David W. (duben 2003), „Základní úvod do Hopfovy vlákniny“ (PDF ), Matematický časopis, 76 (2): 87–98, doi:10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
• Mosseri, R .; Dandoloff, R. (2001), „Geometrie zapletených stavů, Blochovy koule a Hopfovy fibrace“, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 34 (47): 10243–10252, arXiv:quant-ph / 0108137, Bibcode:2001JPhA ... 3410243M, doi:10.1088/0305-4470/34/47/324.
• Steenrod, Norman (1951), Topologie svazků vláken, PMS 14, Princeton University Press (publikováno 1999), ISBN  978-0-691-00548-5
• Urbantke, H.K. (2003), „Hopfova fibrace sedmkrát ve fyzice“, Journal of Geometry and Physics, 46 (2): 125–150, Bibcode:2003JGP .... 46..125U, doi:10.1016 / S0393-0440 (02) 00121-3.

externí odkazy

• „Hopfova fibrace“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Rozměry Math Kapitoly 7 a 8 ilustrují Hopfovu fibraci pomocí animované počítačové grafiky.
• Základní úvod do Hopfovy fibrace David W. Lyons (PDF )
• Animace YouTube zobrazující dynamické mapování bodů ve 2 sféře na kruhy ve 3 sféře, od profesora Niles Johnsona.
• Animace YouTube o konstrukci 120 buněk Autor: Gian Marco Todesco ukazuje Hopfovu fibraci 120 buněk.
• Video z jednoho 30článkového kruhu 600článkového z http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Interaktivní vizualizace mapování bodů na 2 sféře na kruhy ve 3 sféře