Bohlen – Pierceova stupnice - Bohlen–Pierce scale

Akord ze stupnice Bohlen – Pierce: C-G-A, vyladěný na harmonické 3, 5 a 7. „BP“ nad klíči označuje Bohlen – Piercovu notaci.[Citace je zapotřebí ] O tomto zvukuHrát si (Pomoc ·informace )
Stejný akord v notě Bena Johnstona jen pro intonaci

The Bohlen – Pierceova stupnice (Stupnice BP) je muzikál ladění a měřítko, který byl poprvé popsán v 70. letech a nabízí alternativu k oktáva - opakující se váhy typické pro Západní a další hudba,[1] konkrétně stejně temperovaný diatonická stupnice.

Interval 3: 1 (často nazývaný novým jménem, tritave) slouží jako základní harmonický poměr a nahrazuje diatonickou stupnici 2: 1 (oktávu). U jakékoli výšky tónu, která je součástí stupnice BP, jsou všechny výšky hřiště jedna nebo více tritavů vyšší nebo nižší součástí systému a jsou považovány za ekvivalentní.

Stupnice BP rozděluje tritave do 13 kroků stejně temperovaný (nejoblíbenější forma) nebo v a spravedlivě naladěn verze. Ve srovnání s váhami opakujícími se o oktávu jsou váhy BP intervaly jsou více souhláska s určitými typy akustiky spektra.[Citace je zapotřebí ]

Stupnici nezávisle popsal Heinz Bohlen,[2] Kees van Prooijen[3] a John R. Pierce. Pierce, který s Max Mathews a další, zveřejnil svůj objev v roce 1984,[4] přejmenován na Měřítko Pierce 3579b a jeho chromatická varianta Bohlen – Pierceova stupnice poté, co se dozvěděl o Bohlenově dřívější publikaci. Bohlen navrhl stejnou stupnici na základě zvážení vlivu kombinované tóny na Gestalt dojem intervalů a akordů.[5]

Intervaly mezi stupnicí TK třídy hřiště jsou založeny na lichých celé číslo frekvence poměry, na rozdíl od intervalů v diatonických stupnicích, které využívají liché i sudé poměry nalezené v harmonická řada. Konkrétně jsou kroky stupnice BP založeny na poměrech celých čísel, jejichž faktory jsou 3, 5 a 7. Stupnice tedy obsahuje souhláskové harmonie založené na lichém harmonický podtexty 3: 5: 7: 9 (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )). Akord tvořený poměrem 3: 5: 7 (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) plní stejnou roli jako akord 4: 5: 6 (hlavní triáda) O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) dělá v diatonických měřítcích (3: 5: 7 = 1:1+2/3:2+1/3 a 4: 5: 6 = 2:2+1/2:3 = 1:1+1/4:1+1/2).

Akordy a modulace

3: 5: 7 citlivost intonace pattern is similar to 4: 5: 6's (the just major chord), more similar than that of the minor chord.[6] Tato podobnost naznačuje, že naše uši budou také vnímat 3: 5: 7 jako harmonické.

Akord 3: 5: 7 lze tedy považovat za hlavní triádu stupnice BP. Je aproximován intervalem 6 stejně temperovaných BP půltóny (O tomto zvukuhrát jeden půltón (Pomoc ·informace )) dole a interval 4 stejně temperovaných půltónů nahoře (půltóny: 0,6,10; O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )). Vedlejší trojice má tedy 6 půltónů nahoře a 4 půltóny dole (0,4,10; O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )). 5: 7: 9 je první inverze hlavní triády (0,4,7; O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )).[7]

Studie chromatických triád vytvořených z libovolných kombinací 13 tónů chromatické stupnice mezi dvanácti hudebníky a dvanácti netrénovanými posluchači zjistila, že 0,1,2 (půltóny) je nejvíce disonanční akord (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) ale 0,11,13 (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) byl proškolenými subjekty považován za nejvíce souhlásky a 0,7,10 (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) byl netrénovanými subjekty považován za nejvíce souhlásky.[8]

Každý tón stupnice Pierce 3579b je v hlavní a vedlejší trojici, kromě tónu II stupnice. Existuje třináct možných klíčů. Modulace je možná změnou jedné noty, posunutí noty II o jeden půltón způsobí, že tonikum vystoupá na notu III (půltón: 3), kterou lze tedy považovat za dominantní. VIII (půltón: 10) lze považovat za subdominant.[7]

Timbre a tritave

3: 1 slouží jako základní harmonický poměr a nahrazuje diatonickou stupnici 2: 1 ( oktáva ). (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )) Tento interval je perfektní dvanáctina v diatonický nomenklatura (perfektní pátý když je snížena o oktávu), ale protože tato terminologie je založena na velikosti kroků a funkce nepoužívá se v měřítku BP, často se nazývá novým jménem, tritave (O tomto zvukuhrát si (Pomoc ·informace )), v kontextech BP, s odkazem na jeho roli jako pseudooctave a pomocí předpony „tri-“ (tři) jej odlišit od oktávy. V konvenčních stupnicích, pokud je daná výška tónu součástí systému, jsou všechny výšky tónu o jednu nebo více oktáv vyšší nebo nižší také součástí systému a navíc jsou považovány za ekvivalent. Pokud je ve stupnici BP přítomna daná výška tónu, pak žádný výšek je přítomna jedna nebo více oktáv vyšší nebo nižší, ale Všechno výšky jednoho nebo více tritavů vyšší nebo nižší jsou součástí systému a jsou považovány za rovnocenné.

Stupnice BP používá liché celočíselné poměry je vhodné pro zabarvení obsahující pouze liché harmonické. Protože klarinet spektrum (v chalumeau Registr) se skládá primárně z lichých harmonických a nástroj overblows na dvanácté (nebo tritave), spíše než na oktávu, jako většina ostatních dechových nástrojů, existuje přirozená afinita mezi ní a Bohlen-Pierceovou stupnicí. Na začátku roku 2006, klarinetista Stephen Fox začala nabízet k prodeji sopránové klarinety Bohlen – Pierce. V roce 2010 produkoval první tenorový klarinet BP (šest kroků pod sopránem) a první klarinet epsilon (čtyři kroky nad sopránem) v roce 2011. Kontralarinet (o jednu tritunu nižší než soprán) nyní hraje (2020) Nora Mueller, Lübeck, Německo.

Jen ladění

Diatonická Bohlen – Pierceova stupnice může být sestrojena s následujícími spravedlivými poměry (graf ukazuje stupnici „Lambda“ (λ)):

PoznámkanázevCDEFGHJABC
Stupeňstupnice 1stupnice stupně 2stupnice stupně 3stupeň stupnice 4stupeň stupnice 5stupnice stupně 6stupnice 7stupnice 8stupnice 9stupnice 1
Poměr1:125:219:77:55:39:515:77:325:93:1
Centů0301.85435.08582.51884.361017.601319.441466.871768.721901.96
MidiO tomto zvukuC (Pomoc ·informace )O tomto zvukuD (Pomoc ·informace )O tomto zvukuE (Pomoc ·informace )O tomto zvukuF (Pomoc ·informace )O tomto zvukuG (Pomoc ·informace )O tomto zvukuH (Pomoc ·informace )O tomto zvukuJ (Pomoc ·informace )O tomto zvukuA (Pomoc ·informace )O tomto zvukuB (Pomoc ·informace )O tomto zvukuC (Pomoc ·informace )
KroknázevTsSTsTSTs
Poměr25:2127:2549:4525:2127:2525:2149:4525:2127:25
Centů301.85133.24147.43301.85133.24301.84147.43301.85133.24

O tomto zvukuhrát jen Bohlen – Pierce „Lambda“ měřítko (Pomoc ·informace )O tomto zvukukontrast pouze s velkou diatonickou stupnicí (Pomoc ·informace )

Spravedlivá stupnice BP může být vytvořena ze čtyř překrývajících se akordů 3: 5: 7, například V, II, VI a IV, i když k vytvoření podobné stupnice lze zvolit různé akordy:[9]

(5: 3) (7: 5) V IX III | III VII I | VI I IV | IV VIII II

Bohlen – Pierceův temperament

"Chromatický kruh „pro stupnici Bohlen – Pierce s vyznačeným třetím režimem stupnice Lambda.[1]

Bohlen původně vyjádřil stupnici BP v obou jen intonace a stejný temperament. The temperovaný forma, která rozděluje tritave na třináct stejných kroků, se stala nejoblíbenější formou. Každý krok je 13√3 = 3​1⁄13 = 1,08818… nad dalším, nebo 1200 log2 (3​1⁄13) = 146.3… centů na krok. Oktáva je rozdělena na zlomkový počet kroků. Je použito dvanáct stejně temperovaných kroků na oktávu 12-tet. Stupnici Bohlen – Pierce lze popsat jako 8,202087-tet, protože plná oktáva (1200 centů) dělená 146,3… centy na krok dává 8,202087 kroků na oktávu.

Rozdělení tritave na 13 stejných kroků temperuje nebo redukuje na souzvuk, oba intervaly 245: 243 (asi 14 centů, někdy nazývaných menší Bohlen – Pierce diesis ) a 3125: 3087 (asi 21 centů, někdy nazývaných hlavní Bohlen – Pierce diesis) stejným způsobem, že rozdělení oktávy na 12 stejných kroků snižuje obojí 81:80 (syntonická čárka ) a 128: 125 (5-limitní limma ) souznění. A 7-limitní lineární temperament temperuje oba tyto intervaly; výsledný Bohlen – Pierceův temperament již nemá nic společného s tritavovými ekvivalencemi nebo neoktávovými stupnicemi, kromě toho, že je dobře přizpůsoben jejich používání. Ladění 41 stejných kroků k oktávě (​1200⁄41 = 29,27 centů za krok) by bylo pro tento temperament zcela logické. V takovém ladění je temperovaná dokonalá dvanáctina (1902,4 centů, asi o polovinu větší než pouhá dvanáctina) rozdělena na 65 stejných kroků, což má za následek zdánlivý paradox: Vezmeme-li každý pátý stupeň této oktávové stupnice, získáme vynikající aproximaci do stejně temperované BP stupnice na neoktávové bázi. Dále se generuje interval pěti takových kroků (na základě oktávy) MOS s 8, 9 nebo 17 notami a 8-notovou stupnici (zahrnující stupně 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 a 35 41stupňové stupnice) lze považovat za oktávově ekvivalentní verzi stupnice Bohlen – Pierce.

Intervaly a měřítkové diagramy

Následuje třináct not stupnice (centy zaokrouhleno na nejbližší celé číslo):

Spravedlivě naladěn

Interval (centy)133169133148154147134147154148133169133
Název poznámkyCD♭DEFG♭GHJ♭JAB♭BC
Poznámka (centy)01333024355837378841018116513191467160017691902

Rovnoměrný

Interval (centy)146146146146146146146146146146146146146
Název poznámkyCC♯/ D♭DEFF♯/G♭GHH♯/ J.♭JAA♯/ B♭BC
Poznámka (centy)01462934395857328781024117013171463160917561902

O tomto zvukuhrajte vyrovnanou stupnici Bohlen – Pierce (Pomoc ·informace )

KrokyEQ intervalCenty v EQJen intonační intervalTradiční názevCenty pouze v intonaciRozdíl
03​0⁄13 = 1.000000.0001:10 = 1.00Unisono0000.00−00.00
13​1⁄13 = 1.090146.3027:25 = 1.08Velká limma0133.24−13.06
23​2⁄13 = 1.180292.6125:21 = 1.19Kvazi temperovaná malá tercie0301.850−9.24
33​3⁄13 = 1.290438.9109:70 = 1.29Septimální velká tercie0435.08−03.83
43​4⁄13 = 1.400585.2207:50 = 1.40Menší septimální triton0582.51−02.71
53​5⁄13 = 1.530731.5275:49 = 1.53BP pátý0736.930−5.41
63​6⁄13 = 1.660877.8305:30 = 1.67Prostě šestá0884.360−6.53
73​7⁄13 = 1.811024.1309:50 = 1.80Větší jen malá sedmá1017.60−06.53
83​8⁄13 = 1.971170.4449:25 = 1.96BP osmý1165.02−05.42
93​9⁄13 = 2.141316.7415:70 = 2.14Desátý menší devátý1319.440−2.70
103​10⁄13 = 2.331463.0507:30 = 2.33Desátá minimální desetina1466.870−3.82
113​11⁄13 = 2.531609.3563:25 = 2.52Kvazi temperovaná hlavní desátina1600.11−09.24
123​12⁄13 = 2.761755.6625:90 = 2.78Klasické rozšířené jedenácté1768.72−13.06
133​13⁄13 = 3.001901.9603:10 = 3.00Jen dvanáctý, „tritave“1901.96−00.00

Hudba a kompozice

Octave 12-tet (vlevo) ve srovnání s tritave 13-tet (vpravo)

Jak zní hudba používající stupnici Bohlen – Pierce, esteticky ? Dave Benson navrhuje, že pomáhá používat pouze zvuky pouze s lichými harmonickými, včetně klarinetů nebo syntetizovaných tónů, ale tvrdí, že protože „některé intervaly znějí trochu jako intervaly v [známějších] dvanáctitónová stupnice, ale špatně rozladěný „, průměrný posluchač bude neustále cítit„ že něco není v pořádku “, kvůli sociální klimatizace.[10]

Mathews a Pierce docházejí k závěru, že na stupnici BP lze skládat jasné a nezapomenutelné melodie, že „kontrapunkt zní dobře“ a že „akordické pasáže zní jako harmonie“, což pravděpodobně znamená postup, „ale bez velkého napětí nebo pocitu rozlišení“.[11] V jejich studii posuzování konsonance z roku 1989 jsou oba intervaly pěti akordů hodnocených nejvíce souhláskami trénovanými hudebníky přibližně diatonické intervaly, což naznačuje, že jejich trénink ovlivnil jejich výběr a že podobná zkušenost s měřítkem BP by podobně ovlivnila jejich výběr.[8]

Skladby využívající Bohlen – Pierceovu stupnici zahrnují „Čistotu“, první větu Curtis Roads ' Clang-Tint.[12] Mezi další počítačové skladatele, kteří používají stupnici BP, patří Jon Appleton, Richard Boulanger (Slavnostní píseň na večer (1990)), Georg Hajdu, Juan Reyes ' ppP (1999-2000),[13] Ami Radunskaya "Divoké a bezohledné místo" (1990),[14] Charles Carpenter (Frog à la Pêche (1994) & Splat),[15][16] a Elaine Walker (Stick Men (1991), Milostná píseň, a Vyšší dobro (2011)).[17]

Symposium

První sympozium Bohlen – Pierce se konalo v Bostonu ve dnech 7. až 9. března 2010 a bylo produkováno skladatelem Georg Hajdu (Hochschule für Musik und Theater Hamburg ) a Bostonská mikrotonální společnost. Spoluorganizátory byl Boston Goetheho institut, Berklee College of Music, Severovýchodní univerzita a New England Conservatory hudby. Účastníci sympozia, mezi nimiž byli Heinz Bohlen, Max Mathews, Clarence Barlow, Curtis Roads David Wessel, Psyche Loui, Richard Boulanger, Georg Hajdu, Paul Erlich, Ron Sword, Julia Werntz, Larry Polansky, Manfred Stahnke, Stephen Fox, Elaine Walker, Todd Harrop, Gayle Young, Johannes Kretz, Arturo Grolimund, Kevin Foster, představili 20 článků o historii a vlastnostech stupnice Bohlen – Pierce, provedli více než 40 skladeb v novém systému a uvedli několik nových hudebních nástrojů. Mezi účinkujícími byli němečtí hudebníci Nora-Louise Müllerová a Ákos Hoffman na klarinetech Bohlen – Pierce a Arturo Grolimund na pánové flétně Bohlen – Pierce i kanadský soubor tranSpectra a americká americká xenharmonic band ZIA vedená Elaine Walkerovou.

Jiné neobvyklé ladění nebo stupnice

Další neoktávové ladění vyšetřoval Bohlen[18] zahrnout dvanáct kroků v tritave, pojmenovaných A12 Enrique Moreno [19] a na základě akordu 4: 7: 10 O tomto zvukuHrát si (Pomoc ·informace ), sedm kroků v oktávě (7-tet ) nebo podobných 11 kroků v tritave a osm kroků v oktávě na základě 5: 7: 9 O tomto zvukuHrát si (Pomoc ·informace ) a z nichž by byla použita pouze spravedlivá verze. Pentavici lze dále rozdělit do osmi kroků, které se přibližují akordům ve tvaru 5: 9: 13: 17: 21: 25.[20] The Bohlen stupnice 833 centů je založen na Fibonacciho sekvence, i když byl vytvořen z kombinované tóny, a obsahuje komplexní síť harmonických vztahů díky zahrnutí shodných harmonických složených 833 centových intervalů. Například „krok 10 se ukáže být totožný s oktávou (1200 centů) základního tónu, současně s Zlatý řez ke kroku 3 ".[21]

Alternativní měřítka lze určit například uvedením velikosti stejně temperovaných kroků Wendy Carlos „78 centů alfa stupnice a 63,8 centů stupnice beta a stupnice 88 centů Garyho Morrisona (13,64 kroků na oktávu nebo 14 na 1232 centů roztaženou oktávu).[22] To dává stupnici alfa 15,39 kroků na oktávu a stupnici beta 18,75 kroků na oktávu.[23]

Expanze

Rovnoměrné rozdělení tritave na 39 tónů

Paul Erlich navrhl rozdělit každý krok Bohlen – Pierce na třetiny tak, aby byla tritave rozdělena na 39 stejných kroků namísto 13 stejných kroků. Stupnice, kterou lze považovat za tři rovnoměrně rozložené Bohlen-Pierceovy stupnice, poskytuje další liché harmonické. 13stupňová stupnice zasáhne liché harmonické 3: 1; 5: 3, 7: 3; 7: 5, 9: 5; 9: 7 a 15: 7; zatímco 39stupňová stupnice zahrnuje všechny tyto a mnoho dalších (11: 5, 13: 5; 11: 7, 13: 7; 11: 9, 13: 9; 13:11, 15:11, 21:11, 25:11, 27:11; 15:13, 21:13, 25:13, 27:13, 33:13 a 35:13), přičemž stále chybí téměř všechny sudé harmonické (včetně 2: 1; 3 : 2, 5: 2; 4: 3, 8: 3; 6: 5, 8: 5; 9: 8, 11: 8, 13: 8 a 15: 8). Velikost této stupnice je přibližně 25 stejných kroků v poměru o něco větším než oktáva, takže každý z 39 stejných kroků je o něco menší než polovina jednoho z 12 stejných kroků standardní stupnice.[24]

Počet stejně temperovaných krokůStejně temperovaný intervalVelikost stejně temperovaného intervalu (centy)Spravedlivě intonovaný intervalVelikost spravedlivě intonovaného intervalu (centy)Chyba (centy)
9112.98024437.9013/14440.53-2.63
8510.96174145.2911/14151.32-6.03
696.98453365.007/13368.83-3.83
574.98122779.785/12786.31-6.53
493.97612389.644/12400.00-10.36
393.00001901.963/11901.960.00
382.91671853.19225/771856.39-3.21
35/121853.180.00
32/111848.684.50
189/651847.855.34
372.83571804.4299/351800.094.33
362.75691755.6536/131763.38-7.73
135/491754.531.12
11/71751.324.33
352.68031706.8835/131714.61-7.73
342.60591658.1113/51654.213.90
332.53351609.3563/251600.119.24
33/131612.75-3.40
322.46311560.5827/111554.556.03
312.39471511.8112/51515.64-3.83
117/491506.795.02
302.32821463.047/31466.87-3.83
292.26351414.2725/111421.31-7.04
147/651412.771.51
282.20061365.5111/51365.000.50
272.13951316.7415/71319.44-2.70
262.08011267.9727/131265.342.63
252.02231219.2099/491217.581.63
241.96611170.4349/251165.025.41
231.91151121.6721/111119.462.20
221.85841072.9013/71071.701.20
211.80681024.139/51017.606.53
201.7566975.36135/77972.033.33
7/4968.836.54
191.7078926.5912/7933.13-6.54
77/45929.92-3.33
181.6604877.835/3884.36-6.53
171.6143829.0621/13830.25-1.20
161.5694780.2911/7782.49-2.20
151.5258731.5275/49736.93-5.41
141.4835682.7549/33684.38-1.63
131.4422633.9913/9636.62-2.63
121.4022585.227/5582.512.70
111.3632536.4515/11536.95-0.50
101.3254487.6865/49489.19-1.51
33/25480.657.04
91.2886438.919/7435.083.83
81.2528390.1449/39395.17-5.02
5/4386.313.83
71.2180341.3811/9347.41-6.03
61.1841292.6113/11289.213.40
25/21301.85-9.24
51.1512243.8415/13247.74-3.90
41.1193195.0739/35187.347.73
31.0882146.3012/11150.64-4.33
49/45147.43-1.12
13/12138.577.73
21.058097.5435/33101.87-4.33
11.028648.7765/6354.11-5.34
33/3253.27-4.50
36/3548.770.00
77/7545.563.21
01.00000.001/10.000.00

65tónové stejné rozdělení tritave

Rozdělení každého kroku Bohlen-Pierceovy stupnice na pětiny (tak, že je tritave rozdělena na 65 kroků) má za následek velmi přesnou oktávu (41 kroků) a perfektní pátou (24 kroků), stejně jako aproximace pro další spravedlivé intervaly. Stupnice je prakticky totožná s 41tónové stejné dělení oktávy kromě toho, že každý krok je o něco menší (méně než setina centu na krok).

Počet stejně temperovaných krokůStejně temperovaný intervalVelikost stejně temperovaného intervalu (centy)Spravedlivě intonovaný intervalVelikost spravedlivě intonovaného intervalu (centy)Chyba (centy)
653.00001901.963/11901.95500.00
642.94971872.69144/491866.25826.44
632.90031843.4332/111848.6821-5.25
622.85171814.1720/71817.4878-3.32
612.80391784.9114/51782.51222.40
602.75691755.65135/491754.52691.12
11/41751.31794.33
592.71071726.3927/101719.55136.84
582.66531697.138/31698.0450-0.92
572.62061667.8721/81670.7809-2.91
562.57671638.6118/71635.08413.52
552.53351609.3581/321607.82001.53
542.49101580.095/21586.3137-6.23
532.44931550.8227/111554.5471-3.72
522.40821521.5612/51515.64135.92
512.36791492.3064/271494.1350-1.83
502.32821463.047/31466.8709-3.83
492.28921433.7816/71431.17412.61
482.25081404.529/41403.91000.61
472.21311375.2620/91382.4037-7.14
462.17601346.0024/111350.6371-4.64
452.13951316.7415/71319.4428-2.70
442.10371287.4821/101284.46723.01
432.06841258.2233/161253.27294.94
422.03371228.9655/271231.7667-2.81
411.99961199.692/11200.0000-0.31
401.96611170.4349/251165.02445.41
391.93321141.1727/141137.03914.13
381.90081111.9140/211115.5328-3.62
371.86891082.6515/81088.2687-5.62
361.83761053.3911/61049.36294.03
351.80681024.139/51017.59636.53
341.7765994.8716/9996.0900-1.22
331.7468965.617/4968.8259-3.22
321.7175936.3512/7933.12913.22
311.6887907.0927/16905.86501.22
301.6604877.835/3884.3587-6.53
291.6326848.5618/11852.5921-4.03
281.6052819.308/5813.68635.62
271.5783790.0463/40786.42223.62
261.5518760.7814/9764.9159-4.13
251.5258731.5232/21729.21912.30
241.5003702.263/2701.95500.31
231.4751673.0081/55670.18832.81
72/49666.25826.74
221.4504643.7416/11648.6821-4.94
211.4261614.4810/7617.4878-3.01
201.4022585.227/5582.51222.70
191.3787555.9611/8551.31794.64
181.3556526.7027/20519.55137.14
171.3329497.434/3498.0450-0.61
161.3105468.1721/16470.7809-2.61
151.2886438.919/7435.08413.83
141.2670409.6580/63413.5778-3.93
81/64407.82001.83
131.2457380.395/4386.3137-5.92
121.2249351.1311/9347.40793.72
111.2043321.876/5315.64136.23
101.1841292.6132/27294.1350-1.53
91.1643263.357/6266.8709-3.52
81.1448234.098/7231.17412.91
71.1256204.839/8203.91000.92
61.1067175.5710/9182.4037-6.84
51.0882146.3012/11150.6371-4.33
49/45147.4281-1.12
41.0699117.0415/14119.4428-2.40
16/15111.73135.31
31.052087.7821/2084.46723.32
21.034458.5228/2762.9609-4.44
33/3253.27295.25
11.017029.2649/4835.6968-6.44
50/4934.9756-5.71
55/5431.7667-2.51
56/5531.1943-1.93
64/6327.26412.00
01.00000.001/10.00000.00

Viz také

Zdroje

  1. ^ A b Pierce, John R. (2001). "Souznění a měřítka". V Cook, Perry R (ed.). Hudba, poznání a počítačový zvuk: Úvod do psychoakustiky. MIT Stiskněte. str. 183. ISBN  978-0-262-53190-0.
  2. ^ Bohlen, Heinz (1978). „13 Tonstufen in der Duodezime“. Akustika (v němčině). Stuttgart: S. Hirzel Verlag. 39 (2): 76–86. Citováno 27. listopadu 2012.
  3. ^ Prooijen, Kees van (1978). „Teorie stejně temperovaných vah“. Rozhraní. 7: 45–56. doi:10.1080/09298217808570248. Citováno 27. listopadu 2012.
  4. ^ Mathews, M.V .; Roberts, L. A.; Pierce, J. R. (1984). "Čtyři nové stupnice založené na akordech s neúspěšným celým číslem". J. Acoust. Soc. Dopoledne. 75, S10 (A).
  5. ^ Mathews, Max V .; Pierce, John R. (1989). „Stupnice Bohlen – Pierce“. V Mathews, Max V .; Pierce, John R. (eds.). Aktuální směry výzkumu počítačové hudby. MIT Stiskněte. str. 167. ISBN  9780262631396.
  6. ^ Mathews; Pierce (1989). str. 165–166.
  7. ^ A b Mathews; Pierce (1989). str. 169.
  8. ^ A b Mathews; Pierce (1989). str. 171.
  9. ^ Mathews; Pierce (1989). str. 170.
  10. ^ Bensone, Dave. „Hudební stupnice a pekařský tucet“. Musik og Matematik. 28/06: 16.
  11. ^ Mathews; Pierce (1989). str. 172.
  12. ^ Thrall, Michael Voyne (léto 1997). „Synthèse 96: 26. mezinárodní festival elektroakustické hudby“. Počítačový hudební deník. 21 (2): 90–92 [91]. doi:10.2307/3681110.
  13. ^ „John Pierce (1910-2002)“. Počítačový hudební deník. 26, č. 4 (Jazyky a prostředí pro počítačovou hudbu): 6–7. Zima 2002.
  14. ^ Diskografie mikrotonových CD, Nadace Huygens-Fokker, vyvoláno 2016-12-13.
  15. ^ d'Escrivan, Julio (2007). Collins, Nicku (vyd.). Cambridge společník elektronické hudby. Cambridge společníci hudby. str. 229. ISBN  9780521868617.
  16. ^ Benson, Dave (2006). Hudba: Matematická nabídka. str. 237. ISBN  9780521853873.
  17. ^ "Koncerty". Bohlen-Pierce-Conference.org. Citováno 27. listopadu 2012.
  18. ^ Bohlen (1978). poznámka pod čarou 26, strana 84.
  19. ^ „Jiné neobvyklé váhy“. Stránky Bohlen – Pierce. Citováno 27. listopadu 2012. Citace: Moreno, Enrique Ignacio (prosinec 1995). „Vkládání prostorů se stejnou roztečí a otázka rozšířených barev: experimentální přístup“. Disertační práce. Stanfordská univerzita: 12–22.
  20. ^ "Jiné neobvyklé váhy ", Stránky Bohlen – Pierce. Citováno 27. listopadu 2012. Cituje: Bohlen (1978). str. 76–86.
  21. ^ Bohlen, Heinz. „Měřítko 833 centů“. Stránky Bohlen – Pierce. Citováno 27. listopadu 2012.
  22. ^ Sethares, William (2004). Ladění, zabarvení, spektrum, měřítko. str. 60. ISBN  1-85233-797-4.
  23. ^ Carlos, Wendy (2000) [1986]. "Poznámky k nahrávce". Kráska v bestii (CD). Wendy Carlos. ESD. 81552.
  24. ^ "Struktury měřítka BP". Stránky Bohlen – Pierce. Citováno 27. listopadu 2012.

externí odkazy