Pytagorejské ladění - Pythagorean tuning

Syntonické ladění kontinua, ukazující Pytagorovo ladění na 702 centů.^[1]

Řada generovaných pětin může dát sedm poznámek: a diatonický hlavní stupnice na C v Pythagorově ladění

Hrát si (Pomoc ·informace ).

Diatonická stupnice na C

Hrát si (Pomoc ·informace ) 12-tónové stejné temperované a

Hrát si (Pomoc ·informace ) jen intonace.

Pytagorejský (tonikum) hlavní akord na C

Hrát si (Pomoc ·informace ) (porovnej

Hrát si (Pomoc ·informace ) stejně temperovaný a

Hrát si (Pomoc ·informace ) prostě).

Porovnání stejnoměrných (černých) a Pythagorovských (zelených) intervalů ukazujících vztah mezi poměrem kmitočtů a hodnotami intervalů v centech.

Pytagorejské ladění je systém hudební ladění ve kterém frekvenční poměry ze všech intervaly jsou založeny na poměru 3:2.^[2] Tento poměr, známý také jako „čistý „perfektní pátý, je vybrán, protože je jedním z nejvíce souhláska a nejjednodušší naladit podle sluchu a kvůli důležitosti připisované celému číslu 3. As Novalis řečeno: "Hudební proporce se mi zdají být zvláště správné přirozené proporce."^[3] Alternativně to lze popsat jako vyladění syntonický temperament^[1] ve kterém generátor je poměr 3:2 (tj. nezměněný perfektní pátý ), což je ≈ 702 centů široký.

Systém byl přičítán hlavně Pythagoras (šesté století před naším letopočtem) moderními autory hudební teorie, zatímco Ptolemaios, a později Boethius, připsal rozdělení tetrachord pouze o dva intervaly, latinsky zvané „semitonium“, „tonus“, „tonus“ (256: 243 × 9: 8 × 9: 8), Eratosthenes. Takzvané „Pythagorovské ladění“ používali hudebníci až do začátku 16. století. „Pytagorejský systém se zdá být ideální kvůli čistotě pětin, ale někteří považují jiné intervaly, zejména hlavní třetinu, za tak špatně rozladěné, že hlavní akordy [lze považovat] za disonanci.“^[2]

The Pytagorova stupnice je jakýkoli měřítko které lze sestrojit pouze z čistých dokonalých pětin (3: 2) a oktáv (2: 1).^[4] V řecké hudbě to bylo zvyklé naladit tetrachordy, které byly složeny do stupnic o oktávě.^[5] Lze rozlišovat mezi rozšířeným Pytagorovým laděním a 12tónovým Pytagorovým temperamentem. Rozšířené Pythagorovo ladění odpovídá 1: 1 západní notaci a počet pětin není nijak omezen. U 12tónového pytagorejského temperamentu je však jeden omezen 12 tóny na oktávu a člověk nemůže hrát většinu hudby podle pythagorovského systému, který odpovídá enhanarmonické notaci, místo toho se zjistí, že například zmenšená šestina se stává „vlčím pátým“.

Metoda

12tónový pytagorejský temperament je založen na hromadě intervalů zvaných perfektní kvinty, každý vyladěný v poměru 3: 2, další nejjednodušší poměr po 2: 1. Například od D (D-založené tuning), šest dalších not je vyrobeno pohybem šestkrát v poměru 3: 2 nahoru a zbývající noty posunutím stejného poměru dolů:

E ♭ –B ♭ –F – C – G–D–A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

Tato posloupnost jedenácti intervalů 3: 2 zahrnuje širokou škálu frekvence (na klavírní klávesnice, obsahuje 77 kláves). Vzhledem k tomu, že noty lišící se frekvencí o faktor 2 mají stejný název, je obvyklé rozdělit nebo vynásobit frekvence některých z těchto not 2 nebo silou 2. Účelem této úpravy je přesunout 12 not v menším rozsahu frekvence, konkrétně v intervalu mezi základní poznámka D a D nad ním (nota s dvojnásobnou frekvencí). Tento interval se obvykle nazývá základní oktáva (na piano piano, an oktáva obsahuje pouze 13 kláves).

Například A je naladěno tak, že jeho frekvence se rovná 3/2 násobku frekvence D - pokud je D naladěna na frekvenci 288 Hz, pak je A naladěno na 432 Hz. Podobně je E nahoře A naladěno tak, že jeho frekvence se rovná 3/2násobku frekvence A nebo 9/4násobku frekvence D - s A při 432 Hz to dává E na 648 Hz. Protože tato E je mimo výše uvedenou základní oktávu (tj. Její frekvence je více než dvojnásobná oproti frekvenci základní noty D), je obvyklé snížit její frekvenci o polovinu, aby se pohybovala v základní oktávě. Proto je E naladěn na 324 Hz, 9/8 (= jedna epogdoon ) nad D. B na 3/2 nad tím E je naladěno na poměr 27:16 atd. Počínaje stejným bodem, který pracuje opačně, je G vyladěno jako 3/2 pod D, což znamená, že je mu přiřazena frekvence rovnající se 2/3násobku frekvence D - s D při 288 Hz, to dává G na 192 Hz. Tato frekvence se poté zdvojnásobí (na 384 Hz), aby se dostala do základní oktávy.

Při rozšiřování tohoto ladění však nastává problém: žádný zásobník intervalů 3: 2 (perfektní pětiny) se nevejde přesně do jakéhokoli zásobníku intervalů 2: 1 (oktáv). Například takový balíček, který se získá přidáním jedné další poznámky do výše zobrazeného balíčku

A ♭ –E ♭ –B ♭ –F – C – G–D–A – E – B – F♯ – C♯ – G♯

bude podobný, ale ne identický co do velikosti hromádky 7 oktáv. Přesněji řečeno, bude to asi čtvrt roku půltón větší, tzv Pytagorova čárka. Tak, A♭ a G.♯po přivedení do základní oktávy se neshoduje podle očekávání. Níže uvedená tabulka to ilustruje a ukazuje pro každou notu v základní oktávě konvenční název interval od D (základní nota), vzorec pro výpočet jeho frekvenčního poměru, jeho velikosti v centů a rozdíl v centech (v tabulce označen jako 12-TET-dif) mezi jeho velikostí a velikostí odpovídajícího ve stejně temperovaném měřítku.

Poznámka	Interval od D	Vzorec	=	=	Frekvence poměr	Velikost (centy)	12-TET-dif (centy)
A♭	zmenšená pátá	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {6} krát 2 ^ {4}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 6} krát 2 ^ {10}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {10}} {3 ^ {6}}}}$	${ displaystyle { frac {1024} {729}}}$	588.27	−11.73
E♭	malá sekunda	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {5} krát 2 ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 5} krát 2 ^ {8}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {8}} {3 ^ {5}}}}$	${ displaystyle { frac {256} {243}}}$	90.22	−9.78
B♭	menší šestý	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {4} krát 2 ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 4} krát 2 ^ {7}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {7}} {3 ^ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {128} {81}}}$	792.18	−7.82
F	malá tercie	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {3} krát 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 3} krát 2 ^ {5}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {5}} {3 ^ {3}}}}$	${ displaystyle { frac {32} {27}}}$	294.13	−5.87
C	menší sedmý	${ displaystyle left ({ frac {2} {3}} right) ^ {2} krát 2 ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {- 2} krát 2 ^ {4}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {4}} {3 ^ {2}}}}$	${ displaystyle { frac {16} {9}}}$	996.09	−3.91
G	perfektní čtvrtý	${ displaystyle { frac {2} {3}} krát 2}$	${ displaystyle 3 ^ {- 1} krát 2 ^ {2}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {2}} {3 ^ {1}}}}$	${ displaystyle { frac {4} {3}}}$	498.04	−1.96
D	unisono	${ displaystyle { frac {1} {1}}}$	${ displaystyle 3 ^ {0} krát 2 ^ {0}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {0}} {2 ^ {0}}}}$	${ displaystyle { frac {1} {1}}}$	0.00	0.00
A	perfektní pátý	${ displaystyle { frac {3} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {1} krát 2 ^ {- 1}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {1}} {2 ^ {1}}}}$	${ displaystyle { frac {3} {2}}}$	701.96	1.96
E	hlavní sekunda	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {2} times { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {2} krát 2 ^ {- 3}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {2}} {2 ^ {3}}}}$	${ displaystyle { frac {9} {8}}}$	203.91	3.91
B	šestý major	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {3} times { frac {1} {2}}}$	${ displaystyle 3 ^ {3} krát 2 ^ {- 4}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {3}} {2 ^ {4}}}}$	${ displaystyle { frac {27} {16}}}$	905.87	5.87
F♯	hlavní tercie	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {4} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {4} krát 2 ^ {- 6}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {4}} {2 ^ {6}}}}$	${ displaystyle { frac {81} {64}}}$	407.82	7.82
C♯	hlavní sedmý	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {5} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2}}$	${ displaystyle 3 ^ {5} krát 2 ^ {- 7}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {5}} {2 ^ {7}}}}$	${ displaystyle { frac {243} {128}}}$	1109.78	9.78
G♯	rozšířené čtvrté	${ displaystyle left ({ frac {3} {2}} right) ^ {6} times left ({ frac {1} {2}} right) ^ {3}}$	${ displaystyle 3 ^ {6} krát 2 ^ {- 9}}$	${ displaystyle { frac {3 ^ {6}} {2 ^ {9}}}}$	${ displaystyle { frac {729} {512}}}$	611.73	11.73

Ve vzorcích představují poměry 3: 2 nebo 2: 3 vzestupnou nebo sestupnou dokonalou pětinu (tj. Zvýšení nebo snížení frekvence o dokonalou pětinu, zatímco 2: 1 nebo 1: 2 představují vzestupnou nebo sestupnou oktávu). lze také vyjádřit z hlediska pravomocí třetího a druhého harmonické.

The hlavní stupnice na základě C získaného z tohoto ladění je:^[6]

Poznámka	C		D		E		F		G		A		B		C
Poměr	¹⁄₁		⁹⁄₈		⁸¹⁄₆₄		⁴⁄₃		³⁄₂		²⁷⁄₁₆		²⁴³⁄₁₂₈		²⁄₁
Krok	—	⁹⁄₈		⁹⁄₈		²⁵⁶⁄₂₄₃		⁹⁄₈		⁹⁄₈		⁹⁄₈		²⁵⁶⁄₂₄₃		—

Ve stejném temperamentu, páry enhanarmonic poznámky jako A♭ a G.♯ jsou považovány za přesně stejnou notu - jak však naznačuje výše uvedená tabulka, v Pythagorově ladění mají různé poměry vzhledem k D, což znamená, že jsou na jiné frekvenci. Tento rozdíl ve výši přibližně 23,46 centů, tedy téměř čtvrtiny půltónu, je znám jako Pytagorova čárka.

Chcete-li tento problém obejít, Pythagorovo ladění konstruuje pouze dvanáct not, jak je uvedeno výše, s jedenácti pětinami mezi nimi. Například lze použít pouze 12 not z E♭ do G♯. To, jak je uvedeno výše, znamená, že k vytvoření celé chromatické stupnice je použito pouze jedenáct pouhých pětin. Zbývající interval (zmenšený šestý z G♯ prst♭) je špatně rozladěný, což znamená, že jakákoli hudba, která kombinuje tyto dvě noty, je při tomto ladění nehratelná. Velmi nevyladěný interval, jako je tento, je známý jako a vlčí interval. V případě Pytagorova ladění jsou všechny pětiny široké 701,96 centů, v přesném poměru 3: 2, kromě vlčí pětiny, která je široká pouze 678,49 centů, téměř čtvrtina půltón lichotit.

Pokud poznámky G♯ a E.♭ je třeba znít společně, lze změnit pozici vlčí pátiny. Například Pythagorovo vyladění na bázi C by vyprodukovalo hromádku pětin běžících z D.♭ do F♯, takže F♯-D♭ vlčí interval. V Pythagorově ladění však vždy bude jeden vlčí pátý, takže nebude možné hrát ve všech klíče naladěno.

Velikost intervalů

Tabulka výše zobrazuje pouze intervaly z D. Intervaly však lze vytvořit spuštěním od každé z výše uvedených 12 poznámek. Pro každý tak lze definovat dvanáct intervalů typ intervalu (dvanáct jednotek, dvanáct půltóny, dvanáct intervalů složených ze 2 půltónů, dvanáct intervalů složených ze 3 půltónů atd.).

Frekvenční poměr 144 intervalů v Pythagorově ladění založeném na D. Názvy intervalů jsou uvedeny ve zkrácené formě. Čisté intervaly jsou zobrazeny v tučně písmo. Vlčí intervaly jsou zvýrazněny červeně.^[7] Čísla větší než 999 se zobrazují jako mocniny 2 nebo 3.

Přibližná velikost v centech 144 intervalů v Pythagorově ladění založeném na D. Názvy intervalů jsou uvedeny ve zkrácené formě. Čisté intervaly jsou zobrazeny v tučně písmo. Vlčí intervaly jsou zvýrazněny červeně.^[7]

Jak bylo vysvětleno výše, jedna z dvanácti pětin (vlčí pátá) má jinou velikost než ostatní jedenácti. Z podobného důvodu má každý z ostatních typů intervalů, s výjimkou unisonů a oktáv, dvě různé velikosti v Pythagorově ladění. Toto je cena zaplacená za hledání jen intonace. Tabulky vpravo a dole ukazují jejich frekvenční poměry a jejich přibližné velikosti v centech. Názvy intervalů jsou uvedeny v jejich standardní zkrácené formě. Například velikost intervalu od D do A, což je dokonalá pětina (P5), najdete v sedmém sloupci označeného řádku D. Striktně spravedlivé (nebo čisté) intervaly jsou zobrazeny v tučně písmo. Vlčí intervaly jsou zvýrazněny červeně.^[7]

Důvodem, proč se velikosti intervalů v celé stupnici liší, je to, že výšky tvoření stupnice jsou nerovnoměrně rozmístěny. Jmenovitě, frekvence definované konstrukcí pro dvanáct not určují dva různé půltóny (tj. intervaly mezi sousedními notami):

Malá sekunda (m2), nazývaný také diatonický půltón, s velikostí
${ displaystyle S_ {1} = {256 více než 243} přibližně 90,225 { hbox {centů}}}$
(např. mezi D a E♭)
Rozšířená unisona (A1), nazývaný také chromatický půltón, s velikostí
${ displaystyle S_ {2} = {3 ^ {7} přes 2 ^ {11}} = {2187 přes 2048} přibližně 113,685 { hbox {centů}}}$
(např. mezi E♭ a E)

Naopak v stejně temperovaný chromatická stupnice, podle definice je dvanáct výšek rovnoměrně rozmístěno, všechny půltóny mají přesně stejnou velikost

{ displaystyle S_ {E} = { sqrt [{12}] {2}} = 100 000 { hbox {centů}}.}

V důsledku toho mají všechny intervaly jakéhokoli daného typu stejnou velikost (např. Všechny hlavní třetiny mají stejnou velikost, všechny pětiny mají stejnou velikost atd.). Zaplacená cena v tomto případě spočívá v tom, že žádný z nich není spravedlivě vyladěn a dokonale shodný, kromě samozřejmě unisona a oktávy.

Podle definice v Pythagorově vyladění 11 dokonalých pětin (P5 v tabulce) mají velikost přibližně 701,955 centů (700 + ε centů, kde ε ≈ 1,955 centů). Vzhledem k tomu, že průměrná velikost 12 pětin se musí rovnat přesně 700 centům (stejně jako ve stejném temperamentu), druhá musí mít velikost 700–11ε centů, což je asi 678 495 centů (vlčí pětina). Všimněte si, že, jak je uvedeno v tabulce, druhý interval, ačkoli enhanarmonicky ekvivalentní na pětinu, se správněji nazývá a snížil šestý (d6). Podobně,

9 malé třetiny (m3) jsou ≈ 294,135 centů (300−3ε), 3 rozšířené sekundy (A2) jsou ≈ 317 595 centů (300 + 9ε) a jejich průměr je 300 centů;
8 hlavní třetiny (M3) jsou ≈ 407 820 centů (400 + 4ε), 4 zmenšená čtvrtina (d4) jsou ≈ 384,360 centů (400−8ε) a jejich průměr je 400 centů;
7 diatonic půltóny (m2) jsou ≈ 90,225 centů (100−5ε), 5 chromatických půltónů (A1) jsou ≈ 113 685 centů (100 + 7ε) a jejich průměr je 100 centů.

Stručně řečeno, podobné rozdíly v šířce jsou pozorovány pro všechny typy intervalů, s výjimkou unisonů a oktáv, a všechny jsou násobky ε, což je rozdíl mezi Pythagorovou pátou a průměrnou pátou.

Všimněte si, že jako zřejmý důsledek je každý rozšířený nebo zmenšený interval přesně o 12ε (≈ 23 460) centů užší nebo širší než jeho vylepšený ekvivalent. Například d6 (nebo vlčí pátý) je o 12ε centů užší než každá P5 a každá A2 je o 12ε centů širší než každý m3. Tento interval velikosti 12ε je známý jako a Pytagorova čárka, přesně stejný jako opak a zmenšená sekunda (≈ −23 460 centů). To znamená, že ε lze také definovat jako jednu dvanáctinu Pythagorovy čárky.

Pythagorovy intervaly

Čtyři z výše zmíněných intervalů mají v Pythagorově ladění konkrétní název. V následující tabulce jsou uvedeny tyto konkrétní názvy spolu s alternativními názvy používanými obecně pro některé další intervaly. Všimněte si, že Pythagorova čárka se neshoduje se zmenšenou sekundou, protože její velikost (524288: 531441) je převrácená hodnota Pythagorovy zmenšené sekundy (531441: 524288). Taky ditone a polotón jsou specifické pro Pythagorovo ladění, zatímco tón a triton se obecně používají pro všechny tuningové systémy. Přes své jméno lze půltón (3 půltóny, tedy asi 300 centů) stěží považovat za polovinu půltónu (4 půltóny, tedy asi 400 centů). Všechny intervaly s předponou sesqui jsou spravedlivě vyladěné a jejich frekvenční poměr, zobrazené v tabulce, je a superpartikulární číslo (nebo epimorický poměr). Totéž platí pro oktávu.

Počet půltóny	Obecné názvy				Konkrétní jména
	Kvalita a počet		Další konvence pojmenování		Pytagorejské ladění (názvy poměru výšky tónu)	5-limit tuning	1/4-čárka mezitím
	Úplný	Krátký	Další konvence pojmenování		Pytagorejské ladění (názvy poměru výšky tónu)	5-limit tuning	1/4-čárka mezitím
0			čárka		Pytagorova čárka (524288:531441)		diesis (128:125)
0	zmenšená sekunda	d2			(531441:524288)		diesis (128:125)
1	malá sekunda	m2	půltón, polotón, půl kroku	diatonický půltón, menší půltón	limma (λείμμα) (256: 243)
1	rozšířený souzvuk	A1	půltón, polotón, půl kroku	chromatický půltón, hlavní půltón	apotom (αποτομή) (2187: 2048)
2	hlavní sekunda	M2	tón, celý tón, celý krok		epogdoön (επόγδοον), sesquioctavum (9:8)
3	malá tercie	m3			polotón (32:27)	sesquiquintum (6:5)
4	hlavní tercie	M3			ditone (δίτονον) (81:64)	sesquiquartum (5:4)
5	perfektní čtvrtý	P4	diatessaron (διατεσσάρων)		epitrit (επίτριτος), sesquitertium (4:3)
6	zmenšená pátá	d5
6	rozšířené čtvrté	A4			tritone (τρίτονον) (729: 512)
7	perfektní pátý	P5	diapente (διαπέντε)		hemiolion (ημιόλιον), sesquialterum (3:2)
12	(perfektní) oktáva	P8	diapason (διαπασών)		duplex (2: 1)

Historie a použití

Kvůli vlčí interval při použití 12tónového pytagorejského temperamentu se toto ladění dnes používá jen zřídka, i když se předpokládá, že bylo rozšířené. V hudbě, která se nemění klíč velmi často, nebo což není moc harmonicky dobrodružný, vlčí interval pravděpodobně nebude problémem, protože ne všechny možné pětiny budou v takových kouscích slyšet. V rozšířeném Pythagorově ladění není vlčí interval, všechny dokonalé pětiny jsou přesně 3: 2.

Protože většina pětin ve 12tónovém pytagorejském temperamentu je v jednoduchém poměru 3: 2, zní velmi „hladce“ a souhlásky. Třetí, naopak, z nichž většina je v relativně složitém poměru 81:64 (pro hlavní třetiny) a 32:27 (pro malé třetiny), zní méně plynule v závislosti na nástroji.^[8]

Asi od roku 1510 se třetiny považovaly za souhlásky, zlý temperament a zejména znamenal čtvrtka čárka, který naladí třetiny na relativně jednoduchý poměr 5:4, se stal nejpopulárnějším systémem pro ladění klávesnic. Zároveň syntonicko-diatonický jen intonace byl položen jako první uživatelem Ramos a poté Zarlino jako normální ladění pro zpěváky.

Mezitím však každý představil své vlastní harmonické výzvy. Ukázalo se, že jeho vlčí intervaly jsou ještě horší než u pytagorejského ladění (natolik, že na rozdíl od 12 v pytagorovském ladění vyžadoval 19 kláves k oktávě). V důsledku toho nebyl Meanon vhodný pro veškerou hudbu. Od zhruba 18. století, kdy rostla touha po nástrojích ke změně klíče, a proto k zamezení vlčího intervalu, vedlo to k širokému používání dobře temperamenty a nakonec stejný temperament.

Pytagorejský temperament lze stále slyšet v některých částech moderní klasické hudby od zpěváků a nástrojů bez pevného ladění, jako je například houslová rodina. Pokud má umělec průchod bez doprovodu založený na stupnicích, bude inklinovat k používání Pythagorovy intonace, protože tak bude zvuk stupnice nejlépe ladit, poté se vrátí k jiným temperamentům pro jiné pasáže (pouze intonace pro akordické nebo arpeggiované postavy a stejný temperament, když v doprovodu klavíru nebo orchestru). To lze vidět v prvním taktu Bachovy Sonáty č. 1 pro housle bez doprovodu, kde se b-byt v úvodním akordu hraje přirozeně jen v intonaci a zní plošší než následující b-byt, který se objevuje v sestupném měřítku a je přirozeně Pythagorean. Takové změny nejsou nikdy výslovně notovány a jsou pro diváky sotva patrné, pouze znějí „v melodii“.

Diskografie

Bragod je duo podávající historicky informovaná vystoupení středověké velšské hudby pomocí crwth a šest strun lyra pomocí Pythagorovy ladění
Gotické hlasy – Hudba pro krále se srdcem lva (Hyperion, CDA66336, 1989), režie Christopher Page (Leech-Wilkinson)
Lou Harrison provádí John Schneider a soubor Cal Arts Percussion Ensemble pod vedením John Bergamo - Kytara a perkuse (Etceter Records, KTC1071, 1990): Suite č. 1 pro kytaru a perkuse a Námitka a variace na „Píseň o Palestině“

Viz také

53 stejný temperament, téměř Pytagorejský tuning
Enharmonická stupnice
Seznam nezvyklých intervalů
Seznam hudebních intervalů
Seznam intervalů výšky tónu
Pravidelný temperament
Shí-èr-lǜ
Hudební temperament
Timaeus (dialog), ve kterém Platón hovoří o Pythagorově ladění
Celotónová stupnice

Reference

Citace

^ ^A ^b Milne, Andrew; Sethares, W.A.; Plamondon, J. (prosinec 2007). "Neměnné prsty v ladicím kontinuu". Počítačový hudební deník. 31 (4): 15–32. doi:10.1162 / comj.2007.31.4.15. Citováno 2013-07-11.
^ ^A ^b Bruce Benward a Marilyn Nadine Saker (2003). Hudba: V teorii a praxi, sedmé vydání, 2 obj. (Boston: McGraw-Hill). Sv. Já: str. 56. ISBN 978-0-07-294262-0.
^ Kenneth Sylvan Guthrie, David R. Fideler (1987). Pytagorův pramen a knihovna: Antologie starověkých spisů, které se vztahují k Pythagorasovi a Pythagorejské filozofii, str.24. Červené kolo / Weiser. ISBN 9780933999510.
^ Sethares, William A. (2005). Ladění, zabarvení, spektrum, měřítko, str.163. ISBN 1-85233-797-4.
^ Frazer, Peter A. (duben 2001). „Vývoj hudebních tuningových systémů“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2006-05-06. Citováno 2014-02-02.
^ Asijská společnost Japonska (1879). Transakce asijské společnosti Japonska, Svazek 7, str. 82. Asijská společnost Japonska.
^ ^A ^b ^C Vlčí intervaly jsou zde operativně definovány jako intervaly složené ze 3, 4, 5, 7, 8 nebo 9 půltónů (tj. Hlavní a vedlejší třetina nebo šestina, perfektní čtvrtiny nebo pětiny a jejich enhanarmonické ekvivalenty ) jehož velikost se liší o více než jednu syntonická čárka (asi 21,5 centů) z odpovídajícího spravedlivě intonovaného intervalu. Intervaly složené z 1, 2, 6, 10 nebo 11 půltónů (např. Hlavní a vedlejší sekundy nebo sedminy, tritony a jejich enhanarmonic ekvivalenty) disharmonický i když jsou správně naladěni, nejsou označeni jako vlčí intervaly, i když se odchylují od pouhé intonace více než jednou syntonickou čárkou.
^ 3/2⁸ je popisován jako „téměř přesně jen velká třetina“. Sethares (2005), s. 60.

Reference

Daniel Leech-Wilkinson (1997), „Dobrý, špatný a nudný“, Společník středověké a renesanční hudby. Oxford University Press. ISBN 0-19-816540-4.

externí odkazy

„Pytagorovo vyladění diatonické stupnice“, se zvukovými ukázkami.
„Pytagorejské ladění a středověká polyfonie“, Margo Schulter.
Vytvoření Pythagorovy ladění v tabulce, video se zvukovými ukázkami.

[Milne2007-1] A ^b Milne, Andrew; Sethares, W.A.; Plamondon, J. (prosinec 2007). "Neměnné prsty v ladicím kontinuu". Počítačový hudební deník. 31 (4): 15–32. doi:10.1162 / comj.2007.31.4.15. Citováno 2013-07-11.

[B&S-2] A ^b Bruce Benward a Marilyn Nadine Saker (2003). Hudba: V teorii a praxi, sedmé vydání, 2 obj. (Boston: McGraw-Hill). Sv. Já: str. 56. ISBN 978-0-07-294262-0.

[3] Kenneth Sylvan Guthrie, David R. Fideler (1987). Pytagorův pramen a knihovna: Antologie starověkých spisů, které se vztahují k Pythagorasovi a Pythagorejské filozofii, str.24. Červené kolo / Weiser. ISBN 9780933999510.

[4] Sethares, William A. (2005). Ladění, zabarvení, spektrum, měřítko, str.163. ISBN 1-85233-797-4.

[5] Frazer, Peter A. (duben 2001). „Vývoj hudebních tuningových systémů“ (PDF). Archivovány od originál (PDF) dne 2006-05-06. Citováno 2014-02-02.

[6] Asijská společnost Japonska (1879). Transakce asijské společnosti Japonska, Svazek 7, str. 82. Asijská společnost Japonska.

[Wolf-7] A ^b ^C Vlčí intervaly jsou zde operativně definovány jako intervaly složené ze 3, 4, 5, 7, 8 nebo 9 půltónů (tj. Hlavní a vedlejší třetina nebo šestina, perfektní čtvrtiny nebo pětiny a jejich enhanarmonické ekvivalenty ) jehož velikost se liší o více než jednu syntonická čárka (asi 21,5 centů) z odpovídajícího spravedlivě intonovaného intervalu. Intervaly složené z 1, 2, 6, 10 nebo 11 půltónů (např. Hlavní a vedlejší sekundy nebo sedminy, tritony a jejich enhanarmonic ekvivalenty) disharmonický i když jsou správně naladěni, nejsou označeni jako vlčí intervaly, i když se odchylují od pouhé intonace více než jednou syntonickou čárkou.

[8] 3/2⁸ je popisován jako „téměř přesně jen velká třetina“. Sethares (2005), s. 60.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]