Tonality diamant - Tonality diamond

The Quadrangularis reverzní, nástroj zkonstruovaný Harry Partch na základě 11-hraničního tonality diamantu

v hudební teorie a ladění, a tonální diamant je dvourozměrný diagram poměry ve které je jedna dimenze Otonality a jedna Utonality.^[1] Tak n-limit tonalita diamantu („limit“ je zde ve smyslu lichého limitu, nikoli primárního limitu) je uspořádání diamantového tvaru množiny racionální čísla r, ${ displaystyle 1 leq r <2}$, takže lichá část obou čitatel a jmenovatel z r, je-li redukován na nejnižší členy, je menší nebo roven fixní hodnotě liché číslo n. Ekvivalentně lze diamant považovat za sadu třídy hřiště, kde třída hřiště je třída ekvivalence hřišť pod oktáva rovnocennost. Tónový diamant je často považován za soubor obsahující souhlásky n-limitu. Ačkoli původně vynalezl Max Friedrich Meyer,^[2] diamant tonality je nyní nejvíce spojován s Harry Partch („Mnoho teoretiků spravedlivé intonace považuje Parttonův největší tonální diamantový příspěvek k mikrotonální teorii.“^[3]).

Diamantové uspořádání

Partch uspořádal prvky tonality diamantu ve tvaru a kosočtverec, a rozdělit na (n + 1)²/ 4 menší kosočtverce. Podél levé horní strany kosočtverce jsou umístěna lichá čísla od 1 do n, každé redukované na oktávu (děleno minimálním výkonem 2 tak, že ${ displaystyle 1 leq r <2}$). Tyto intervaly jsou poté uspořádány vzestupně. Pod levou dolní stranou jsou umístěny odpovídající reciproční, 1 až 1 / n, také redukované na oktávu (zde, znásobeno minimálním výkonem 2 takové, že ${ displaystyle 1 leq r <2}$). Ty jsou seřazeny v sestupném pořadí. Na všech ostatních místech je umístěn součin úhlopříčně horních a levých dolních intervalů, redukovaný na oktávu. To dává všechny prvky tonality diamantu s určitým opakováním. Diagonály se svažují v jednom směru Otonality a úhlopříčky v opačném směru tvoří Utonality. Jeden z Partchových nástrojů, diamantová marimba, je uspořádán podle diamantu tonality.

Početné spojení

A numerické spojení je identita sdílí dva nebo více poměrové poměry v jejich čitatel nebo jmenovatel, s jinou identitou v druhé.^[4] Například v Otonality jmenovatel je vždy 1, tedy 1 je numerické spojení:

1 2 3 4 5- - - - - atd. 1 1 1 1 1 3 5 (-) (-) 2 4

V Utonality je čitatel vždy 1 a numerická spojitost je tedy také 1:

1 1 1 1 1- - - - - atd. 1 2 3 4 5 4 8 (-) (-) 3 5

Například v diamantu tonality, jako je Harry Partch 11-limitný diamant, každý poměr pravého šikmého řádku sdílí čitatele a každý poměr levého šikmého řádku sdílí jmenovatele. Každý poměr levého horního řádku má 7 jako jmenovatel, zatímco každý poměr pravého horního řádku má 7 (nebo 14) jako čitatele.

5-limit

		​3⁄2
	​5⁄4		​6⁄5
​1⁄1		​1⁄1		​1⁄1
	​8⁄5		​5⁄3
		​4⁄3

Tento diamant obsahuje tři identity (1, 3, 5).

7-limit

Tento diamant obsahuje čtyři identity (1, 3, 5, 7).

11-limit

Tonální základ Harry Partch Systém ladění: 11-limitový tón tonality diamantu

Tento diamant obsahuje šest identit (1, 3, 5, 7, 9, 11). Harry Partch použil 11-mezní tón tonality, ale otočil jej o 90 stupňů.

15-limit

Tento diamant obsahuje osm identit (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

Mřížka zobrazující mapování 15 mezního diamantu.

Geometrie diamantu tonality

Diamanty s pěti a sedmi limity tonality vykazují v rámci velmi pravidelnou geometrii modulační prostor, což znamená, že všechny nesouladné prvky diamantu jsou jen jedna jednotka od souzvuku. Pětimilimetrový diamant se poté stává pravidelným šestiúhelník kolem unisona a sedmimístný diamant a cuboctahedron kolem unisona.^{[Citace je zapotřebí ]}. Další příklady mřížek diamantů od triadického až po ogdoadický diamant byly realizovány pomocí Erv Wilson kde každý interval má svůj vlastní jedinečný směr.^[5]

Vlastnosti diamantu tonality

Tři vlastnosti tonality diamantu a poměrů obsahovaly:

1. Všechny poměry mezi sousedními poměry jsou superpartikulární poměry, ti s rozdílem 1 mezi čitatel a jmenovatel.^[6]
2. Poměry s relativně nižšími čísly mají mezi sebou více prostoru než poměry s vyššími čísly.^[6]
3. Systém, včetně poměrů mezi poměry, je symetrický v rámci oktávy, měřeno v centech ne v poměrech.^[6]

Například:

1. Poměr mezi⁶⁄₅ a⁵⁄₄ (a⁸⁄₅ a⁵⁄₃) je²⁵⁄₂₄.
2. Poměry s relativně nízkými čísly⁴⁄₃ a³⁄₂ jsou od sebe 203,91 centů, zatímco poměry s relativně vysokými čísly⁶⁄₅ a⁵⁄₄ jsou od sebe vzdáleny 70,67 centů.
3. Poměr mezi nejnižším a druhým nejnižším a nejvyšším a druhým nejvyšším poměrem je stejný atd.

Velikost diamantu tonality

Pokud φ (n) je Eulerova totientová funkce, což dává počet kladných celých čísel menší než n a relativně prime až n, to znamená, že spočítá celá čísla menší než n, která nesdílejí žádný společný faktor s n, a pokud d (n) označuje velikost diamantu s n-limitní tonalitou, máme vzorec

${ displaystyle d (n) = součet _ {m$

Z toho můžeme usoudit, že rychlost růstu diamantu tonality je asymptoticky stejná ${ displaystyle { frac {2} { pi ^ {2}}} n ^ {2}}$. Prvních několik hodnot jsou ty důležité a skutečnost, že velikost diamantu roste jako náměstí velikosti lichého limitu nám říká, že se poměrně rychle zvětšuje. Je jich tam sedm členů k 5-limit diamantu, 13 k 7-limit diamantu, 19 k 9-limit diamantu, 29 k 11-limit diamantu, 41 k 13-limit diamantu, a 49 k 15-limit diamant; to pro většinu účelů stačí.

Překlad k poměru délky řetězce

Jurij Landman zveřejnil diagram otonality a utonality, který objasňuje vztah Partchových tonálních diamantů k harmonická řada a délky strun (jak Partch také používal ve svých Kitharas) a Landmans Moodswinger nástroj^[7].

V Partchových poměrech odpovídá over number číslu stejných dělení vibrující struny a under number odpovídá tomu, na které rozdělení je délka struny zkrácena. Zloženie: 100% bavlna.⁵⁄₄ například je odvozeno od rozdělení řetězce na 5 stejných částí a zkrácení délky na 4. část zespodu. V Landmansově diagramu jsou tato čísla invertována a mění se frekvenční poměry na poměry délky řetězce.

Viz také

• Lattice (hudba)
• Tok tonality

Reference