Ladění pěti limitů - Five-limit tuning - Wikipedia

5-limit Tonnetz

Ladění pěti limitů, 5-limit tuningnebo Ladění 5-prime-limitu (nezaměňovat s 5-lichým limitem ladění), je jakýkoli systém ladění A hudební nástroj který získá frekvenci každé noty vynásobením frekvence dané referenční noty (základní noty) produktem celočíselné mocniny 2, 3 nebo 5 (prvočísla omezeno na 5 nebo nižší), jako je 2⁻³·3¹·5¹ = 15/8.

Síly 2 představují intervenční pohyby oktáv. Síly 3 představují pohyby o intervaly dokonalých pětin (plus jednu oktávu, kterou lze odstranit vynásobením 1/2, tj. 2⁻¹). Síly 5 představují intervaly hlavních třetin (plus dvě oktávy, odstranitelné vynásobením 1/4, tj. 2⁻²). 5-limitní ladění je tedy konstruováno výhradně ze skládání tří základních čistě vyladěných intervalů (oktávy, třetiny a pětiny). Jelikož se zdá, že vnímání konsonance souvisí s nízkými čísly v harmonické řadě a ladění 5 limitů se opírá o tři nejnižší prvočísla, mělo by být ladění 5 limitů schopné produkovat velmi souhláskové harmonie. Proto je 5-limitní ladění považováno za metodu pro získání jen intonace.

Počet potenciálních intervalů, tříd výšky tónu, výšky tónu, středů kláves, akordů a modulací, které jsou k dispozici pro 5-limitové ladění, je neomezený, protože žádná (nenulová celočíselná) síla jakéhokoli prvočísla se nerovná výkonu jakéhokoli jiného prvočísla, takže dostupné intervaly lze si představit, že se bude nekonečně prodlužovat v trojrozměrném prostoru mříž (jeden rozměr nebo jeden směr pro každé prvočíslo). Pokud jsou oktávy ignorovány, lze to považovat za 2-dimenzionální mřížku třídy hřiště (názvy poznámek) se prodlužují na neurčito ve dvou směrech.

Většina tuningových systémů určených pro akustické nástroje však z praktických důvodů omezuje celkový počet výšek. Je také typické (ale ne vždy) mít stejný počet výšek v každé oktávě, což představuje oktávové transpozice pevné sady tříd výšek. V takovém případě lze ladicí systém také považovat za oktávu opakující se stupnici určitého počtu výšek na oktávu.

Frekvenci jakéhokoli výškového tónu v konkrétním 5-limitním ladicím systému lze získat vynásobením frekvence pevné referenční výšky zvolené pro ladicí systém (například A440, A442, A432, C256 atd.) Kombinací mocnin 3 a 5 k určení třídy výšky tónu a určité síly 2 k určení oktávy.

Například pokud máme systém ladění s 5 limity, kde je základní nota C256 (což znamená, že má 256 cyklů za sekundu a my se rozhodneme ji nazvat C), pak F_C = 256 Hz, nebo „frekvence C se rovná 256 Hz.“ Existuje několik způsobů, jak definovat E nad tímto C. Použitím třetin může jeden jít nahoru o jeden faktor 5 a dolů o dva faktory 2 a dosáhnout frekvenční poměr 5/4, nebo pomocí pětiny, jeden může jít nahoru o čtyři faktory 3 a dolů šest faktorů 2, dosáhnout 81/64. Frekvence se stanou:

${ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {1} cdot 3 ^ {0} cdot 2 ^ {- 2} cdot f_ {C} = {5 přes 4} cdot 256 mathrm {Hz} = 320 mathrm {Hz}}$

nebo

${ displaystyle f_ {E} = 5 ^ {0} cdot 3 ^ {4} cdot 2 ^ {- 6} cdot f_ {C} = {81 přes 64} cdot 256 mathrm {Hz} = 324 mathrm {Hz}}$

Diatonická stupnice

Za předpokladu, že se omezíme na sedm tříd výšky tónu (sedm not na oktávu), je možné vyladit známé diatonická stupnice pomocí 5-limitního ladění mnoha způsoby, díky nimž je většina triád ideálně vyladěna a co nejvíce souhlásková a stabilní, ale některé triády nechávejte v méně stabilních intervalových konfiguracích.

Prominentní noty dané stupnice jsou vyladěny tak, aby jejich frekvence tvořily poměry relativně malých celých čísel. Například v klíči G dur, poměr frekvencí not G a D (a perfektní pátý ) je 3/2, zatímco G až C je 2/3 (sestupná dokonalá pětina) nebo 4/3 (a perfektní čtvrtý ) nahoru a hlavní třetina G do B je 5/4.

Primární triády v C Hrát si (Pomoc ·informace ).

Spravedlivě diatonickou stupnici lze odvodit následovně. Představme si klíč C dur, předpokládejme, že trváme na tom, že subdominantní kořen F a dominantní kořen G jsou o pětinu (3: 2) od tonického kořene C na obou stranách a že akordy FAC, CEG a GBD jsou jen hlavní triády (s frekvenčními poměry 4: 5: 6):

Toto je známé jako Ptolemaiova intenzivní diatonická stupnice. Zde řádek s nadpisem „Přírodní“ vyjadřuje všechny tyto poměry pomocí společného seznamu přirozená čísla (vynásobením řádku výše znakem lcm jejích jmenovatelů). Jinými slovy, nejnižší výskyt tohoto tvaru jedné oktávové stupnice v harmonické řadě je jako podmnožina 7 z 24 harmonických nalezených v oktávě od harmonických 24 do 48.

Tři hlavní třetiny jsou správné (5: 4) a tři menší třetiny jsou podle očekávání (6: 5), ale D až F je polotón nebo Pytagorova malá tercie (rovná se třem sestupujícím jen dokonalým pětinám, upravená oktáva), a syntonická čárka užší než spravedlivě naladěná (6: 5) malá tercie.

V důsledku toho získáme stupnici, v níž jsou EGB a ACE spravedlivé menší triády (10:12:15), ale triáda DFA nemá ten menší tvar ani zvuk, jaký bychom mohli očekávat (27:32:40). Triáda BDF navíc není (25:30:36) snížená triáda že bychom dostali skládáním dvou menších třetin 6: 5, místo toho (45:54:64):^[1][2]

Je vidět, že se objevují základní intervalové stupnice:

• s = 16:15 (Půltón )
• t = 10: 9 (Menší tón )
• T = 9: 8 (Hlavní tón )

Které lze kombinovat, aby vytvořily větší intervaly (mimo jiné):

• Ts = 6: 5 (malá tercie)
• Tt = 5: 4 (hlavní tercie)
• Tts = 4: 3 (perfektní čtvrtý)
• TTts = 3: 2 (dokonalá pátá)
• TTTttss 2: 1 (oktáva)

Další způsob, jak to udělat, je následující. Přemýšlíme-li o relativní mollové tónině A moll a používáme D, A a E jako naši pátou páteř, můžeme trvat na tom, aby akordy DFA, ACE a EGB byly jen menší triády (10:12:15):

Pokud to porovnáme s dřívější stupnicí, vidíme, že u pěti párů po sobě následujících not zůstávají poměry kroků stejné, ale jedna nota, D, kroky C-D a D-E změnily své poměry.

Tři hlavní třetiny jsou stále 5: 4 a tři menší třetiny jsou stále 6: 5, přičemž čtvrtá je 32:27, kromě toho, že nyní je to BD místo DF, které je 32:27. FAC a CEG se stále tvoří jen hlavní triády (4: 5: 6), ale GBD je nyní (108: 135: 160) a BDF nyní (135: 160: 192).

Existují i ​​další možnosti, jako je zvýšení A místo snížení D, ale každá úprava zlomí něco jiného.

Zjevně není možné získat všech sedm diatonických triád v konfiguraci (4: 5: 6) pro hlavní, (10:12:15) pro menší a (25:30:36) pro zmenšené současně, pokud omezit se na sedm hřišť.

To ukazuje, že je třeba zvýšit počet výšek tónů pro provedení požadovaných harmonií v melodii.

Dvanácti tónová stupnice

Abychom vytvořili dvanáctitónovou stupnici v 5-limitním ladění, začneme konstrukcí tabulky obsahující patnáct spravedlivě intonovaných výšek:

Faktory uvedené v první řada a první sloupec jsou mocniny 3 a 5 (např.¹⁄₉ = 3⁻²). Barvy označují páry enhanarmonic noty s téměř stejnou výškou tónu. Všechny poměry jsou vyjádřeny vzhledem k C ve středu tohoto diagramu (základní poznámka pro tuto stupnici). Jsou počítány ve dvou krocích:

1. Pro každou buňku tabulky a základní poměr se získá vynásobením odpovídajících faktorů. Například základní poměr pro buňku vlevo dole je 1/9 · 1/5 = 1/45.
2. Základní poměr se poté vynásobí zápornou nebo kladnou silou 2, tak velkou, jak je potřeba, aby se dostala do rozsahu oktávy počínaje od C (od 1/1 do 2/1). Například základní poměr pro levou dolní buňku (1/45) se vynásobí 2⁶a výsledný poměr je 64/45, což je číslo mezi 1/1 a 2/1.

Všimněte si, že síly 2 použité ve druhém kroku mohou být interpretovány jako vzestupné nebo sestupné oktávy. Například vynásobením frekvence noty číslem 2⁶ znamená zvýšení o 6 oktáv. Kromě toho lze každý řádek tabulky považovat za posloupnost pětiny (vzestupně doprava) a každý sloupec posloupnost hlavní třetiny (vzestupně). Například v prvním řádku tabulky je vzestupná pětina z D a A a další (následovaná sestupnou oktávou) z A na E. To naznačuje alternativní, ale ekvivalentní metodu pro výpočet stejných poměrů. Například můžete získat A (poměr 5/3), počínaje od C, pohybem jedné buňky doleva a jedné nahoru v tabulce, což znamená sestup o jednu pětinu (2/3) a vzestup o jednu hlavní třetinu ( 5/4):

${ displaystyle {1 nad 1} cdot {2 nad 3} cdot {5 nad 4} = {10 nad 12} = {5 nad 6}.}$

Protože je to pod C, musíte se posunout o oktávu nahoru, abyste skončili v požadovaném rozsahu poměrů (od 1/1 do 2/1):

${ displaystyle {5 nad 6} cdot {2 nad 1} = {10 nad 6} = {5 nad 3}.}$

Stupnice 12 tónů se získá odstraněním jedné noty pro každou dvojici vylepšených tónů. Toho lze dosáhnout nejméně třemi způsoby, které mají společné odstranění G.♭, podle konvence platné i pro C-založené Pythagorean a 1/4-čárka znamenalo šupiny. Všimněte si, že se jedná o zmenšená pátá, blízký polovině oktávy, nad tonikem C, což je disharmonický interval; také jeho poměr má největší hodnoty v čitateli a jmenovateli všech tónů v měřítku, což je nejméně harmonické: všechny důvody, proč se tomu vyhnout.
První strategie, kterou zde operativně označujeme jako symetrická stupnice 1, spočívá ve výběru odstranění tónů v levém horním a pravém dolním rohu tabulky. Druhý, označený jako symetrická stupnice 2, spočívá ve vyřazení poznámek v první a poslední buňce druhého řádku (označené „1"). Třetí, označený jako asymetrická stupnice, se skládá z vyřazení prvního sloupce (označeného „1/9"). Výsledné 12tónové stupnice jsou uvedeny níže:

V první a druhé stupnici B♭ a D jsou přesně jejich inverze. U třetího to neplatí. To je důvod, proč jsou tyto dvě stupnice považovány za symetrické (ačkoli odstranění G♭ dělá všech 12 tónových stupnic, včetně těch, které jsou vyráběny s jakýmkoli jiným tuningovým systémem, mírně asymetrické).

Výhodou asymetrického systému je, že má „nejspravedlivější“ poměry (ty, které obsahují menší čísla), devět čistých pětin (faktor 3/2), osm čistých hlavních třetin (faktor 5/4) záměrně, ale také šest čistých malé třetiny (faktor 6/5). Obsahuje však také dvě nečisté pětiny (např. D až A je 40/27 spíše než 3/2) a tři nečisté malé třetiny (např. D až F je 32/27 spíše než 6/5), což prakticky omezuje modulace na úzký rozsah kláves. Akordy tonika C, dominantní G a subdominant F jsou čisté, stejně jako D♭, A♭, E.♭ a vedlejší akordy Fm, Cm, Gm, Am, Bm a Em, ale ne Dm.

Nevýhodou asymetrického systému je, že produkuje 14 vlčích intervalů, spíše než 12 jako u symetrických (viz níže).

B♭ v první symetrické stupnici se liší od B♭ v ostatních stupnicích syntonická čárka, což je více než 21 centů. Ve stejně temperovaných stupnicích je rozdíl eliminován tím, že všechny kroky mají stejný frekvenční poměr.

Asymetrická stupnice vytvořená skládáním frekvenčních faktorů 2/1 (modrá), 3/2 (zelená) a 5/4 (hnědá) na logaritmické stupnici

Konstrukce asymetrické stupnice je graficky znázorněna na obrázku. Každý blok má výšku v centech konstruktivních frekvenčních poměrů 2/1, 3/2 a 5/4. Lze rozpoznat opakující se vzory. Například mnohokrát je následující nota vytvořena nahrazením bloku 5/4 a bloku 3/2 blokem 2/1, což představuje poměr 16/15.

Podobný obrázek vytvořený pomocí frekvenčních faktorů 2, 3 a 5, nikoli 2/1, 3/2 a 5/4, viz tady.

Spravedlivé poměry

Spravedlivé poměry použité k sestavení těchto stupnic lze použít jako reference k vyhodnocení souzvuk intervalů v jiných stupnicích (například viz tato srovnávací tabulka ). Ladění s 5 limity však není jedinou metodou, kterou lze získat jen intonace. Je možné sestrojit jen intervaly s rovnoměrnými "juster" poměry, nebo střídavě s hodnotami bližšími vyrovnaným ekvivalentům. Například a 7-limit ladění se někdy používá k získání mírně jasného a následně shodnějšího intervalu pro menší sedmé (7/4) a jeho inverzi, hlavní sekundu (8/7). Seznam těchto referenčních poměrů, které lze označit jako čistý nebo přísně spravedlivý níže uvedené intervaly nebo poměry:

Buňky zvýrazněné žlutě označují intervaly, které jsou spravedlivější než ty v neobarvených buňkách ve stejném řádku. Ty, které jsou zvýrazněny v azurové barvě, naznačují ještě jasnější poměr.

Všimněte si, že poměry 45/32 a 64/45 pro tritony (rozšířená čtvrtá a zmenšená pátá) nejsou ve všech kontextech považovány za přísně spravedlivé, ale ve výše zmíněných 5-limitních ladicích stupnicích jsou nejpravdivější možné. Rozšířená asymetrická 5-mezní stupnice (viz níže) poskytuje mírně justerové poměry pro oba tritony (25/18 a 36/25), jejichž čistota je také kontroverzní. Ladění se 7 limity umožňuje nejlepší možné poměry, konkrétně 7/5 (asi 582 512 centů, také známé jako septimální triton ) a 10/7 (přibližně 617 488 centů). Tyto poměry jsou souhláskovější než 17/12 (asi 603 000 centů) a 24/17 (asi 597 000 centů), které lze získat v 17-limitním ladění, ale i tyto jsou poměrně běžné, protože se blíží rovnosti temperovaná hodnota 600 000 centů.

Výše uvedený interval 7/4 (asi 968 826 centů), známý také jako septimal minor sedmý, nebo harmonická sedmá, byla spornou otázkou v celé historii hudební teorie; je o 31 centů plošší než stejně temperovaný menší sedmý.

Velikost intervalů

Výše uvedené tabulky zobrazují pouze frekvenční poměry každého tónu vzhledem k základní notě C. Intervaly však lze tvořit vycházením z každé z dvanácti not. Pro každý tak lze definovat dvanáct intervalů typ intervalu (dvanáct jednotek, dvanáct půltóny, dvanáct intervalů složených ze 2 půltónů, dvanáct intervalů složených ze 3 půltónů atd.).

Frekvenční poměr 144 intervalů v 12-tónovém 5-limitním ladění (asymetrická stupnice; pro symetrickou stupnici 1, viz tady ). Názvy intervalů jsou uvedeny v jejich standardní zkrácené formě. Čisté intervaly (jak jsou definovány výše) jsou uvedeny v tučně písmo.

Přibližná velikost v centech 144 intervalů v 12tónovém 5-limitním ladění (asymetrická stupnice; pro symetrickou stupnici 1 viz tady ). Názvy intervalů jsou uvedeny v jejich standardní zkrácené formě. Čisté intervaly (jak jsou definovány výše) jsou uvedeny v tučně písmo.

Při ladění s 5 limity má každý z typů intervalů, s výjimkou unisonů a oktáv, tři nebo dokonce čtyři různé velikosti. Toto je cena zaplacená za hledání spravedlivé intonace. Tabulky vpravo a dole ukazují jejich frekvenční poměry a jejich přibližné velikosti v centech pro „asymetrickou stupnici“. Podobné tabulky pro „symetrickou stupnici 1“ jsou zveřejněny tady a tady. Názvy intervalů jsou uvedeny v jejich standardní zkrácené formě. Například velikost intervalu od C do G, což je dokonalá pětina (P5), najdete v sedmém sloupci označeného řádku C. Čisté intervaly, jak jsou definovány výše, jsou uvedeny v tučně písmo (všimněte si, že, jak je vysvětleno výše, spravedlivě intonovaný poměr 45/32 ≈ 590 centů pro A4 se nepovažuje za čistý).

Barevný kód rozlišuje intervaly, které se odchylují od referenčních velikostí v konstrukční tabulce, a ukazuje míru jejich odchylky. Vlčí intervaly jsou označeny černě.^[4]

Důvodem, proč se velikosti intervalů v celé stupnici liší, je to, že výšky tvoření stupnice jsou nerovnoměrně rozložené. Jmenovitě, frekvence definované konstrukcí pro dvanáct not určují čtyři různé půltóny (tj. intervaly mezi sousedními notami). Například:

• ${ displaystyle S_ {1} = {{5 nad 4} div {6 nad 5}} = {25 nad 24} přibližně 70,672 { hbox {centů}}}$
  ("Prostě" rozšířený souzvuk mezi E♭ a E)
• ${ displaystyle S_ {2} = {{9 nad 8} div {16 nad 15}} = {135 nad 128} přibližně 92,179 { hbox {centů}}}$
  (Rozšířený souzvuk mezi D♭ a D)
• ${ displaystyle S_ {3} = {16 nad 15} přibližně 111,731 { hbox {centů}}}$
  ("Prostě" malá sekunda mezi C a D♭)
• ${ displaystyle S_ {4} = {{9 nad 5} div {5 nad 3}} = {27 nad 25} přibližně 133,238 { hbox {centů}}}$
  (Malá sekunda mezi A a B♭)

Naopak v stejně temperovaný chromatická stupnice, podle definice je dvanáct výšek rovnoměrně rozmístěno, všechny půltóny mají přesně stejnou velikost

• ${ displaystyle S_ {E} = { sqrt [{12}] {2}} = 100 000 { hbox {centů}}.}$

V důsledku toho mají všechny intervaly jakéhokoli daného typu stejnou velikost (např. Všechny hlavní třetiny mají stejnou velikost, všechny pětiny mají stejnou velikost atd.). Zaplacená cena v tomto případě spočívá v tom, že žádný z nich není spravedlivě vyladěn a dokonale shodný, kromě samozřejmě unisona a oktávy.

Všimněte si, že 5-limit tuning byl navržen tak, aby maximalizoval počet čistých intervalů, ale i v tomto systému je několik intervalů výrazně nečistých (například, jak je znázorněno na obrázcích, 60 ze 144 intervalů se odchyluje nejméně o 19,6 centů od spravedlivě intonované referenční velikosti uvedené v konstrukční tabulce). Také 5-limitní ladění přináší mnohem větší počet vlčích intervalů Pytagorejské ladění, což lze považovat za 3-limit právě ladění intonace. Jmenovitě, zatímco Pythagorovo vyladění určuje pouze 2 vlčí intervaly (pátý a čtvrtý), 5-limitní symetrické stupnice jich produkují 12 a asymetrická stupnice 14. Je také důležité si uvědomit, že dvě pětiny, tři menší třetiny, a tři hlavní šestiny označené oranžově v tabulkách (poměr 40/27, 32/27 a 27/16 (nebo G−, E♭- a A +^[3]), i když podmínky zcela nesplňují^[4] být vlčími intervaly, odchýlit se od odpovídajícího čistého poměru o částku (1 syntonická čárka 81/80, tedy asi 21,5 centu), dostatečně velký na to, aby byl jasně vnímán jako disharmonický.^[5]

Je zřejmé, že čím více se snažíme zvýšit počet čistých a souhláska intervaly, tím více se zbývající stanou nečistými a disonančními kompenzací. Některé hlavní sekundy (M2) a menší sedminy (m7) představují jedinou výjimku z tohoto pravidla. Jak vidíte v tabulkách, oranžově označené jsou čisté (10/9 a 16/9), i když jejich velikost je o 81/80 užší než odpovídající referenční velikost (9/8 a 9/5).

Pro srovnání s jinými tuningovými systémy viz také tato tabulka.

Čárky

V jiných tuningových systémech, a čárka lze definovat jako minutový interval, rovný rozdílu mezi dvěma druhy půltóny (diatonický a chromatický, také známý jako malá sekunda, m2, nebo rozšířený souzvuk, A1). V tomto případě se však vyrábějí 4 různé druhy půltónů (dva A1, S₁ a S.₂, a dva m2, S₃ a S.₄) a 12 různých čárek lze definovat jako rozdíly mezi jejich velikostmi v centech nebo ekvivalentně jako poměry mezi jejich poměry. Z nich vybereme šest vzestupných (ty s poměrem větším než 1/1 a kladnou velikostí v centech):

Jméno čárka	Ekvivalentní definice		Velikost
	v zlý temperament	V 5-limitním ladění (asymetrická stupnice)	Poměr	Centů
Diaschisma (DS)	${ displaystyle {m2 nad A1}}$ v 1/6-čárce mezitím	${ displaystyle {S_ {3} nad S_ {2}} = {{16 nad 15} div {135 nad 128}}}$	${ displaystyle {2048 nad 2025}}$	${ displaystyle 19.6 ~}$
Syntonická čárka (SC)	${ displaystyle {{LD} přes {DS}} = {{GD} přes {LD}}}$	${ displaystyle {S_ {2} přes S_ {1}} = {{135 přes 128} div {25 přes 24}}}$	${ displaystyle {81 přes 80}}$	${ displaystyle 21.5 ~}$
		${ displaystyle {S_ {4} nad S_ {3}} = {{27 nad 25} div {16 nad 15}}}$
Menší diesis (LD)	${ displaystyle {m2 nad A1}}$ v 1/4-čárka znamená jeden	${ displaystyle {S_ {3} nad S_ {1}} = {{16 nad 15} div {25 nad 24}}}$	${ displaystyle {128 přes 125}}$	${ displaystyle 41.1 ~}$
		${ displaystyle {S_ {4} nad S_ {2}} = {{27 nad 25} div {135 nad 128}}}$
Větší diesis (GD)	${ displaystyle {m2 nad A1}}$ v 1/3-čárce znamená jeden	${ displaystyle {S_ {4} nad S_ {1}} = {{27 nad 25} div {25 nad 24}}}$	${ displaystyle {648 přes 625}}$	${ displaystyle 62.6 ~}$

Dalších šest poměrů je zahozeno, protože jsou právě jejich opakem, a proto mají přesně stejnou délku, ale opačný směr (tj. Klesající směr, poměr menší než 1/1 a záporná velikost v centech) . Získáváme čárky čtyř různých velikostí: diaschisma, menší dieisis, syntonická čárka a větší dieisis. Vzhledem k tomu, S₁ (dále jen jen A1) a S₃ (dále jen jen m2) jsou nejčastěji se vyskytující půltóny v této 12tónové stupnici (viz tabulky výše), menší dieisis, definovaný jako poměr mezi nimi, je nejčastěji pozorovanou čárkou.

Syntonická čárka je také definována v 5-limitním ladění jako poměr mezi majorem tón (M2 s velikostí 9/8) a vedlejší tón (M2 s velikostí 10/9). Všimněte si, že jej nelze v jiných tuningových systémech definovat jako poměr mezi diatonickými a kromatickými půltóny (m2 / A1), ale je to důležitá referenční hodnota používaná k vyladění perfektní pátý v jakémkoli ladicím systému v syntonický temperament kontinuum (včetně rovněž znamenajících temperamentů).

Snížené sekundy

Tři z výše uvedených čárek, jmenovitě diaschisma, dieisis a dieisis větší, splňují definici zmenšená sekunda, což je rozdíl mezi velikostmi v centech diatonického a chromatického půltónu (nebo ekvivalentně poměrem mezi jejich frekvenčními poměry).

Naopak syntonická čárka je definována buď jako rozdíl v centech mezi dvěma chromatickými půltóny (S₂ a S.₁) nebo mezi dvěma diatonickými půltóny (S₄ a S.₃) a nelze jej považovat za zmenšenou sekundu.

Rozšíření dvanáctitónové stupnice

Tabulka výše používá pouze nízké síly 3 a 5 k vytvoření základních poměrů. Lze jej však snadno rozšířit použitím vyšších kladných a záporných sil stejných čísel, například 5² = 25, 5⁻² = 1/25, 3³ = 27 nebo 3⁻³ = 1/27. Kombinací těchto základních poměrů lze získat stupnici s 25, 35 nebo dokonce více výškami.

Například lze získat 35 výšek přidáním řádků v každém směru takto:

Faktor		1/9	1/3	1	3	9
125	Poznámka poměr centů	A♯ 125/72 955.0[3]	E♯ 125/96 457.0	B♯ 125/64 1158.9	F+ 375/256 660.9[3]	C+ 1125/1024 162.9[3]
25	Poznámka poměr centů	F♯ 25/18 568.7[3]	C♯ 25/24 70.7	G♯ 25/16 772.6	D♯ 75/64 274.6	A♯+ 225/128 976.5[3]
5	Poznámka poměr centů	D− 10/9 182.4	A 5/3 884.4	E 5/4 386.3	B 15/8 1088.3	F♯+ 45/32 590.2
1	Poznámka poměr centů	B♭− 16/9 996.1	F 4/3 498.0	C 1/1 0.0	G 3/2 702.0	D 9/8 203.9
1/5	Poznámka poměr centů	G♭− 64/45 609.8	D♭− 16/15 111.7	A♭ 8/5 813.7	E♭ 6/5 315.6	B♭ 9/5 1017.6
1/25	Poznámka poměr centů	E− 256/225 223.5[3]	B− 128/75 925.4[3]	F♭ 32/25 427.4	C♭ 48/25 1129.3	G♭ 36/25 631.3
1/125	Poznámka poměr centů	C− 2048/1125 1037.1[3]	G− 512/375 539.1[3]	D− 128/125 41.1[3]	A 192/125 743.0	E 144/125 245.0

Levý sloupec (1/9) se někdy odstraní (jako v asymetrické škále zobrazené výše), čímž se vytvoří asymetrická tabulka s menším počtem hřišť. Všimněte si, že pro zmenšenou pětinu (C-G♭ = 36/25), s ohledem na omezené 5-limitní ladění popsané výše (kde C až G♭- = 64/45).^[6]

Dějiny

V Pythagorově ladění možná první systém ladění teoretizovaný na Západě,^[7] jediné vysoce souhláskové intervaly byly perfektní pátý a jeho inverze, perfektní čtvrtý. Pythagorejec hlavní tercie (81:64) a malá tercie (32:27) byli disharmonický, a to bránilo hudebníkům v používání triády a akordy, nutí je po staletí psát hudbu relativně jednoduše textura. V pozdních Středověk, hudebníci si uvědomili, že mírným zmírněním výšky některých tónů lze dosáhnout Pythagorovy třetiny souhláska. Například pokud poklesnete o a syntonická čárka (81:80) frekvence E, C-E (hlavní tercie) a E-G (malá tercie) se stávají spravedlivými. Konkrétně je C-E zúžen na spravedlivě intonovaný poměr

${ displaystyle {81 nad 64} cdot {80 nad 81} = {{1 cdot 5} nad {4 cdot 1}} = {5 nad 4}}$

a zároveň je E-G rozšířen na spravedlivý poměr

${ displaystyle {32 nad 27} cdot {81 nad 80} = {{2 cdot 3} nad {1 cdot 5}} = {6 nad 5}}$

Nevýhodou je, že pětiny A-E a E-B, zploštěním E, se stávají téměř stejně disonantními jako Pythagorean vlk pátý. Ale pátý C-G zůstává souhláskový, protože pouze E bylo zploštělé (C-E * E-G = 5/4 * 6/5 = 3/2) a může být použit společně s C-E k vytvoření C-hlavní, důležitý triáda (C-E-G).

Zobecněním tohoto jednoduchého zdůvodnění Gioseffo Zarlino na konci šestnáctého století vytvořil první spravedlivě intonovaný 7-tón (diatonický ) měřítko, které obsahovalo čisté dokonalé pětiny (3: 2), čisté hlavní třetiny a čisté malé třetiny:

F → A → C → E → G → B → D

Toto je posloupnost jen hlavních třetin (M3, poměr 5: 4) a jen malých třetin (m3, poměr 6: 5), počínaje od F:

F + M3 + m3 + M3 + m3 + M3 + m3

Vzhledem k tomu, že M3 + m3 = P5 (dokonalá pátá), tj. 5/4 * 6/5 = 3/2, je to přesně ekvivalentní diatonické stupnici získané v 5-limitu právě intonací, a proto jej lze považovat za podmnožinu konstrukční stůl používaný pro 12tónové (chromatický ) měřítko:

kde oba řádky jsou sekvence pouhých pětin a F-A, C-E, G-B jsou jen hlavní třetiny:

Viz také

• Matematika hudebních měřítek
• Mikrotonální hudba
• Mikrotuner
• Pythagorovský interval
• Půltón
• Seznam intervalů v 5-limitové intonaci
• Seznam nezvyklých intervalů
• Seznam hudebních intervalů
• Seznam intervalů výšky tónu
• Celotónová stupnice
• Pravidelné číslo
• Hexany
• Elektronický tuner
• Souhláska a nesoulad

Poznámky

externí odkazy

• Art of the States: microtonal / just intonation díla využívající pouze intonaci amerických skladatelů
• The Chrysalis Foundation - Just Intonation: Two Definitions
• Kytara Dante Rosati 21 Tone Just Intonation
• Jen intonace podle Mark Nowitzky
• Just Intonation Explained podle Kyle Gann
• Výběr děl Just Intonation upravených sítí Just Intonation Network web zveřejněný na internetu Tellus Audio Cassette Magazine archiv projektů na Ubuweb
• Středověká hudba a umění Foundation
• Music Novatory - Just Intonation
• Proč zní Just Intonation tak dobře?
• Wilsonovy archivy
• Barbieri, Patrizio. Enharmonické nástroje a hudba, 1470–1900. (2008) Latina, Il Levante
• 22 Note Just Intonation Keyboard Software with 12 Indian Instrument Sounds Libreria Editrice
• Plainsound Music Edition - Hudba a výzkum JI, informace o notaci Helmholtz-Ellis JI Pitch