Oblast důvěry - Confidence region

v statistika, a oblast důvěry je vícerozměrné zobecnění a interval spolehlivosti. Je to sada bodů v n-dimenzionální prostor, často reprezentovaný jako elipsoid kolem bodu, který je odhadovaným řešením problému, i když se mohou objevit i jiné tvary.

Výklad

Oblast spolehlivosti se vypočítá takovým způsobem, že pokud by se sada měření opakovala mnohokrát a oblast spolehlivosti se počítala stejným způsobem pro každou sadu měření, pak by určité procento času (např. 95%) oblast spolehlivosti zahrňte bod představující „skutečné“ hodnoty souboru odhadovaných proměnných. Pokud však určité předpoklady o předchozí pravděpodobnosti jsou vyrobeny, to dělá ne znamená, že když byla vypočítána jedna oblast spolehlivosti, existuje 95% pravděpodobnost, že „skutečné“ hodnoty leží uvnitř oblasti, protože nepředpokládáme žádné konkrétní rozdělení pravděpodobnosti „skutečných“ hodnot a můžeme nebo nemusíme mít další informace o tom, kde pravděpodobně budou ležet.

Případ nezávislých, identicky normálně distribuovaných chyb

Předpokládejme, že jsme našli řešení ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ na následující předurčený problém:

${ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {X} { boldsymbol { beta}} + { boldsymbol { varepsilon}}}$

kde Y je n-dimenzionální vektor sloupce obsahující pozorované hodnoty závislá proměnná, X je n-podle-str matice sledovaných hodnot nezávislé proměnné (který může představovat fyzický model), o kterém se předpokládá, že je přesně znám, ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ je sloupcový vektor obsahující str - parametry, které mají být odhadnuty, a - ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ je n-dimenzionální sloupcový vektor chyb, o kterých se předpokládá, že jsou nezávisle distribuovány s normální distribuce s nulovým průměrem a každý se stejnou neznámou odchylkou ${ displaystyle sigma ^ {2}}$.

Spoj 100 (1 -α)% oblast spolehlivosti pro prvky ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$ je reprezentován množinou hodnot vektoru b které splňují následující nerovnost:^[1]

${ displaystyle ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) ^ { prime} mathbf {X} ^ { prime} mathbf {X} ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) leq ps ^ {2} F_ {1- alpha} (p, nu),}$

kde proměnná b představuje jakýkoli bod v oblasti spolehlivosti, str je počet parametrů, tj. počet prvků vektoru ${ displaystyle { boldsymbol { beta}},}$ ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$ je vektor odhadovaných parametrů a s² je snížený chi-kvadrát, an nestranný odhad z ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ rovná

${ displaystyle s ^ {2} = { frac { varepsilon ^ { prime} varepsilon} {n-p}}.}$

Dále, F je kvantilová funkce z F-distribuce, s str a ${ displaystyle nu = n-p}$ stupně svobody, ${ displaystyle alpha}$ je statistická významnost úroveň a symbol ${ displaystyle X ^ { prime}}$ znamená přemístit z ${ displaystyle X}$.

Výraz lze přepsat jako:

${ displaystyle ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) ^ { prime} mathbf {C} _ { mathbf { beta}} ^ {- 1} ({ boldsymbol { hat { beta}}} - mathbf {b}) leq pF_ {1- alpha} (p, nu),}$

kde ${ displaystyle mathbf {C} _ { mathbf { beta}} = s ^ {2} left ( mathbf {X} ^ { prime} mathbf {X} right) ^ {- 1}}$ je kovarianční matice s měřítkem nejmenších čtverců ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$.

Výše uvedená nerovnost definuje elipsoidní region v str-rozměrný kartézský prostor parametrů R^str. Střed elipsoidu je při odhadu ${ displaystyle { boldsymbol { hat { beta}}}}$. Podle Press et al. Je snadnější vykreslit elipsoid poté, co to uděláte rozklad singulární hodnoty. Délky os elipsoidu jsou úměrné převráceným hodnotám na úhlopříčkách úhlopříčné matice a směry těchto os jsou dány řádky 3. matice rozkladu.

Vážené a zobecněné nejmenší čtverce

Nyní zvažte obecnější případ, kdy některé odlišné prvky ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ znát nenulovou hodnotu kovariance (jinými slovy, chyby v pozorováních nejsou nezávisle distribuovány) a / nebo standardní odchylky chyb nejsou všechny stejné. Předpokládejme kovarianční matici ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ je ${ displaystyle mathbf {V} sigma ^ {2}}$, kde PROTI je n-podle-n nesingulární matice, která se rovnala ${ displaystyle mathbf {I}}$ v konkrétnějším případě zpracovaném v předchozí části, (kde Já je matice identity,) ale zde je povoleno mít nenulovou hodnotu mimo diagonální prvky představující kovarianci párů jednotlivých pozorování a nemusí mít nutně všechny diagonální prvky stejné.

Je možné najít^[2] nesingulární symetrická matice P takhle

${ displaystyle mathbf {P} ^ { prime} mathbf {P} = mathbf {P} mathbf {P} = mathbf {V}}$

V důsledku, P je druhá odmocnina kovarianční matice PROTI.

Problém nejmenších čtverců

${ displaystyle mathbf {Y} = mathbf {X} { boldsymbol { beta}} + { boldsymbol { varepsilon}}}$

pak lze transformovat vynásobením každého termínu převrácenou hodnotou P, formování nové formulace problému

${ displaystyle mathbf {Z} = mathbf {Q} { boldsymbol { beta}} + mathbf {f},}$

kde

${ displaystyle mathbf {Z} = mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {Y}}$

${ displaystyle mathbf {Q} = mathbf {P} ^ {- 1} mathbf {X}}$ a

${ displaystyle mathbf {f} = mathbf {P} ^ {- 1} { boldsymbol { varepsilon}}}$

Společná oblast spolehlivosti pro parametry, tj. Pro prvky ${ displaystyle { boldsymbol { beta}}}$, je pak ohraničen elipsoidem daným vztahem:^[3]

${ displaystyle ( mathbf {b} - { boldsymbol { hat { beta}}}) ^ { prime} mathbf {Q} ^ { prime} mathbf {Q} ( mathbf {b} - { boldsymbol { hat { beta}}}) = { frac {p} {np}} ( mathbf {Z} ^ { prime} mathbf {Z} - mathbf {b} ^ { prime } mathbf {Q} ^ { prime} mathbf {Z}) F_ {1- alpha} (p, np).}$

Tady F představuje procentní bod z F-rozdělení a množství str a n-p jsou stupně svobody které jsou parametry této distribuce.

Nelineární problémy

Pro jakékoli rozdělení pravděpodobnosti lze definovat oblasti spolehlivosti. Experimentátor může zvolit úroveň významnosti a tvar oblasti a poté velikost oblasti určí rozdělení pravděpodobnosti. Přirozenou volbou je použít jako hranici množinu bodů s konstantou ${ displaystyle chi ^ {2}}$ (chi-kvadrát ) hodnoty.

Jedním z přístupů je použít lineární aproximaci nelineárního modelu, což může být blízká aproximace v blízkosti řešení, a poté použít analýzu pro lineární problém a najít přibližnou oblast spolehlivosti. To může být rozumný přístup, pokud oblast spolehlivosti není příliš velká a druhé deriváty modelu také nejsou příliš velké.

Bootstrapping Lze také použít přístupy.^[4]

Vidět Metodiky kvantifikace nejistoty pro šíření dopředné nejistoty pro související pojmy.

Viz také

• Pravděpodobná kruhová chyba
• Lineární regrese
• Pásmo důvěry

Poznámky

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Reference

• Draper, N.R .; H. Smith (1981) [1966]. Aplikovaná regresní analýza (2. vyd.). USA: John Wiley and Sons Ltd. ISBN  0-471-02995-5.
• Press, W.H .; S.A. Teukolsky; W.T. Vetterling; B.P. Flannery (1992) [1988]. Numerické recepty v C: Umění vědeckých výpočtů (2. vyd.). Cambridge UK: Cambridge University Press.

externí odkazy