Místní asymptotická normalita - Local asymptotic normality
v statistika, místní asymptotická normalita je vlastnost posloupnosti statistické modely, což umožňuje tuto sekvenci asymptoticky aproximován podle a model normálního umístění, po změně měřítka parametru. Důležitým příkladem, kdy platí místní asymptotická normalita, je případ iid vzorkování z a běžný parametrický model.
Pojem místní asymptotické normality zavedl Le Cam (1960).
Definice
tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Září 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
Posloupnost parametrické statistické modely { Pn, θ: θ ∈ Θ} se říká, že je místně asymptoticky normální (LAN) na θ pokud existují matice rn a Jáθ a náhodný vektor Δn, θ ~ N(0, Jáθ) takové, že pro každou konvergující sekvenci hn → h,[1]
kde zde je derivát a Derivát Radon – Nikodym, což je formalizovaná verze míra pravděpodobnosti, a kde Ó je typ velké O v notaci pravděpodobnosti. Jinými slovy, poměr místní pravděpodobnosti musí být konvergovat v distribuci na normální náhodnou proměnnou, jejíž průměr se rovná mínus jedné polovině rozptylu:
Sekvence distribucí a jsou souvislý.[1]
Příklad
Nejpřímějším příkladem LAN modelu je iid model, jehož pravděpodobnost je dvakrát kontinuálně diferencovatelná. Předpokládat { X1, X2, …, Xn } je iidový vzorek, kde každý Xi má funkci hustoty F(X, θ). Funkce pravděpodobnosti modelu se rovná
Li F je dvakrát nepřetržitě diferencovatelné v θ, pak
Připojování , dává
Podle teorém centrálního limitu, první člen (v závorkách) konverguje v distribuci na normální náhodnou proměnnou Δθ ~ N(0, Jáθ), zatímco u zákon velkých čísel výraz v druhé závorce konverguje s pravděpodobností na Jáθ, který je Fisherova informační matice:
Definice lokální asymptotické normality je tedy splněna a potvrdili jsme, že parametrický model s pozorováním iid a dvakrát kontinuálně diferencovanou pravděpodobností má vlastnost LAN.
Viz také
Poznámky
- ^ A b van der Vaart (1998 103–104)
Reference
- Ibragimov, I.A .; Has’minskiĭ, R.Z. (1981). Statistický odhad: asymptotická teorie. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90523-5.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Le Cam, L. (1960). "Lokálně asymptoticky normální rodiny distribucí". University of California Publications in Statistics. 3: 37–98.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- van der Vaart, A.W. (1998). Asymptotické statistiky. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78450-4.CS1 maint: ref = harv (odkaz)