Věta o spojitém mapování - Continuous mapping theorem

Nesmí být zaměňována s věta o kontrakčním mapování.

v teorie pravděpodobnosti, věta o spojitém mapování uvádí, že spojité funkce zachovat limity i když jsou jejich argumenty posloupností náhodných proměnných. Kontinuální funkce, v Heineova definice, je taková funkce, která mapuje konvergentní sekvence na konvergentní sekvence: if Xn → X pak G(Xn) → G(X). The věta o spojitém mapování uvádí, že to bude také pravda, pokud nahradíme deterministickou posloupnost {Xn} se sekvencí náhodných proměnných {Xn} a nahraďte standardní pojem konvergence reálných čísel „→“ jedním z typů konvergence náhodných proměnných.

Tuto větu poprvé prokázal Henry Mann a Abraham Wald v roce 1943,[1] a proto se mu někdy říká Mann – Waldova věta.[2] Mezitím, Denis Sargan označuje to jako obecná věta o transformaci.[3]

Prohlášení

Nechť {Xn}, X být náhodné prvky definované na a metrický prostor S. Předpokládejme funkci G: S→S ' (kde S ' is another metric space) has the set of body diskontinuity DG takhle Pr [X ∈ DG] = 0. Pak[4][5]

kde horní indexy, „d“, „p“ a „a.s.“ označit konvergence v distribuci, konvergence v pravděpodobnosti, a téměř jistá konvergence resp.

Důkaz

Tento důkaz byl převzat z (van der Vaart 1998, Věta 2.3)

Prostory S a S ' jsou vybaveny určitými metrikami. Pro zjednodušení označíme obě tyto metriky pomocí |X − y| notace, i když metriky mohou být libovolné a ne nutně euklidovské.

Konvergence v distribuci

Budeme potřebovat konkrétní prohlášení od Portmanteauova věta: ta konvergence v distribuci je ekvivalentní k

pro každou omezenou spojitou funkci F.

To tedy stačí dokázat pro každou ohraničenou spojitou funkci F. Všimněte si, že je sám o sobě omezenou spojitou funkcí. A tak nárok vyplývá z výše uvedeného prohlášení.

Konvergence v pravděpodobnosti

Opravte svévolně ε > 0. Pak pro všechny δ > 0 zvažte sadu Bδ definováno jako

Toto je sada bodů spojitosti X funkce G(·) Pro které je možné najít v rámci δ- sousedství X, bod, který mapuje mimo ε- sousedství G(X). Podle definice spojitosti se tato množina zmenšuje na δ jde na nulu, takže limδ → 0Bδ = ∅.

Nyní předpokládejme, že |G(X) − G(Xn)| > ε. To znamená, že platí alespoň jedna z následujících možností: buď |X−Xn| ≥ δnebo X ∈ DGnebo X∈Bδ. Pokud jde o pravděpodobnosti, lze to napsat jako

Na pravé straně první člen konverguje k nule jako n → ∞ pro všechny pevné δ, definicí konvergence v pravděpodobnosti posloupnosti {Xn}. Druhý člen konverguje k nule jako δ → 0, od sady Bδ zmenší se na prázdnou sadu. A poslední člen se shodně rovná nule převzetím věty. Závěr je tedy takový

což znamená, že G(Xn) konverguje k G(X) v pravděpodobnosti.

Téměř jistá konvergence

Podle definice kontinuity funkce G(·),

v každém bodě X(ω) kde G(·) Je spojitý. Proto,

protože křižovatka dvou téměř jistých událostí je téměř jistá.

Podle definice z toho usuzujeme G(Xn) konverguje k G(X) téměř jistě.

Viz také

Reference

  1. ^ Mann, H. B .; Wald, A. (1943). „Na stochastické mezní a objednávkové vztahy“. Annals of Mathematical Statistics. 14 (3): 217–226. doi:10.1214 / aoms / 1177731415. JSTOR  2235800.
  2. ^ Amemiya, Takeshi (1985). Pokročilá ekonometrie. Cambridge, MA: Harvard University Press. p. 88. ISBN  0-674-00560-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  3. ^ Sargan, Denis (1988). Přednášky o pokročilé ekonometrické teorii. Oxford: Basil Blackwell. s. 4–8. ISBN  0-631-14956-2.
  4. ^ Billingsley, Patrick (1969). Konvergence pravděpodobnostních opatření. John Wiley & Sons. p. 31 (dodatek 1). ISBN  0-471-07242-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  5. ^ Van der Vaart, A. W. (1998). Asymptotické statistiky. New York: Cambridge University Press. p. 7 (věta 2.3). ISBN  0-521-49603-9.