Čebyševova součet nerovností - Chebyshevs sum inequality - Wikipedia

v matematika, Čebyševova nerovnost součtu, pojmenoval podle Pafnuty Čebyšev, uvádí, že pokud

{ displaystyle a_ {1} geq a_ {2} geq cdots geq a_ {n}}

a

{ displaystyle b_ {1} geq b_ {2} geq cdots geq b_ {n},}

pak

{ displaystyle {1 over n} součet _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} cdot b_ {k} geq left ({1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} right) left ({1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right).}

Podobně, pokud

{ displaystyle a_ {1} leq a_ {2} leq cdots leq a_ {n}}

a

{ displaystyle b_ {1} geq b_ {2} geq cdots geq b_ {n},}

pak

{ displaystyle {1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k} leq left ({1 over n} sum _ {k = 1} ^ { n} a_ {k} right) left ({1 over n} sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} right).}

^[1]

Důkaz

Zvažte součet

{ displaystyle S = sum _ {j = 1} ^ {n} sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {j} -a_ {k}) (b_ {j} -b_ {k} ).}

Tyto dvě sekvence se tedy nerostou $A j - A k$ a $b j - b k$ mít stejné označení pro všechny $j, k$ . Proto $S \geq 0$ .

Otevřením závorek odvodíme:

{ displaystyle 0 leq 2n sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} -2 sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} , sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k},}

odkud

{ displaystyle { frac {1} {n}} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} b_ {j} geq vlevo ({ frac {1} {n}} součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} doprava) , doleva ({ frac {1} {n}} součet _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} doprava ).}

Alternativní důkaz lze jednoduše získat pomocí přeskupení nerovnost, psaní to

{ displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} sum _ {j = 0} ^ {n-1} b_ {j} = sum _ {i = 0} ^ { n-1} sum _ {j = 0} ^ {n-1} a_ {i} b_ {j} = sum _ {i = 0} ^ {n-1} sum _ {k = 0} ^ {n-1} a_ {i} b_ {i + k ~ { text {mod}} ~ n} = sum _ {k = 0} ^ {n-1} sum _ {i = 0} ^ { n-1} a_ {i} b_ {i + k ~ { text {mod}} ~ n} leq sum _ {k = 0} ^ {n-1} sum _ {i = 0} ^ { n-1} a_ {i} b_ {i} = n součet _ {i} a_ {i} b_ {i}.}

Existuje také průběžná verze Čebyševovy součet nerovnosti:

Li F a G jsou reálné, integrovatelné funkce nad [0,1], a to jak nerostoucí, tak obě neklesající

{ displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x) g (x) , dx geq int _ {0} ^ {1} f (x) , dx int _ {0} ^ {1} g (x) , dx,}

s obrácenou nerovností, pokud jeden neroste a druhý neklesá.

^ Hardy, G. H .; Littlewood, J. E .; Pólya, G. (1988). Nerovnosti. Cambridge Matematická knihovna. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9. PAN 0944909.