Fisherova transformace - Fisher transformation

Graf transformace (oranžově). Netransformovaný koeficient korelace vzorku je vynesen na vodorovnou osu a transformovaný koeficient je vynesen na svislou osu. Pro identifikaci je také zobrazena funkce identity (šedá).

v statistika, Fisherova transformace (aka Rybář z-proměna) lze použít k testování hypotéz o hodnotě populace korelační koeficient ρ mezi proměnnými X a Y.^[1][2] Je to proto, že když je transformace aplikována na korelační koeficient vzorku, rozdělení vzorkování výsledné proměnné je přibližně normální, s rozptylem, který je stabilní při různých hodnotách podkladové skutečné korelace.

Definice

Vzhledem k souboru N dvojrozměrné páry vzorků (X_i, Y_i), i = 1, ..., N, korelační koeficient vzorku r je dána

${ displaystyle r = { frac { operatorname {cov} (X, Y)} { sigma _ {X} sigma _ {Y}}} = { frac { sum _ {i = 1} ^ { N} (X_ {i} - { bar {X}}) (Y_ {i} - { bar {Y}})}} {{ sqrt { sum _ {i = 1} ^ {N} (X_ {i} - { bar {X}}) ^ {2}}} { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {N} (Y_ {i} - { bar {Y}}) ^ { 2}}}}}.}$

Tady ${ displaystyle operatorname {cov} (X, Y)}$ znamená kovariance mezi proměnnými ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ a ${ displaystyle sigma}$ znamená standardní odchylka příslušné proměnné. Fisherova transformace z r je definován jako

${ displaystyle z = {1 nad 2} ln vlevo ({1 + r nad 1-r} doprava) = operatorname {arctanh} (r),}$

kde "ln" je přirozený logaritmus funkce a "arctanh" je inverzní hyperbolická tangensová funkce.

Pokud (X, Y) má rozdělit normální rozdělení s korelací ρ a dvojicemi (X_i, Y_i) jsou nezávislé a identicky distribuované, pak z je přibližně normálně distribuováno s průměrem

${ displaystyle {1 over 2} ln left ({{1+ rho} over {1- rho}} right),}$

a standardní chyba

${ displaystyle {1 over { sqrt {N-3}}},}$

kde N je velikost vzorku a ρ je skutečný korelační koeficient.

Tato transformace a její inverze

${ displaystyle r = { frac { exp (2z) -1} { exp (2z) +1}} = operatorname {tanh} (z),}$

lze použít ke konstrukci velkého vzorku interval spolehlivosti pror pomocí standardní normální teorie a derivací. Viz také přihláška do částečná korelace.

Derivace

Fisher Transformace s ${ displaystyle rho = 0,9}$ a ${ displaystyle N = 30}$. Ilustrována je přesná funkce hustoty pravděpodobnosti ${ displaystyle r}$ (v černé barvě), spolu s funkcemi hustoty pravděpodobnosti obvyklé Fisherovy transformace (modrá) a funkcí získaných zahrnutím dalších výrazů, které závisí na ${ displaystyle N}$ (Červené). Druhá aproximace je vizuálně nerozeznatelná od přesné odpovědi (její maximální chyba je 0,3% ve srovnání s 3,4% základního Fishera).

Chcete-li odvodit Fisherovu transformaci, začněte zvážením libovolné rostoucí funkce ${ displaystyle r}$, řekněme ${ displaystyle G (r)}$. Nalezení prvního termínu ve velkém${ displaystyle N}$ rozšíření odpovídající šikmosti má za následek

${ displaystyle { frac {6 rho -3 (1- rho ^ {2}) G ^ { prime prime} ( rho) / G ^ { prime} ( rho)} { sqrt { N}}} + O (N ^ {- 3/2}).}$

Vytvoření rovné nule a řešení odpovídající diferenciální rovnice pro ${ displaystyle G}$ výnosy ${ displaystyle operatorname {artanh}}$ funkce. Podobně rozšiřujeme průměr a rozptyl ${ displaystyle operatorname {artanh} (r)}$, jeden dostane

${ displaystyle operatorname {artanh} ( rho) + { frac { rho} {2N}} + O (N ^ {- 2})}$

a

${ displaystyle { frac {1} {N}} + { frac {6- rho ^ {2}} {2N ^ {2}}} + O (N ^ {- 3})}$

resp. Zvláštní výrazy nejsou součástí obvyklé Fisherovy transformace. Pro velké hodnoty ${ displaystyle rho}$ a malé hodnoty ${ displaystyle N}$ představují velké zlepšení přesnosti při minimálních nákladech, i když značně komplikují výpočet inverze jako a uzavřený výraz není k dispozici. Téměř konstantní rozptyl transformace je výsledkem odstranění její šikmosti - skutečného zlepšení je dosaženo tím druhým, nikoli extra podmínkami. Včetně výtěžků navíc:

${ displaystyle { frac {z- operatorname {artanh} ( rho) - { frac { rho} {2N}}} { sqrt {{ frac {1} {N}} + { frac { 6- rho ^ {2}} {2N ^ {2}}}}}}}$

který má k vynikající aproximaci a standardní normální rozdělení.^[3]

Diskuse

Fisherova transformace je přibližná varianta stabilizující transformaci pro r když X a Y následujte dvojrozměrné normální rozdělení. To znamená, že rozptyl z je přibližně konstantní pro všechny hodnoty korelačního koeficientu populace ρ. Bez Fisherovy transformace, rozptyl r se zmenšuje jako |ρ| blíží se 1. Protože Fisherova transformace je přibližně funkcí identity, když |r| <1/2, je někdy užitečné si uvědomit, že rozptyl r je dobře aproximován 1 /N pokud |ρ| není příliš velký a N není příliš malý. To souvisí se skutečností, že asymptotická varianta r je 1 pro dvojrozměrné normální údaje.

Chování této transformace bylo od té doby rozsáhle studováno Rybář představil v roce 1915. Fisher sám zjistil přesné rozdělení z pro data z dvojrozměrného normálního rozdělení v roce 1921; Gayen v roce 1951^[4]určil přesné rozdělení z pro data z dvojrozměrného typu A. Edgeworth distribuce. Hotelling v roce 1953 vypočítal výrazy Taylorovy řady pro momenty z a několik souvisejících statistik^[5] a Hawkins v roce 1989 objevili asymptotickou distribuci z pro data z distribuce s ohraničenými čtvrtými momenty.^[6]

Jiná použití

Zatímco Fisherova transformace je spojena hlavně s Pearsonův korelační koeficient produkt-moment pro dvojrozměrná normální pozorování to lze také použít na Spearmanovův korelační koeficient v obecnějších případech.^[7] Podobný výsledek pro asymptotická distribuce platí, ale s malým faktorem úpravy: viz druhý článek^{[je zapotřebí objasnění ]} pro detaily.

Viz také

• Transformace dat (statistika)
• Metaanalýza (tato transformace se používá v metaanalýze ke stabilizaci rozptylu)
• Částečná korelace
• R implementace

Reference