Šikmé číslo - Skewess number - Wikipedia

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale její zdroje zůstávají nejasné, protože jí chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Srpna 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel, Skewesovo číslo je některý z několika vysoká čísla používá Jihoafričan matematik Stanley Skewes tak jako horní hranice pro nejmenší přirozené číslo ${ displaystyle x}$ pro který

${ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x),}$

kde π je funkce počítání prvočísel a li je logaritmická integrální funkce. Nedaleko je přechod ${ displaystyle e ^ {727.95133} <1,397 krát 10 ^ {316}.}$ Není známo, zda je nejmenší.

Skewesova čísla

John Edensor Littlewood, který byl vedoucím výzkumu Skewes, prokázal v Littlewood (1914) že existuje takové číslo (a tedy první takové číslo); a skutečně zjistil, že je známkou rozdílu ${ displaystyle pi (x) - operatorname {li} (x)}$ nekonečně často se mění. Zdálo se, že to naznačují všechny dostupné numerické důkazy ${ displaystyle pi (x)}$ bylo vždy méně než ${ displaystyle operatorname {li} (x)}$. Littlewoodův důkaz však takové konkrétní číslo nevykazoval ${ displaystyle x}$.

Zkosení (1933) prokázal, že za předpokladu, že Riemannova hypotéza je pravda, existuje číslo ${ displaystyle x}$ porušující ${ displaystyle pi (x) < operatorname {li} (x),}$ níže

${ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {79}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}}$.

v Skewes (1955), aniž by předpokládal Riemannovu hypotézu, Skewes dokázal, že musí existovat hodnota ${ displaystyle x}$ níže

${ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {7.705}}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {964}}}}$.

Úkolem Skewese bylo udělat důkaz o existenci Littlewooda efektivní: vykazující určitou konkrétní horní mez pro první změnu znaménka. Podle Georg Kreisel, to v té době nebylo považováno za zjevné ani v zásadě.

Novější odhady

Tyto horní hranice byly od té doby značně sníženy pomocí rozsáhlých počítačových výpočtů nul Funkce Riemann zeta. První odhad skutečné hodnoty bodu křížení byl dán vztahem Lehman (1966), který to ukázal někde mezi ${ displaystyle 1,53 krát 10 ^ {1165}}$ a ${ displaystyle 1,65 krát 10 ^ {1165}}$ je tam více než ${ displaystyle 10 ^ {500}}$ po sobě jdoucí celá čísla ${ displaystyle x}$ s ${ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x)}$Bez předpokladu Riemannovy hypotézy H. J. J. te Riele  (1987 ) prokázal horní hranici ${ displaystyle 7 krát 10 ^ {370}}$. Lepší odhad byl ${ displaystyle 1,39822 krát 10 ^ {316}}$ objeveno uživatelem Bays & Hudson (2000), kteří ukázali, že jsou alespoň ${ displaystyle 10 ^ {153}}$ po sobě jdoucí celá čísla někde poblíž této hodnoty kde ${ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x),}$ a navrhl, že tam jsou pravděpodobně přinejmenším ${ displaystyle 10 ^ {311}}$. Bays a Hudson našli několik mnohem menších hodnot ${ displaystyle x}$ kde ${ displaystyle pi (x)}$ se blíží ${ displaystyle operatorname {li} (x)}$; možnost, že v blízkosti těchto hodnot jsou body křížení, se zatím definitivně nevyloučila, i když počítačové výpočty naznačují, že pravděpodobně neexistují. Chao & Plymen (2010) poskytl malé zlepšení a korekci výsledku Bayse a Hudsona. Saouter & Demichel (2010) našel menší interval pro přejezd, který byl mírně vylepšen o Zegowitz (2010). Stejný zdroj ukazuje, že existuje číslo ${ displaystyle x}$ porušující ${ displaystyle pi (x) < operatorname {li} (x),}$ níže ${ displaystyle e ^ {727.9513468} <1,39718 krát 10 ^ {316}}$. To lze snížit na ${ displaystyle e ^ {727.9513386} <1,39717 krát 10 ^ {316}}$, za předpokladu Riemannovy hypotézy. Stoll & Demichel (2011) dal ${ displaystyle 1,39716 krát 10 ^ {316}}$.

Přísně, Rosser & Schoenfeld (1962) prokázal, že níže nejsou žádné body přechodu ${ displaystyle x = 10 ^ {8}}$, vylepšeno o Brent (1975) na ${ displaystyle 8 krát 10 ^ {10}}$tím, že Kotnik (2008) na ${ displaystyle 10 ^ {14}}$tím, že Platt & Trudgian (2014) na ${ displaystyle 1,39 krát 10 ^ {17}}$, a tím Büthe (2015) na ${ displaystyle 10 ^ {19}}$.

Neexistuje žádná explicitní hodnota ${ displaystyle x}$ je známo, že jistě mají tuto vlastnost ${ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x),}$ ačkoli počítačové výpočty naznačují některá explicitní čísla, která to pravděpodobně uspokojí.

I když přirozená hustota kladných celých čísel, pro která ${ displaystyle pi (x)> operatorname {li} (x)}$ neexistuje, Wintner (1941) ukázal, že logaritmická hustota těchto kladných celých čísel existuje a je kladná. Rubinstein & Sarnak (1994) ukázal, že tento podíl je asi 0,00000026, což je překvapivě velké vzhledem k tomu, jak daleko je třeba jít, abychom našli první příklad.

Riemannova formule

Riemann dal explicitní vzorec pro ${ displaystyle pi (x)}$, jejichž hlavní pojmy jsou (ignorování jemných otázek konvergence)

${ displaystyle pi (x) = operatorname {li} (x) - { tfrac {1} {2}} operatorname {li} ({ sqrt {x ,}}) - součet _ { rho} operatorname {li} (x ^ { rho}) + { text {menší výrazy}}}$

kde je součet nade vše ${ displaystyle rho}$ v sadě netriviální nuly Riemannovy zeta funkce.

Největší chybový termín v aproximaci ${ displaystyle pi (x) přibližně operatorname {li} (x)}$ (pokud Riemannova hypotéza je pravda) je negativní ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} operatorname {li} ({ sqrt {x ,}})}$, což ukazuje ${ displaystyle operatorname {li} (x)}$ je obvykle větší než ${ displaystyle pi (x)}$. Ostatní výše uvedené výrazy jsou poněkud menší a navíc mají různé, zdánlivě náhodné složité argumenty, takže se většinou ruší. Občas se však může stát, že několik větších bude mít zhruba stejný složitý argument, v takovém případě se místo zrušení posílí navzájem a přemůže termín ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} operatorname {li} ({ sqrt {x ,}})}$.

Důvod, proč je číslo Skewes tak velké, je ten, že tyto menší výrazy jsou celkem hodně menší než hlavní chybový člen, hlavně proto, že první komplexní nula funkce zeta má poměrně velkou imaginární část, takže velké množství (několik set) z nich musí mít zhruba stejný argument, aby přemohl dominantní člen. Šance na ${ displaystyle N}$ náhodná komplexní čísla, která mají zhruba stejný argument, jsou asi 1 palec ${ displaystyle 2 ^ {N}}$To vysvětluje proč ${ displaystyle pi (x)}$ je někdy větší než ${ displaystyle operatorname {li} (x),}$ a také důvod, proč se to stane jen zřídka. Ukazuje také, proč hledání míst, kde se to stane, závisí na rozsáhlých výpočtech milionů vysoce přesných nul funkce Riemann zeta.

Výše uvedený argument není důkazem, protože předpokládá, že nuly funkce Riemann zeta jsou náhodné, což není pravda. Zhruba řečeno, Littlewoodův důkaz se skládá z Dirichletova věta o aproximaci ukázat, že někdy mnoho termínů má přibližně stejný argument. v případě, že Riemannova hypotéza je nepravdivá, je argument mnohem jednodušší, v podstatě proto, že termíny ${ displaystyle operatorname {li} (x ^ { rho})}$ pro nuly porušující Riemannovu hypotézu (se skutečnou částí větší než 1/2) jsou nakonec větší než ${ displaystyle operatorname {li} (x ^ {1/2})}$.

Důvod tohoto termínu ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} mathrm {li} (x ^ {1/2})}$ je to zhruba řečeno, ${ displaystyle mathrm {li} (x)}$ ve skutečnosti počítá mocniny prvočísel, nikoli samotné prvočísla ${ displaystyle p ^ {n}}$ váženo ${ displaystyle { frac {1} {n}}}$. Termín ${ displaystyle { tfrac {1} {2}} mathrm {li} (x ^ {1/2})}$ je zhruba analogický s korekcí druhého řádu, která počítá s druhou mocninou prvočísel.

Ekvivalent pro primární n-tice

Ekvivalentní definice Skewesova počtu existuje pro primární k- n-tice (Tóth (2019) ). Nechat ${ displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$ označit prvočíslo (k + 1) -tuple, ${ displaystyle pi _ {P} (x)}$ počet prvočísel ${ displaystyle p}$ níže ${ displaystyle x}$ takhle ${ displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$ jsou všichni hlavní, ať ${ displaystyle operatorname {li_ {P}} (x) = int _ {2} ^ {x} { frac {dt} {( ln t) ^ {k + 1}}}}$ a nechte ${ displaystyle C_ {P}}$ označit jeho Hardy-Littlewoodovou konstantu (viz první domněnka Hardyho-Littlewooda ). Pak první prime ${ displaystyle p}$ který porušuje nerovnost Hardy-Littlewood pro (k + 1) -tuple ${ displaystyle P}$, tj. první prime ${ displaystyle p}$ takhle

${ displaystyle pi _ {P} (p)> C_ {P} operatorname {li} _ {P} (p),}$

(pokud takové prvočíslo existuje) je Zkosí číslo pro ${ displaystyle P}$.

Níže uvedená tabulka ukazuje aktuálně známá čísla Skewes pro prvočíslo k-tuples:

Číslo Skewes (pokud existuje) pro sexy prvočísla ${ displaystyle (p, p + 6)}$ je stále neznámý.

Rovněž není známo, zda všechny přípustné k-tice mají odpovídající číslo Skewes.

Reference

externí odkazy

• Demichels, Patrick. „Funkce počítání prvočísel a související předměty“ (PDF). Demichel. Archivovány od originál (pdf) 8. září 2006. Citováno 2009-09-29.
• Asimov, I. (1976). „Špíz!“. Záležitosti velké i malé. New York: Ace Books. ISBN  978-0441610723.