Homotopické skupiny koulí - Homotopy groups of spheres

Ilustrace toho, jak lze 2 kouli omotat dvakrát kolem další 2 koule. Měly by být identifikovány hrany.

V matematický pole algebraická topologie, homotopické skupiny koulí popsat, jak sféry různých rozměry se mohou omotat kolem sebe. Jsou to příklady topologické invarianty, které odrážejí v algebraický pojmy, struktura sfér vnímána jako topologické prostory, zapomněli na jejich přesnou geometrii. Na rozdíl od homologické skupiny, což jsou také topologické invarianty, homotopické skupiny jsou překvapivě složité a obtížně vypočítatelné.

The Hopfova fibrace je netriviální mapování 3-koule do 2-koule a generuje třetí homotopickou skupinu 2-koule.

Tento obrázek napodobuje část souboru Hopfova fibrace, zajímavé mapování z trojrozměrné sféry do dvourozměrné sféry. Toto mapování je generátorem třetí homotopy skupiny 2-koule.

The $n$ -rozměrová jednotka koule - volal $n$ - koule pro stručnost a označena jako $S n$ - zobecňuje známé kruh ( $S 1$ ) a obyčejný koule ( $S 2$ ). The $n$ -sféra může být definována geometricky jako množina bodů v a Euklidovský prostor dimenze $n + 1$ nachází se v jednotkové vzdálenosti od počátku. The $i$ -th homotopická skupina $π i (S n)$ shrnuje různé způsoby, kterými $i$ -dimenzionální koule $S i$ může být zmapováno nepřetržitě do $n$ -dimenzionální koule $S n$ . Tento souhrn nerozlišuje mezi dvěma mapováními, pokud lze jedno nepřetržitě deformovaný na druhou; tedy pouze třídy ekvivalence mapování je shrnuto. Operace „přidání“ definovaná v těchto třídách ekvivalence činí ze sady tříd ekvivalence soubor abelianská skupina.

Problém stanovení $π i (S n)$ spadá do tří režimů, podle toho, zda $i$ je menší než, rovno nebo větší než $n$ .

Pro $0 < i < n$ , jakékoli mapování z $S i$ na $S n$ je homotopický (tj. kontinuálně deformovatelný) na konstantní mapování, tj. Mapování, které mapuje všechny $S i$ do jediného bodu $S n$ . Proto je homotopická skupina triviální skupina.
Když $i = n$ , každá mapa z $S n$ sama o sobě má stupeň to měří, kolikrát je koule omotána kolem sebe. Tento stupeň označuje skupinu homotopy $π n (S n)$ se skupinou celá čísla pod přidáním. Například každý bod v kruhu lze nepřetržitě mapovat na bod jiného kruhu; když se první bod pohybuje kolem prvního kruhu, může se druhý bod několikrát cyklovat kolem druhého kruhu, v závislosti na konkrétním mapování.
Nejzajímavější a nejpřekvapivější výsledky nastanou, když $i > n$ . Prvním takovým překvapením byl objev mapování zvaného Hopfova fibrace, které obklopuje 3 sféru $S 3$ kolem obvyklé sféry $S 2$ netriviálním způsobem, a proto není ekvivalentní jednobodovému mapování.

Otázka výpočtu skupiny homotopy $π n + k (S n)$ pro pozitivní $k$ se ukázala být ústřední otázkou v algebraické topologii, která přispěla k vývoji mnoha jejích základních technik a sloužila jako stimulující zaměření výzkumu. Jedním z hlavních objevů je, že homotopické skupiny $π n + k (S n)$ jsou nezávislé na $n$ pro $n \geq k + 2$ . Tito se nazývají stabilní homotopické skupiny koulí a byly vypočítány pro hodnoty $k$ až 64. Stabilní homotopické skupiny tvoří kruh koeficientu an mimořádná teorie cohomologie, volala stabilní teorie cohomotopy. Nestabilní homotopické skupiny (pro $n < k + 2$ ) jsou nepravidelnější; přesto byly uvedeny v tabulce $k < 20$ . Většina moderních výpočtů se používá spektrální sekvence, technika nejprve aplikovaná na homotopické skupiny koulí pomocí Jean-Pierre Serre. Bylo stanoveno několik důležitých vzorců, přesto mnoho zůstává neznámých a nevysvětlených.

Pozadí

Studium homotopy skupin koulí staví na velkém množství podkladového materiálu, zde stručně přezkoumáno. Algebraická topologie poskytuje širší kontext, který je sám o sobě postaven topologie a abstraktní algebra, s homotopické skupiny jako základní příklad.

$n$ -koule

Obyčejný koule v trojrozměrném prostoru - povrch, nikoli pevná koule - je jen jedním příkladem toho, co koule v topologii znamená. Geometrie definuje kouli přísně jako tvar. Zde je několik alternativ.

Implicitní povrch: $X 20 + X 21 + X 22 = 1$

Toto je množina bodů v trojrozměrném Euklidovský prostor našel přesně jednu jednotku od původu. Říká se tomu 2 koule,

S 2

, z níže uvedených důvodů. Stejná myšlenka platí pro všechny dimenze

n

; rovnice

X 20 + X 21 + \dots + X 2 n = 1

vyrábí

n

-koule jako geometrický objekt v (

n + 1

) -dimenzionální prostor. Například 1-koule

S 1

je kruh.

Disk se zhrouteným okrajem: zapsáno v topologii jako $D 2 / S 1$

Tato konstrukce přechází z geometrie do čisté topologie. The disk

D 2

je oblast obsažená v kruhu popsaná nerovností

X 20 + X 21 \leq 1

a jeho okraj (nebo „hranice ") je kruh

S 1

, popsáno rovností

X 20 + X 21 = 1

. Pokud balón je propíchnutý a šíří se naplocho a vytváří disk; tato konstrukce opravuje defekt, jako je tahání šňůrky. The rozřezat, vyslovuje se „modulo“, znamená zaujmout topologický prostor vlevo (disk) a spojit v něm všechny jako jeden bod vpravo (kruh). Oblast je dvourozměrná, a proto topologie nazývá výsledný topologický prostor 2-sférou. Zobecněný,

D n / S n -1

vyrábí

S n

. Například,

D 1

je úsečka, a konstrukce spojuje své konce a vytváří kruh. Ekvivalentní popis je, že hranice znaku

n

-dimenzionální disk je nalepen na bod, čímž vznikne a CW komplex.

Pozastavení rovníku: zapsáno v topologii jako $Σ S 1$

Tato konstrukce, i když jednoduchá, má velký teoretický význam. Vezměte kruh

S 1

být rovník, a zamést každý bod na něm do jednoho bodu výše (severní pól), produkující severní polokouli, a do jednoho bodu níže (jižní pól), produkovat jižní polokouli. Pro každé kladné celé číslo

n

,

n

-koule

X 20 + X 21 + \dots + X 2 n = 1

má jako rovník (

n - 1

)-koule

X 20 + X 21 + \dots + X 2 n -1 = 1

a pozastavení

Σ S n -1

vyrábí

S n

.

Některá teorie vyžadují výběr pevného bodu na kouli a volání páru $(koule, bod)$ A špičatá koule. U některých prostorů záleží na výběru, ale u koule jsou všechny body ekvivalentní, takže výběr je věcí pohodlí. Bod $(1, 0, 0, \dots, 0)$ , který je na rovníku všech sfér, funguje dobře pro geometrické koule; (složený) okraj disku je další zřejmá volba.

Skupina homotopy

Homotopie dvou kruhových map udržujících základní bod fixní

Přidání dvou kruhových map udržujících základní bod pevný

Rozlišovací znak a topologický prostor je jeho struktura kontinuity formalizovaná z hlediska otevřené sady nebo sousedství. A průběžná mapa je funkce mezi mezerami, která zachovává kontinuitu. A homotopy je spojitá cesta mezi spojitými mapami; dvě mapy spojené homotopií jsou považovány za homotopické. Společnou myšlenkou všech těchto konceptů je zahodit variace, které nemají vliv na výsledky zájmu. Důležitým praktickým příkladem je věta o zbytku z komplexní analýza, kde „uzavřené křivky“ jsou spojité mapy z kruhu do komplexní roviny a kde dvě uzavřené křivky vytvářejí stejný integrální výsledek, pokud jsou homotopické v topologickém prostoru skládajícím se z roviny minus body singularity.

První skupina homotopy, nebo základní skupina, $π 1 (X)$ z (cesta připojena ) topologický prostor $X$ začíná tedy spojitými mapami ze špičatého kruhu $(S 1, s)$ do špičatého prostoru $(X, X)$ , kde jsou mapy z jedné dvojice na druhou $s$ do $X$ . Tyto mapy (nebo ekvivalentně uzavřené) křivky ) jsou seskupeny do třídy ekvivalence na základě homotopy (zachování „základního bodu“ $X$ fixed), takže dvě mapy jsou ve stejné třídě, pokud jsou homotopické. Stejně jako se rozlišuje jeden bod, rozlišuje se i jedna třída: všechny mapy (nebo křivky) homotopické k konstantní mapě $S 1 \mapsto X$ se nazývají nulová homotopická. Třídy se stávají abstraktní algebraický skupina se zavedením sčítání, definovaného pomocí „stisku rovníku“. Tato špetka mapuje rovník špičaté koule (zde kruh) do rozlišovacího bodu a vytváří „kytice koulí "- dvě špičaté koule se spojily v jejich rozlišovacím bodě. Dvě mapy, které mají být přidány, mapují samostatně horní a dolní sféru, přičemž se shodují na rozlišujícím bodě, a složení se špetkou dává souhrnnou mapu."

Obecněji, $i$ -tá homotopická skupina, $π i (X)$ začíná špičatým $i$ -koule $(S i, s)$ , a jinak postupuje stejným způsobem. Nulová homotopická třída funguje jako identita přidání skupiny a pro $X$ rovná $S n$ (pro pozitivní $n$ ) - homotopické skupiny koulí - skupiny jsou abelian a definitivně generováno. Pokud pro některé $i$ všechny mapy jsou nulové homotopické, pak skupina $π i$ se skládá z jednoho prvku a nazývá se triviální skupina.

Spojitá mapa mezi dvěma topologickými prostory indukuje a skupinový homomorfismus mezi přidruženými skupinami homotopy. Zejména pokud je mapa spojitá bijekce (A homeomorfismus ), takže oba prostory mají stejnou topologii, pak jejich $i$ -th homotopy groups are izomorfní pro všechny $i$ . Skutečné letadlo má přesně stejné homotopické skupiny jako osamělý bod (stejně jako euklidovský prostor jakékoli dimenze) a skutečná rovina s odstraněným bodem má stejné skupiny jako kruh, takže samotné skupiny nestačí k rozlišení prostorů. Přestože ztráta diskriminace je nešťastná, může také usnadnit určité výpočty.

Nízkodimenzionální příklady

Nízkodimenzionální příklady homotopy skupin koulí poskytují smysl pro předmět, protože tyto speciální případy lze vizualizovat v běžném trojrozměrném prostoru (Hatcher 2002 ). Takové vizualizace však nejsou matematickými důkazy a nezachycují možnou složitost map mezi sférami.

$π 1 (S 1) = ℤ$

Prvky

{ displaystyle scriptstyle pi _ {1} (S ^ {1})}

Nejjednodušší případ se týká způsobů, jak může být kruh (1 koule) omotán kolem jiného kruhu. To lze vizualizovat zabalením a gumička kolem něčího prstu: lze jej zabalit jednou, dvakrát, třikrát atd. Obal může být v jednom ze dvou směrů a obložení v opačných směrech se po deformaci zruší. Skupina homotopy $π 1 (S 1)$ je tedy nekonečná cyklická skupina, a je izomorfní do skupiny ℤ z celá čísla navíc: třída homotopie je identifikována s celým číslem spočítáním, kolikrát se mapování ve třídě homotopy zalomí kolem kruhu. Toto celé číslo lze také považovat za číslo vinutí smyčky kolem původ v letadlo.

Identifikace (a skupinový izomorfismus ) skupiny homotopy s celými čísly je často psaný jako rovnost: tedy $π 1 (S 1) = ℤ$ .

$π 2 (S 2) = ℤ$

Ilustrace toho, jak lze 2 kouli omotat dvakrát kolem další 2 koule. Měly by být identifikovány hrany.

Mapování od 2-koule do 2-koule lze vizualizovat jako obalení plastového sáčku kolem koule a jeho následné utěsnění. Uzavřený vak je topologicky ekvivalentní 2 kouli, stejně jako povrch koule. Vak lze zabalit vícekrát otočením a zabalením zpět přes míč. (Kontinuální mapa není vyžadována injekční a tak se vak nechá projít sám.) Zkroucení může být v jednom ze dvou směrů a protilehlé zvraty se mohou deformovat. Celkový počet zvratů po zrušení je celé číslo, které se nazývá stupeň mapování. Stejně jako v případě mapování z kruhu na kruh, tento stupeň identifikuje skupinu homotopy se skupinou celých čísel, ℤ.

Tyto dva výsledky zobecňují: pro všechny $n > 0$ , $π n (S n) = ℤ$ (vidět níže ).

$π 1 (S 2) = 0$

Homotopie z kruhu kolem koule až do jediného bodu

Jakékoli spojité mapování z kruhu do obyčejné koule lze průběžně deformovat na jednobodové mapování, a proto je jeho třída homotopy triviální. Jedním ze způsobů, jak si to představit, je představit si gumičku omotanou kolem koule bez tření: páska může být vždy z kuličky sklouznuta. Homotopická skupina je tedy a triviální skupina, pouze s jedním prvkem, prvkem identity, a tak jej lze identifikovat pomocí podskupina z ℤ skládající se pouze z čísla nula. Tato skupina je často označována 0. Ukazovat to přísně vyžaduje více péče, nicméně, kvůli existencikřivky vyplňující prostor.

Tento výsledek se zobecňuje na vyšší dimenze. Všechna zobrazení z sféry nižší dimenze do sféry vyšší dimenze jsou podobně triviální: pokud $i < n$ , pak $π i (S n) = 0$ . To lze ukázat jako důsledek věta o buněčné aproximaci.

$π 2 (S 1) = 0$

Všechny zajímavé případy homotopických skupin koulí zahrnují mapování z sféry vyšší dimenze na sféru nižší dimenze. Jediný příklad, který lze snadno vizualizovat, bohužel není zajímavý: neexistují žádné netriviální mapování z běžné sféry do kruhu. Proto, $π 2 (S 1) = 0$ . To je proto, že $S 1$ má skutečnou linii jako univerzální kryt, který je stahovatelný (má homotopický typ bodu). Kromě toho, protože $S 2$ je jednoduše spojeno pomocí kritéria zvedání s jakoukoli mapou z $S 2$ na $S 1$ lze zvednout na mapu do skutečné linie a nullhomotopy sestupuje do prostoru v přízemí.

$π 3 (S 2) = ℤ$

The Hopfova fibrace je netriviální mapování 3-koule do 2-koule a generuje třetí homotopickou skupinu 2-koule. Každý barevný kruh se mapuje na odpovídající bod ve 2 sféře zobrazené vpravo dole.

První netriviální příklad s $i > n$ se týká mapování z 3 koule k obyčejné 2 sféře a byl objeven Heinz Hopf, který zkonstruoval netriviální mapu z $S 3$ na $S 2$ , nyní známý jako Hopfova fibrace (Hopf 1931 ). Tato mapa generuje skupina homotopy $π 3 (S 2) = ℤ$ .

Dějiny

Na konci 19. století Camille Jordan představil pojem homotopy a použil pojem skupiny homotopy bez použití jazyka teorie skupin (O'Connor a Robertson 2001 ). Přísnější přístup přijal Henri Poincaré ve své sadě papírů z roku 1895 Analýza situace kde související pojmy homologie a základní skupina byly také zavedeny (O'Connor a Robertson 1996 ).

Vyšší homotopické skupiny byly nejprve definovány pomocí Eduard Čech v roce 1932 (Čech 1932, str. 203). (Jeho první příspěvek byl na radu stažen Pavel Sergejevič Alexandrov a Heinz Hopf z důvodu, že skupiny byly komutativní, takže nemohly být správným zobecněním základní skupiny.) Witold Hurewicz je také připočítán se zavedením homotopy skupin v jeho 1935 papíru a také pro Hurewiczova věta který lze použít k výpočtu některých skupin (Květen 1999a Důležitou metodou pro výpočet různých skupin je koncept stabilní algebraické topologie, který vyhledává vlastnosti nezávislé na dimenzích. Obvykle platí pouze pro větší rozměry. První takový výsledek byl Hans Freudenthal je věta o zavěšení, publikovaná v roce 1937. Stabilní algebraická topologie vzkvétala v letech 1945 až 1966 s mnoha důležitými výsledky (Květen 1999a ). V roce 1953 George W. Whitehead ukázal, že existuje homostabilní rozsah pro homotopické skupiny koulí. Jean-Pierre Serre použitý spektrální sekvence ukázat, že většina z těchto skupin je konečná, výjimky jsou $π n (S n)$ a $π 4 n -1 (S 2 n)$ . Mezi další pracovníky v této oblasti patřili José Adem, Hiroši Toda, Frank Adams a J. Peter May. Stabilní homotopické skupiny $π n + k (S n)$ jsou známé pro $k$ až 64 a od roku 2007 pro větší neznámé $k$ (Hatcher 2002, Stabilní homotopické skupiny, str. 385–393).

Obecná teorie

Jak již bylo uvedeno, kdy $i$ je méně než $n$ , $π i (S n) = 0$ , triviální skupina (Hatcher 2002 ). Důvodem je, že kontinuální mapování z $i$ - koule do $n$ - koule s $i < n$ lze vždy deformovat tak, aby tomu tak nebylo surjektivní. V důsledku toho je jeho obraz obsažen v $S n$ s odstraněným hrotem; toto je smluvní prostor, a jakékoli mapování do takového prostoru může být deformováno do jednobodového mapování.

Pouzdro $i = n$ již bylo také uvedeno a je snadným důsledkem Hurewiczova věta: tato věta spojuje homotopické skupiny s homologické skupiny, které se obecně snáze počítají; zejména ukazuje, že pro a jednoduše připojeno prostor X, první nenulová homotopická skupina $π k (X)$ , s $k > 0$ , je izomorfní s první nenulovou homologickou skupinou $H k (X)$ . Pro $n$ - sféra, to okamžitě znamená, že pro $n \geq 2$ , $π n (S n) = H n (S n) = ℤ$ .

Skupiny homologie $H i (S n)$ , s $i > n$ , jsou všechny triviální. Proto bylo historicky velkým překvapením, že odpovídající homotopické skupiny nejsou obecně banální. To je případ, který má skutečný význam: vyšší homotopické skupiny $π i (S n)$ , pro $i > n$ , jsou překvapivě složité a obtížně vypočítatelné a úsilí o jejich výpočet přineslo značné množství nové matematiky.

Stůl

Následující tabulka poskytuje představu o složitosti vyšších homotopy skupin i pro sféry dimenze 8 nebo menší. V této tabulce jsou položky buď triviální skupina 0, nekonečná cyklická skupina ℤ, konečná cyklické skupiny řádu $n$ (psáno jako $ℤ n$ ), nebo přímé produkty takových skupin (psaných například jako $ℤ 24 \times ℤ 3$ nebo ${ displaystyle mathbb {Z} _ {2} ^ {2} = mathbb {Z} _ {2} times mathbb {Z} _ {2}}$ ). Jsou uvedeny rozšířené tabulky homotopy skupin koulí na konci článku.

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S¹	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	ℤ₂²
S³	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 22$	ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 22$	$ℤ 22$
S⁴	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂	$ℤ 22$	$ℤ 22$	ℤ₂₄× ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₁₂₀× ℤ₁₂× ℤ₂	$ℤ 84 \times ℤ 52$
S⁵	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃₀	ℤ₂	$ℤ 32$	ℤ₇₂× ℤ₂
S⁶	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₆₀	ℤ₂₄× ℤ₂	$ℤ 32$
S⁷	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ₁₂₀	$ℤ 32$
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ × ℤ₁₂₀

První dva řádky této tabulky jsou přímé. Skupiny homotopy $π i (S 0)$ 0-dimenzionální sféry jsou triviální pro $i > 0$ , protože jakýkoli základní bod zachovávající mapu z $i$ - koule do sféry 0 je jednobodové mapování. Podobně homotopické skupiny $π i (S 1)$ 1 koule jsou triviální pro $i > 1$ , protože univerzální krycí prostor, ℝ, který má stejné vyšší homotopické skupiny, je kontrakční.

Kromě těchto dvou řádků platí, že vyšší homotopické skupiny ( $i > n$ ) se zdají být chaotické, ale ve skutečnosti existuje mnoho vzorů, některé zjevné a některé velmi jemné.

Skupiny pod zubatou černou čarou jsou podél diagonál konstantní (jak je naznačeno červeným, zeleným a modrým zbarvením).
Většina skupin je konečných. Jediné nekonečné skupiny jsou buď na hlavní úhlopříčce, nebo bezprostředně nad zubatou čárou (žlutě zvýrazněné).
Třetí a čtvrtý řádek tabulky jsou stejné počínaje třetím sloupcem (tj. $π i (S 2) = π i (S 3)$ pro $i \geq 3$ ). Tento izomorfismus je vyvolán Hopfovou fibrací $S 3 \to S 2$ .
Pro ${ displaystyle n = 2,3,4,5}$ a ${ displaystyle i geq n}$ homotopické skupiny ${ displaystyle pi _ {i} (S ^ {n})}$ nezmizí. Nicméně, ${ displaystyle pi _ {n + 4} (S ^ {n}) = 0}$ pro ${ displaystyle n geq 6}$ .

Tyto vzorce vyplývají z mnoha různých teoretických výsledků.

Stabilní a nestabilní skupiny

Skutečnost, že skupiny pod zubatou čárou v tabulce výše jsou konstantní podél úhlopříček, vysvětluje věta o zavěšení z Hans Freudenthal, což znamená, že homomorfismus suspenze z $π n + k (S n)$ na $π n + k +1 (S n +1)$ je izomorfismus pro $n > k + 1$ . Skupiny $π n + k (S n)$ s $n > k + 1$ se nazývají stabilní homotopické skupiny koulía jsou označeny $π S k$ : jsou to konečné abelianské skupiny pro $k \neq 0$ , a byly vypočítány v mnoha případech, ačkoli obecný vzorec je stále nepolapitelný. (Hatcher 2002, Stabilní homotopické skupiny, str. 385–393). Pro $n \leq k +1$ , skupiny se nazývají nestabilní homotopické skupiny koulí.

Hopfovy fibrace

Klasický Hopfova fibrace je svazek vláken:

{ displaystyle S ^ {1} hookrightarrow S ^ {3} rightarrow S ^ {2}. , !}

Obecná teorie svazků vláken $F \to E \to B$ ukazuje, že existuje dlouhá přesná sekvence homotopických skupin

{ displaystyle cdots to pi _ {i} (F) to pi _ {i} (E) to pi _ {i} (B) to pi _ {i-1} (F ) do cdots. , !}

U tohoto konkrétního svazku má každá skupina homomorfismus $π i (S 1) \to π i (S 3)$ vyvolané inkluzí $S 1 \to S 3$ , mapuje všechny $π i (S 1)$ na nulu, protože sféra nižší dimenze $S 1$ lze deformovat do bodu uvnitř výškově dimenzionálního $S 3$ . To odpovídá zmizení $π 1 (S 3)$ . Dlouhá přesná sekvence se tak rozpadne krátké přesné sekvence,

{ displaystyle 0 rightarrow pi _ {i} (S ^ {3}) rightarrow pi _ {i} (S ^ {2}) rightarrow pi _ {i-1} (S ^ {1} ) rightarrow 0. , !}

Od té doby $S n +1$ je suspenze z $S n$ , tyto sekvence jsou rozdělit podle homomorfismus suspenze $π i -1 (S 1) \to π i (S 2)$ , dávat izomorfismy

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {2}) = pi _ {i} (S ^ {3}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {1}). , !}

Od té doby $π i -1 (S 1)$ zmizí pro $i$ alespoň 3, ukazuje to první řádek $π i (S 2)$ a $π i (S 3)$ jsou izomorfní kdykoli $i$ je alespoň 3, jak je uvedeno výše.

Hopfova fibrace může být konstruována následovně: dvojice komplexních čísel $(z 0, z 1)$ s $| z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ tvoří 3 sféry a jejich poměry $ z 0 ⁄ z 1$ zakrýt komplexní rovina plus nekonečno, 2-koule. Mapa Hopf $S 3 \to S 2$ pošle jakýkoli takový pár do jeho poměru.

Podobně existují generalizované Hopfovy fibrace

{ displaystyle S ^ {3} hookrightarrow S ^ {7} rightarrow S ^ {4} , !}

{ displaystyle S ^ {7} hookrightarrow S ^ {15} rightarrow S ^ {8} , !}

konstruovány pomocí párů čtveřice nebo octonions místo komplexních čísel (Hatcher 2002 ). Tady taky, $π 3 (S 7)$ a $π 7 (S 15)$ jsou nula. Dlouhé přesné sekvence se tak znovu rozpadají na rodiny rozdělených krátkých přesných sekvencí, což znamená dvě rodiny vztahů.

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {4}) = pi _ {i} (S ^ {7}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {3}), , !}

{ displaystyle pi _ {i} (S ^ {8}) = pi _ {i} (S ^ {15}) oplus pi _ {i-1} (S ^ {7}). , !}

Tři fibrace mají základní prostor $S n$ s $n = 2 m$ , pro $m = 1, 2, 3$ . Fibrace existuje pro $S 1$ ( $m = 0$ ), ale ne pro $S 16$ ( $m = 4$ ) a za. Ačkoli zevšeobecňování vztahů k $S 16$ jsou často pravdivé, někdy selžou; například,

{ displaystyle pi _ {30} (S ^ {16}) neq pi _ {30} (S ^ {31}) oplus pi _ {29} (S ^ {15}). , !}

Proto nemůže dojít k žádné fibraci

{ displaystyle S ^ {15} hookrightarrow S ^ {31} rightarrow S ^ {16}, , !}

první netriviální případ Hopf invariantní jeden problém, protože taková fibrace by znamenala, že neúspěšný vztah je pravdivý.

Zarámovaný cobordism

Homotopické skupiny koulí jsou úzce spjaty cobordism třídy potrubí. V roce 1938 Lev Pontryagin zavedl izomorfismus mezi skupinou homotopy $π n + k (S n)$ a skupina $Ω zarámovaný k (S n + k)$ tříd cobordismů rozlišitelný $k$ -podmanifolds of $S n + k$ které jsou „zarámovány“, tj. mají bagatelizovány normální svazek. Každá mapa $ƒ : S n + k \to S n$ je homotopický k diferencovatelné mapě s ${ displaystyle M ^ {k} = f ^ {- 1} (1,0, tečky, 0) podmnožina S ^ {n + k}}$ zarámovaný $k$ -rozměrný dílčí potrubí. Například, $π n (S n) = ℤ$ je skupina cobordismů orámovaných 0rozměrných podmanifoldů $S n$ , vypočítané algebraickým součtem jejich bodů, odpovídajícím stupeň map ${ displaystyle f: S ^ {n} až S ^ {n}}$ . Projekce Hopfova fibrace ${ displaystyle S ^ {3} rightarrow S ^ {2}}$ představuje generátor $π 3 (S 2) = Ω zarámovaný 1 (S 3) = ℤ$ což odpovídá orámovanému 1-dimenzionálnímu podmanifoldu $S 3$ definované standardním vkládáním ${ displaystyle S ^ {1} podmnožina S ^ {3}}$ s nestandardní bagatelizací normálního 2-rovinného svazku. Až do příchodu sofistikovanějších algebraických metod na počátku padesátých let (Serre) byl Pontrjaginův izomorfismus hlavním nástrojem pro výpočet homotopických skupin sfér. V roce 1954 byl pontrjaginský izomorfismus zobecněn René Thom na izomorfismus vyjadřující jiné skupiny tříd cobordismů (např. všech variet) jako homotopické skupiny mezer a spektra. V novější práci je argument obvykle obrácen, přičemž skupiny cobordismů jsou počítány jako skupiny homotopy (Scorpan 2005 ).

Konečnost a kroucení

V roce 1951 Jean-Pierre Serre ukázaly, že homotopické skupiny koulí jsou všechny konečné, s výjimkou skupin ve formě $π n (S n)$ nebo $π 4 n -1 (S 2 n)$ (pro pozitivní $n$ ), pokud je skupina produktem nekonečná cyklická skupina s konečnou abelianskou skupinou (Serre 1951 ). Zejména skupiny homotopy jsou určeny jejich $p$ -komponenty pro všechna prvočísla $p$ . 2komponenty se nejtěžší vypočítají a v několika ohledech se chovají odlišně od $p$ -komponenty pro lichá prvočísla.

Ve stejném příspěvku našel Serre první místo $p$ -torze se vyskytuje v homotopických skupinách $n$ tím, že to ukážeme $π n + k (S n)$ nemá žádný $p$ -kroucení -li $k < 2 p - 3$ , a má jedinečnou podskupinu objednávky $p$ -li $n \geq 3$ a $k = 2 p - 3$ . Případ dvourozměrných koulí se mírně liší: první $p$ -torze nastává pro $k = 2 p - 3 + 1$ . V případě liché torze existují přesnější výsledky; v tomto případě je velký rozdíl mezi lichými a sudými dimenzionálními koulemi. Li $p$ je liché prvočíslo a $n = 2 i + 1$ , pak prvky $p$ -součástka z $π n + k (S n)$ mít pořádek maximálně $p i$ (Cohen, Moore a Neisendorfer 1979 ). To je v jistém smyslu nejlepší možný výsledek, protože o těchto skupinách je známo, že mají prvky tohoto řádu pro některé hodnoty $k$ (Ravenel 2003, str. 4). Stabilní dosah lze dále rozšířit v tomto případě: pokud $n$ je zvláštní než dvojité zavěšení z $π k (S n)$ na $π k +2 (S n +2)$ je izomorfismus z $p$ -komponenty, pokud $k < p (n + 1) - 3$ , a epimorfismus, pokud platí rovnost (Serre 1952 ). The $p$ -torze mezilehlé skupiny $π k +1 (S n +1)$ může být přísně větší.

Výsledky výše o liché torzi platí pouze pro liché dimenzionální koule: pro sudé dimenzionální koule platí Jamesova fibrace dává kroucení v lichých prvočíslech $p$ pokud jde o liché dimenzionální sféry,

{ displaystyle pi _ {2m + k} (S ^ {2m}) (p) = pi _ {2m + k-1} (S ^ {2m-1}) (p) oplus pi _ { 2 m + k} (S ^ {4m-1}) (p)}

(kde $(p)$ znamená vzít $p$ -součástka) (Ravenel 2003, str. 25). Tato přesná sekvence je podobná sekvenci pocházející z Hopfovy fibrace; rozdíl je v tom, že funguje pro všechny sudé dimenzionální sféry, i když na úkor ignorování 2-torze. Kombinace výsledků pro liché a sudé dimenzionální sféry ukazuje, že velká část liché torze nestabilních homotopy skupin je určena lichou torzí stabilních homotopy skupin.

Pro stabilní skupiny homotopy existují přesnější výsledky $p$ -kroucení. Například pokud $k < 2 p (p - 1) - 2$ pro nejlepšího $p$ pak $p$ primární složka stabilní homotopické skupiny $π S k$ zmizí, pokud $k + 1$ je dělitelné $2(p - 1)$ , v takovém případě jde o cyklický řád $p$ (Fuks 2001 ).

J-homomorfismus

Důležitá podskupina $π n + k (S n)$ , pro $k \geq 2$ , je obrazem J-homomorfismus $J : π k (TAK(n)) \to π n + k (S n)$ , kde $TAK(n)$ označuje speciální ortogonální skupina (Adams 1966 ). Ve stabilním rozsahu $n \geq k +2$ , homotopické skupiny $π k (TAK(n))$ záleží jen na $k (mod 8)$ . Tento vzor období 8 je známý jako Bottova periodicita, a to se odráží ve stabilních homotopických skupinách koulí prostřednictvím obrazu $J$ -homomorfismus, který je:

cyklická skupina řádu 2, pokud $k$ je shodný na 0 nebo 1modulo 8;
triviální, pokud $k$ odpovídá 2, 4, 5 nebo 6 modulo 8; a
cyklická skupina řádu rovná jmenovateli $ B 2 m ⁄ 4 m$ , kde $B 2 m$ je Bernoulliho číslo, pokud $k = 4 m - 1 \equiv 3 (mod 4)$ .

Tento poslední případ odpovídá prvkům neobvykle velkého konečného pořadí v $π n + k (S n)$ pro takové hodnoty $k$ . Například stabilní skupiny $π n +11 (S n)$ mají cyklickou podskupinu řádu 504, jmenovatele $ B 6 ⁄ 12 = 1 ⁄ 504$ .

Stabilní homotopické skupiny koulí jsou přímým součtem obrazu $J$ -homomorfismus a jádro Adamů $E$ -variant, homomorfismus z těchto skupin do $ℚ / ℤ$ . Zhruba řečeno, obraz $J$ -homomorfismus je podskupina „dobře pochopených“ nebo „snadných“ prvků stabilních homotopy skupin. Tyto dobře pochopené prvky představují většinu prvků stabilních homotopy skupin koulí v malých rozměrech. Podíl $π S n$ obrazem $J$ -homomorfismus je považován za „tvrdou“ část stabilních homotopy skupin koulí (Adams 1966 ). (Adams také představil určité prvky řádu 2 $μ n$ z $π S n$ pro $n \equiv 1 nebo 2 (mod 8)$ , a ty jsou také považovány za „dobře pochopené“.) Tabulky homotopických skupin koulí někdy vynechávají „snadnou“ část $im (J)$ pro úsporu místa.

Prstencová struktura

The přímý součet

{ displaystyle pi _ { ast} ^ {S} = bigoplus _ {k geq 0} pi _ {k} ^ {S}}

stabilní homotopické skupiny koulí je a superkomutativní odstupňované prsten, kde násobení je dáno složením reprezentujících map a jakýkoli prvek nenulového stupně je nilpotentní (Nishida 1973 ); the teorém o nilpotenci na komplexní cobordism implikuje Nišidovu větu.

Příklad: Pokud $η$ je generátor $π S 1$ (pořadí 2) $η 2$ je nenulová a generuje se $π S 2$ , a $η 3$ je nenulová a 12krát generátor $π S 3$ , zatímco $η 4$ je nula, protože skupina $π S 4$ je triviální.

Li $F$ a $G$ a $h$ jsou prvky $π S *$ s $F G = 0$ a $G \cdot h = 0$ , tady je Držák Toda $〈F, g, h〉$ těchto prvků (Toda 1962 ). Držák Toda není zcela prvkem stabilní skupiny homotopy, protože je definován pouze po přidání produktů určitých dalších prvků. Hiroši Toda použil produkt složení a závorky Toda k označení mnoha prvků skupin homotopy. Existují také vyšší konzoly Toda několika prvků, které jsou definovány, když zmizí vhodné nižší konzoly Toda. Toto se vyrovná teorii Produkty Massey v kohomologie Každý prvek stabilních homotopy skupin koulí lze vyjádřit pomocí produktů složení a vyšších závorek Toda ve smyslu určitých dobře známých prvků, nazývaných Hopfovy prvky (Cohen 1968 ).

Výpočtové metody

Li $X$ je jakýkoli konečný zjednodušený komplex s konečnou základní skupinou, zejména pokud $X$ je sféra dimenze alespoň 2, pak jsou všechny její homotopické skupiny konečně generované abelianské skupiny. K výpočtu těchto skupin se často započítávají do jejich $p$ -komponenty pro každého primární $p$ a výpočet každého z nich $p$ -skupiny odděleně. Prvních několik homotopy skupin koulí lze vypočítat pomocí ad hoc variant výše uvedených myšlenek; za tímto bodem je většina metod pro výpočet homotopy skupin koulí založena na spektrální sekvence (Ravenel 2003 ). To se obvykle provádí konstrukcí vhodných fibrací a získáním souvisejících dlouhých přesných sekvencí homotopy skupin; spektrální sekvence jsou systematickým způsobem organizace komplikovaných informací, které tento proces generuje.

„Metoda zabíjení homotopy skupin“, kvůli Cartanovi a Serreovi (1952a, 1952b ) zahrnuje opakované použití Hurewiczova věta vypočítat první netriviální homotopickou skupinu a poté ji zabít (eliminovat) fibrací zahrnující Eilenberg – MacLaneův prostor. V zásadě to poskytuje efektivní algoritmus pro výpočet všech skupin homotopy jakéhokoli konečného jednoduše spojeného komplexu simplexů, ale v praxi je příliš těžkopádné použít jej pro výpočet čehokoli jiného než prvních několika netriviálních skupin homotopy, protože komplex simplexů se pokaždé stává mnohem komplikovanější jeden zabije homotopickou skupinu.
The Serre spektrální sekvence použil Serre k prokázání některých výše zmíněných výsledků. Využil skutečnost, že při prostor smyčky dobře vychovaného prostoru posune všechny skupiny homotopy dolů o 1, takže $n$ homotopická skupina prostoru $X$ je první homotopy skupina jeho ( $n -1$ ) -násobný opakovaný smyčkový prostor, který se rovná první homologické skupině ( $n -1$ ) - skládaný smyčkový prostor podle Hurewiczovy věty. To snižuje výpočet homotopy skupin $X$ k výpočtu skupin homologie jeho opakovaných smyčkových prostorů. Serreova spektrální sekvence spojuje homologii prostoru s jeho smyčkovým prostorem, takže ji lze někdy použít k výpočtu homologie smyčkových prostorů. Serreova spektrální sekvence má tendenci mít mnoho nenulových diferenciálů, které se těžko kontrolují, a pro vyšší homotopy skupiny se objevuje příliš mnoho nejasností. V důsledku toho byl nahrazen výkonnějšími spektrálními sekvencemi s menším počtem nenulových diferenciálů, které poskytují více informací.
The Spektrální sekvence EHP lze použít k výpočtu mnoha homotopy skupin koulí; je založen na některých fibracích použitých Todou při výpočtech homotopy skupin (Mahowald 2001, Toda 1962 ).
Klasický Adamsova spektrální sekvence má $E 2$ termín daný Ext skupiny $Ext *,* A (p) (ℤ p, ℤ p)$ přes mod $p$ Steenrodova algebra $A (p)$ a konverguje k něčemu, co úzce souvisí s $p$ složka stabilních homotopy skupin. Počáteční podmínky Adamsovy spektrální sekvence jsou samy o sobě docela těžké spočítat: někdy se to provádí pomocí pomocné spektrální sekvence zvané Může spektrální sekvence (Ravenel 2003, s. 67–74).
V podivných prvočíslech je Adams – Novikovova spektrální sekvence je výkonnější verze Adamsovy spektrální sekvence nahrazující obyčejný cohomology mod $p$ se zobecněnou teorií cohomologie, jako např komplexní cobordism nebo, častěji, jeho část Brown – Petersonova kohomologie. Počáteční termín je opět docela těžké vypočítat; k tomu lze použít chromatická spektrální sekvence (Ravenel 2003, Kapitola 5).

Borromejské prsteny

Variace tohoto posledního přístupu používá zpětnou verzi spektrální sekvence Adams – Novikov pro Brown – Petersonovu kohomologii: limit je známý a počáteční termíny zahrnují neznámé stabilní homotopické skupiny sfér, které se člověk snaží najít (Kochman (1990) ).

Motivická Adamsova spektrální sekvence konverguje k motivicky stabilním homotopickým skupinám koulí. Porovnáním motivického s komplexními čísly s klasickým poskytuje Isaksen důkladný důkaz výpočtů až k 59-stopce (Isaksen (2019) ). Zejména Isaksen počítá Coker J z 56 stopky je 0, a proto podle práce Kervaire-Milnora, sféry $S 56$ má jedinečnou hladkou strukturu.

Mapa Kahn-Priddy indukuje mapu Adamsových spektrálních sekvencí ze suspenzního spektra nekonečného skutečného projektivního prostoru do sférického spektra. U Adamů je to surjektivní $E 2$ stránka na pozitivních stoncích. Wang a Xu vyvíjí metodu využívající mapu Kahn - Priddy k indukci Adamsových diferenciálů pro spektrum koule indukčně (Wang & Xu (2017) ). Poskytují podrobný argument pro několik Adamsových diferenciálů a počítají 60 a 61 stopku. Geometrickým důsledkem jejich výsledku je koule $S 61$ má jedinečnou hladkou strukturu a je to poslední lichá dimenzionální - jediné jsou $S 1$ , $S 3$ , $S 5$ , a $S 61$ .

Motivační spolufiber z $τ$ metoda je zatím nejefektivnější metodou na vrcholu 2. Třída $τ$ je mapa mezi motivickými sférami. Věta Gheorghe-Wang-Xu identifikuje motivickou Adamsovu spektrální sekvenci pro cofiber $τ$ jako algebraická Novikovova spektrální sekvence pro $BP *$ , což umožňuje odvodit motivické Adamsovy diferenciály pro cofiber z $τ$ z čistě algebraických dat. Pak je možné tyto motivické Adamsovy diferenciály stáhnout zpět do motivické sféry a pomocí funkcionálu realizace Betti je posunout vpřed do klasické sféry. Pomocí této metody Isaksen, Wang a Xu (2020) počítá až do 90 stopky.

Výpočet homotopy skupin $S 2$ byla snížena na a teorie kombinatorických grup otázka. Berrick a kol. (2006) identifikovat tyto homotopy skupiny jako určité kvocienty Brunnian opletení skupiny z $S 2$ . V této korespondenci je každý netriviální prvek v $π n (S 2)$ pro $n > 2$ může být zastoupen Brunnianem prýmek přes $S 2$ to není Brunnian přes disk $D 2$ . Například mapa Hopf $S 3 \to S 2$ odpovídá Borromejské prsteny.

Aplikace

The číslo vinutí (odpovídá celému číslu $π 1 (S 1) = ℤ)$ lze použít k prokázání základní věta o algebře, který uvádí, že každá nekonstantní komplex polynomiální má nulu.
Skutečnost, že $π n -1 (S n -1) = ℤ$ znamená Brouwerova věta o pevném bodě že každá souvislá mapa z $n$ -dimenzionální míč sama o sobě má pevný bod.
Stabilní homotopické skupiny koulí jsou důležité v teorie singularity, která studuje strukturu singulárních bodů hladké mapy nebo algebraické odrůdy. Takové singularity vznikají jako kritické body plynulých map z $ℝ m$ na $ℝ n$ . Geometrii poblíž kritického bodu takové mapy lze popsat pomocí prvku $π m -1 (S n -1)$ , s ohledem na způsob, jakým malý $m - 1$ koule kolem kritického bodu se mapuje na topologickou $n - 1$ koule kolem kritická hodnota.
Skutečnost, že třetí stabilní homotopická skupina koulí je cyklická řádu 24, nejprve dokázala Vladimir Rokhlin, naznačuje Rokhlinova věta že podpis kompaktní hladké roztočit 4-potrubí je dělitelné 16 (Scorpan 2005 ).
K popisu skupiny se používají stabilní homotopické skupiny koulí $Θ n$ z h-cobordism třídy orientované homotopy $n$ - koule (pro $n \neq 4$ , to je skupina hladké struktury na $n$ -sféry, až do orientace zachovávajícího difeomorfismu; netriviální prvky této skupiny jsou reprezentovány exotické sféry ). Přesněji řečeno, existuje injektivní mapa

{ displaystyle Theta _ {n} / bP_ {n + 1} to pi _ {n} ^ {S} / J, , !}

kde $bP n +1$ je cyklická podskupina představovaná homotopy koulí, které vázaly a paralelizovatelné potrubí, $π S n$ je $n$ stabilní homotopická skupina koulí a $J$ je obraz $J$ -homomorfismus. Toto není izomorfismus, pokud $n$ je ve formě $2 k -2$ , v takovém případě má obrázek index 1 nebo 2 (Kervaire a Milnor 1963 ).

Skupiny $Θ n$ výše, a proto stabilní homotopické skupiny koulí, se používají při klasifikaci možných hladkých struktur na topologické nebo po částech lineární potrubí (Scorpan 2005 ).
The Kervaireův invariantní problém, o existenci potrubí z Kervaire neměnný 1 v rozměrech $2 k - 2$ lze redukovat na otázku stabilních homotopických skupin koulí. Například znalosti stabilních homotopy skupin do 48 byly použity k vyřešení Kervaireova invariantního problému v dimenzi $26 - 2 = 62$ (Barratt, Jones & Mahowald 1984 ). (To byla nejmenší hodnota $k$ pro kterou byla v té době otázka otevřená.)
The Věta Barratt – Priddy říká, že stabilní homotopické skupiny koulí lze vyjádřit pomocí plus konstrukce aplikován na třídicí prostor z symetrická skupina, což vede k identifikaci K-teorie pole s jedním prvkem se stabilními homotopy skupinami (Deitmar 2006 ).

Tabulka skupin homotopy

Tabulky homotopy skupin koulí jsou nejpohodlněji organizovány zobrazením $π n + k (S n)$ .

Následující tabulka ukazuje mnoho skupin $π n + k (S n)$ . (Tyto tabulky jsou založeny na table of homotopy groups of spheres v Toda (1962).) The stable homotopy groups are highlighted in blue, the unstable ones in red. Each homotopy group is the product of the cyclic groups of the orders given in the table, using the following conventions:

The entry "⋅" denotes the trivial group.
Where the entry is an celé číslo, $m$ , the homotopy group is the cyklická skupina of that order (generally written $ℤ m$ ).
Where the entry is ∞, the homotopy group is the infinite cyclic group, $ℤ$ .
Where entry is a product, the homotopy group is the kartézský součin (ekvivalentně, přímý součet ) of the cyclic groups of those orders. Powers indicate repeated products. (Note that when $A$ a $b$ nemají společný faktor, $ℤ A \timesℤ b$ je izomorfní na $ℤ ab$ .)

Příklad: $π 19 (S 10) = π 9+10 (S 10) = ℤ\timesℤ 2 \timesℤ 2 \timesℤ 2$ , který je označen $\infty\cdot2 3$ ve stole.

Sⁿ →	S⁰	S¹	S²	S³	S⁴	S⁵	S⁶	S⁷	S⁸	S⁹	S¹⁰	S¹¹	S¹²	S^≥13
π_<n(Sⁿ)		⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_0+n(Sⁿ)	2	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
π_1+n(Sⁿ)	⋅	⋅	∞	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_2+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_3+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	12	∞⋅12	24	24	24	24	24	24	24	24	24
π_4+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12	2	2²	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_5+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2	2²	2	∞	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_6+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	3	24⋅3	2	2	2	2	2	2	2	2	2
π_7+n(Sⁿ)	⋅	⋅	3	15	15	30	60	120	∞⋅120	240	240	240	240	240
π_8+n(Sⁿ)	⋅	⋅	15	2	2	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_9+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2	2²	2³	2³	2³	2⁴	2⁵	2⁴	∞⋅2³	2³	2³	2³
π_10+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	12⋅2	120⋅12⋅2	72⋅2	72⋅2	24⋅2	24²⋅2	24⋅2	12⋅2	6⋅2	6	6
π_11+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2	84⋅2²	84⋅2⁵	504⋅2²	504⋅4	504⋅2	504⋅2	504⋅2	504	504	∞⋅504	504
π_12+n(Sⁿ)	⋅	⋅	84⋅2²	2²	2⁶	2³	240	⋅	⋅	⋅	12	2	2²	Vidět níže
π_13+n(Sⁿ)	⋅	⋅	2²	6	24⋅6⋅2	6⋅2	6	6	6⋅2	6	6	6⋅2	6⋅2
π_14+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6	30	2520⋅6⋅2	6⋅2	12⋅2	24⋅4	240⋅24⋅4	16⋅4	16⋅2	16⋅2	48⋅4⋅2
π_15+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	30	30	30⋅2	60⋅6	120⋅2³	120⋅2⁵	240⋅2³	240⋅2²	240⋅2	240⋅2
π_16+n(Sⁿ)	⋅	⋅	30	6⋅2	6²⋅2	2²	504⋅2²	2⁴	2⁷	2⁴	240⋅2	2	2
π_17+n(Sⁿ)	⋅	⋅	6⋅2	12⋅2²	24⋅12⋅4⋅2²	4⋅2²	2⁴	2⁴	6⋅2⁴	2⁴	2³	2³	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	12⋅2²	120⋅12⋅2⁵	24⋅2²	24⋅6⋅2	24⋅2	504⋅24⋅2	24⋅2	24⋅2²	8⋅4⋅2	480⋅4²⋅2
π_19+n(Sⁿ)	⋅	⋅	12⋅2²	132⋅2	132⋅2⁵	264⋅2	1056⋅8	264⋅2	264⋅2	264⋅2	264⋅6	264⋅2³	264⋅2⁵

Sⁿ →	S¹³	S¹⁴	S¹⁵	S¹⁶	S¹⁷	S¹⁸	S¹⁹	S²⁰	S^≥21
π_12+n(Sⁿ)	2	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅	⋅
π_13+n(Sⁿ)	6	∞⋅3	3	3	3	3	3	3	3
π_14+n(Sⁿ)	16⋅2	8⋅2	4⋅2	2²	2²	2²	2²	2²	2²
π_15+n(Sⁿ)	480⋅2	480⋅2	480⋅2	∞⋅480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2	480⋅2
π_16+n(Sⁿ)	2	24⋅2	2³	2⁴	2³	2²	2²	2²	2²
π_17+n(Sⁿ)	2⁴	2⁴	2⁵	2⁶	2⁵	∞⋅2⁴	2⁴	2⁴	2⁴
π_18+n(Sⁿ)	8²⋅2	8²⋅2	8²⋅2	24⋅8²⋅2	8²⋅2	8⋅4⋅2	8⋅2²	8⋅2	8⋅2
π_19+n(Sⁿ)	264⋅2³	264⋅4⋅2	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2²	264⋅2	264⋅2	∞⋅264⋅2	264⋅2

Table of stable homotopy groups

The stable homotopy groups $π k$ are the product of cyclic groups of the infinite or prime power ordersshown in the table. (For largely historical reasons, stable homotopy groups are usually given as products of cyclic groups of prime power order, while tables of unstable homotopy groups often give them as products of the smallest number of cyclic groups.) The main complexity is in the 2-, 3-, and 5-components: for $p > 5$ , $p$ -components in the range of the table are accounted for by the $J$ -homomorphism and are cyclic of order $p$ -li $2(p -1)$ rozděluje $k +1$ and 0 otherwise (Fuks 2001 ). (The 2-components can be found in Isaksen, Wang & Xu (2020), and the 3- and 5-components in Ravenel (2003).) The mod 8 behavior of the table comes from Bottova periodicita přes J-homomorphism, whose image is underlined.

n →	0	1	2	3	4	5	6	7
π_0+n^S	∞	2	2	8⋅3	⋅	⋅	2	16⋅3⋅5
π_8+n^S	2⋅2	2⋅2²	2⋅3	8⋅9⋅7	⋅	3	2²	32⋅2⋅3⋅5
π_16+n^S	2⋅2	2⋅2³	8⋅2	8⋅2⋅3⋅11	8⋅3	2²	2⋅2	16⋅8⋅2⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_24+n^S	2⋅2	2⋅2	2²⋅3	8⋅3	2	3	2⋅3	64⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_32+n^S	2⋅2³	2⋅2⁴	4⋅2³	8⋅2²⋅27⋅7⋅19	2⋅3	2²⋅3	4⋅2⋅3⋅5	16⋅2⁵⋅3⋅3⋅25⋅11
π_40+n^S	2⋅4⋅2⁴⋅3	2⋅2⁴	8⋅2²⋅3	8⋅3⋅23	8	16⋅2³⋅9⋅5	2⁴⋅3	32⋅4⋅2³⋅9⋅3⋅5⋅7⋅13
π_48+n^S	2⋅4⋅2³	2⋅2⋅3	2³⋅3	8⋅8⋅2⋅3	2³⋅3	2⁴	4⋅2	16⋅3⋅3⋅5⋅29
π_56+n^S	2	2⋅2²	2²	8⋅2²⋅9⋅7⋅11⋅31	4	⋅	2⁴⋅3	128⋅4⋅2²⋅3⋅5⋅17
π_64+n^S	2⋅4⋅2⁵	2⋅4⋅2⁸⋅3	8⋅2⁶	8⋅4⋅2³⋅3	2³⋅3	2⁴	4²⋅2⁵	16⋅8⋅4⋅2⁶⋅27⋅5⋅7⋅13⋅19⋅37
π_72+n^S	2⋅2⁷⋅3	2⋅2⁶	4³⋅2⋅3	8⋅2⋅9⋅3	4⋅2²⋅5	4⋅2⁵	4²⋅2³⋅3	32⋅4⋅2⁶⋅3⋅25⋅11⋅41

Reference

Adams, J. Frank (1966), "On the groups J(X) IV", Topologie, 5 (1): 21–71, doi:10.1016/0040-9383(66)90004-8. Viz také Adams, J (1968), "Correction", Topologie, 7 (3): 331, doi:10.1016/0040-9383(68)90010-4.
Barratt, Michael G.; Jones, John D. S .; Mahowald, Mark E. (1984), "Relations amongst Toda brackets and the Kervaire invariant in dimension 62", Journal of the London Mathematical Society, 30 (3): 533–550, CiteSeerX 10.1.1.212.1163, doi:10.1112/jlms/s2-30.3.533, PAN 0810962.
Berrick, A. J.; Cohen, Frederick R .; Wong, Yan Loi; Wu, Jie (2006), "Configurations, braids, and homotopy groups", Journal of the American Mathematical Society, 19 (2): 265–326, doi:10.1090/S0894-0347-05-00507-2, PAN 2188127.
Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1952a), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie. I. Constructions générales", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paříž, 234: 288–290, ISSN 0764-4442, PAN 0046045.
Cartan, Henri; Serre, Jean-Pierre (1952b), "Espaces fibrés et groupes d'homotopie. II. Applications", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paříž, 234: 393–395, ISSN 0764-4442, PAN 0046046.
Cohen, Frederick R .; Moore, John C.; Neisendorfer, Joseph A. (November 1979), "The double suspension and exponents of the homotopy groups of spheres", Annals of Mathematics, Druhá série, 110 (3): 549–565, doi:10.2307/1971238, JSTOR 1971238, PAN 0554384.
Cohen, Joel M. (1968), "The decomposition of stable homotopy", Annals of Mathematics, Druhá série, 87 (2): 305–320, doi:10.2307/1970586, JSTOR 1970586, PAN 0231377, PMC 224450, PMID 16591550.
Deitmar, Anton (2006), "Remarks on zeta functions and K.-teorie skončila F₁", Japonská akademie. Řízení. Řada A. Matematické vědy, 82 (8): 141–146, arXiv:matematika / 0605429, doi:10.3792/pjaa.82.141, ISSN 0386-2194, PAN 2279281.
Fuks, Dmitrij B. (2001) [1994], "Spheres, homotopy groups of the", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
Isaksen, Daniel C. (2019), "Stable Stems", Memoirs of the American Mathematical Society, 262 (1269), doi:10.1090/memo/1269, ISBN 978-1-4704-3788-6, PAN 4046815.
Isaksen, Daniel C.; Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2020), "More Stable stems", arXiv:2001.04511 [matematika. AT ].
Kervaire, Michel A.; Milnor, John W. (1963), "Groups of homotopy spheres: I", Annals of Mathematics, 77 (3): 504–537, doi:10.2307/1970128, JSTOR 1970128, PAN 0148075.
Kochman, Stanley O. (1990), Stabilní homotopické skupiny koulí. Počítačem podporovaný přístupPřednášky z matematiky, 1423, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0083795, ISBN 978-3-540-52468-7, PAN 1052407 Also see the corrections in (Kochman & Mahowald 1995 )
Kochman, Stanley O.; Mahowald, Mark E. (1995), "On the computation of stable stems", The Cech centennial (Boston, MA, 1993), Contemp. Matematika., 181„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., pp. 299–316, ISBN 978-0-8218-0296-0, PAN 1320997
Mahowald, Mark (1998). "Toward a global understanding of π_∗(Sⁿ)". Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků (Berlín, 1998). Documenta Mathematica, Extra Volume. II. str. 465–472. PAN 1648096..
Mahowald, Mark (2001) [1994], „Spektrální sekvence EHP“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
Milnor, John W. (2011), „Diferenciální topologie o čtyřicet šest let později“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 58 (6): 804–809
Nišida, Goro (1973), „Nilpotence prvků stabilních homotopických skupin sfér“, Journal of the Mathematical Society of Japan, 25 (4): 707–732, doi:10,2969 / jmsj / 02540707, ISSN 0025-5645, PAN 0341485.
Pontrjagin, Lev, Smooth manifolds and their applications in homotopy theory American Mathematical Society Translations, Ser. 2, sv. 11, pp. 1–114 (1959)
Ravenel, Douglas C. (2003), Komplexní cobordismus a stabilní homotopické skupiny koulí (2. vyd.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7, PAN 0860042.
Scorpan, Alexandru (2005), Divoký svět čtyř potrubí, Americká matematická společnost, ISBN 978-0-8218-3749-8, PAN 2136212.
Serre, Jean-Pierre (1951), "Homologie singulière des espaces fibrés. Applications", Annals of Mathematics, Druhá série, 54 (3): 425–505, doi:10.2307/1969485, JSTOR 1969485, PAN 0045386.
Serre, Jean-Pierre (1952), "Sur la suspension de Freudenthal", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, Paříž, 234: 1340–1342, ISSN 0764-4442, PAN 0046048.
Toda, Hirosi (1962), Složení metody v homotopických skupinách koulí, Annals of Mathematics Studies, 49, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09586-8, PAN 0143217.
Wang, Guozhen; Xu, Zhouli (2017), "The triviality of the 61-stem in the stable homotopy groups of spheres", Annals of Mathematics, 186 (2): 501–580, arXiv:1601.02184, doi:10.4007/annals.2017.186.2.3, PAN 3702672.

General algebraic topology references

Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-79540-1, PAN 1867354.
May, J. Peter (1999b), Stručný kurz v algebraické topologii, Chicago lectures in mathematics (revised ed.), University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-51183-2, PAN 1702278.

Historické dokumenty

Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zürich.
Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche“, Mathematische Annalen, 104 (1): 637–665, doi:10.1007 / BF01457962.
May, J. Peter (1999a), "Stable Algebraic Topology 1945–1966", in I. M. James (ed.), Historie topologie, Elsevierova věda, pp. 665–723, ISBN 978-0-444-82375-5.

externí odkazy

Baez, Johne (21 April 1997), This week's finds in mathematical physics 102, vyvoláno 2007-10-09
Hatcher, Allen, Stable homotopy groups of spheres, vyvoláno 2007-10-20
O'Connor, J. J .; Robertson, E. F. (1996), A history of Topology, vyvoláno 2007-11-14 v MacTutor Historie archivu matematiky.
O'Connor, J. J .; Robertson, E. F. (2001), Marie Ennemond Camille Jordan, vyvoláno 2007-11-14 in MacTutor History of Mathematics archive.

Homotopické skupiny koulí - Homotopy groups of spheres

Pozadí

n-koule

Skupina homotopy

Nízkodimenzionální příklady

π1(S1) = ℤ

π2(S2) = ℤ

π1(S2) = 0

π2(S1) = 0

π3(S2) = ℤ

Dějiny

Obecná teorie

Stůl

Stabilní a nestabilní skupiny

Hopfovy fibrace

Zarámovaný cobordism

Konečnost a kroucení

J-homomorfismus

Prstencová struktura

Výpočtové metody

Aplikace

Tabulka skupin homotopy

Table of stable homotopy groups

Reference

General algebraic topology references

Historické dokumenty

externí odkazy

$n$ -koule

$π 1 (S 1) = ℤ$

$π 2 (S 2) = ℤ$

$π 1 (S 2) = 0$

$π 2 (S 1) = 0$

$π 3 (S 2) = ℤ$