Brown – Petersonova kohomologie - Brown–Peterson cohomology

V matematice Brown – Petersonova kohomologie je zobecněná teorie cohomologie představilEdgar H. Brown a Franklin P. Peterson  (1966 ), v závislosti na volbě prvočísla p. Podrobně je popsán v Douglas Ravenel  (2003, Kapitola 4) .Jeho zastupování spektrum je označen BP.

Komplexní cobordism a Quillenův idempotent

Brown – Petersonova kohomologie BP je souhrnem MU_(p), který je komplexní cobordism MU lokalizovaný v nejlepších letech p. Ve skutečnosti MU_(p) je klínový produkt z pozastavení BP.

Pro každý prime p, Daniel Quillen ukázal, že existuje jedinečný idempotentní mapa kruhová spektra ε z MUQ_(p) pro sebe, s vlastností, která ε ([CPⁿ]) je [CPⁿ] pokud n+1 je síla pa 0 jinak. Spektrum BP je obrazem tohoto idempotentu ε.

Struktura BP

Koeficient koeficientu ${displaystyle pi _ {*} ({ext {BP}})}$ je polynomiální algebra ${displaystyle mathbb {Z} _ {(p)}}$ na generátorech ${displaystyle v_ {n}}$ ve stupních ${displaystyle 2 (p ^ {n} -1)}$ pro ${displaystyle ngeq 1}$.

${displaystyle {ext {BP}} _ {*} ({ext {BP}})}$ je izomorfní k polynomickému kruhu ${displaystyle pi _ {*} ({ext {BP}}) [t_ {1}, t_ {2}, ldots]}$ přes ${displaystyle pi _ {*} ({ext {BP}})}$ s generátory ${displaystyle t_ {i}}$ v ${displaystyle {ext {BP}} _ {2 (p ^ {i} -1)} ({ext {BP}})}$ stupňů ${displaystyle 2 (p ^ {i} -1)}$.

Kohomologie Hopfův algebroid ${displaystyle (pi _ {*} ({ext {BP}}), {ext {BP}} _ {*} ({ext {BP}}))}$ je počáteční termín Adams – Novikovova spektrální sekvence pro výpočet p-local homotopické skupiny koulí.

BP je univerzálním příkladem komplexně orientované teorie kohomologie, jejíž související formální zákon o skupině je p-typický.

Viz také

• Seznam kohomologických teorií # Brown – Petersonova kohomologie

Reference

• Adams, J. Frank (1974), Stabilní homotopie a generalizovaná homologie, University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-00524-9
• Brown, Edgar H., Jr.; Peterson, Franklin P. (1966), „Spektrum, jehož Z_p cohomologie je algebra redukované p^th pravomoci ", Topologie, 5 (2): 149–154, doi:10.1016/0040-9383(66)90015-2, PAN  0192494.
• Quillen, Daniel (1969), „K formálním skupinovým zákonům neorientované a komplexní teorie cobordismu“ (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society, 75 (6): 1293–1298, doi:10.1090 / S0002-9904-1969-12401-8, PAN  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (2003), Komplexní cobordismus a stabilní homotopické skupiny koulí (2. vyd.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-2967-7
• Wilson, W. Stephen (1982), Brown-Petersonova homologie: úvod a vzorník, CBMS Regionální konferenční seriál z matematiky, 48, Washington, D.C .: Conference Board of the Mathematical Sciences, ISBN  978-0-8219-1699-5, PAN  0655040