Steenrodova algebra - Steenrod algebra

v algebraická topologie, a Steenrodova algebra byl definován Henri Cartan  (1955 ) být algebrou stáje cohomologické operace pro mod ${ displaystyle p}$ kohomologie.

Za dané prvočíslo ${ displaystyle p}$, Steenrodova algebra ${ displaystyle A_ {p}}$ je známkou Hopfova algebra přes pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {p}}$ řádu ${ displaystyle p}$, skládající se ze všech stabilních cohomologické operace pro mod ${ displaystyle p}$ kohomologie. Je generován Steenrodovy čtverce představil Norman Steenrod  (1947 ) pro ${ displaystyle p = 2}$a Steenrod snížen ${ displaystyle p}$th síly představen v Steenrod (1953) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (Pomoc) a Bocksteinův homomorfismus pro ${ displaystyle p> 2}$.

Termín „Steenrodova algebra“ se také někdy používá pro algebru kohomologických operací a zobecněná teorie cohomologie.

Kohomologické operace

Operace kohomologie je a přirozená transformace mezi cohomologickými funktory. Například pokud vezmeme cohomologii s koeficienty v a prsten, pohárový produkt operace kvadratury přináší rodinu kohomologických operací:

${ displaystyle H ^ {n} (X; R) až H ^ {2n} (X; R)}$

${ displaystyle x mapsto x úsměv x.}$

Kohomologické operace nemusí být homomorfismy odstupňovaných prstenů; viz Cartanův vzorec níže.

Tyto operace nedojíždí s suspenze - to znamená, že jsou nestabilní. (Je to proto, že pokud ${ displaystyle Y}$ je zavěšení prostoru ${ displaystyle X}$, pohárový produkt na cohomologii ${ displaystyle Y}$ je triviální.) Steenrod vybudoval stabilní operace

${ displaystyle Sq ^ {i}: H ^ {n} (X; mathbb {Z} / 2) až H ^ {n + i} (X; mathbb {Z} / 2)}$

pro všechny ${ displaystyle i}$ větší než nula. Zápis ${ displaystyle Sq}$ a jejich jméno, Steenrodovy čtverce, pochází ze skutečnosti, že ${ displaystyle Sq ^ {n}}$ omezeno na třídy studia ${ displaystyle n}$ je pohárový čtverec. Existují analogické operace pro liché primární koeficienty, obvykle označené ${ displaystyle P ^ {i}}$ a zavolal redukovaný ${ displaystyle p}$-tý energetický provoz:

${ displaystyle P ^ {i} dvojtečka H ^ {n} (X; mathbb {Z} / p) až H ^ {n + 2i (p-1)} (X; mathbb {Z} / p )}$

The ${ displaystyle Sq ^ {i}}$ generovat spojenou gradovanou algebru přes ${ displaystyle mathbb {Z} / 2}$, kde násobení je dáno složením operací. Toto je mod 2 Steenrodova algebra. V případě ${ displaystyle p> 2}$, mod ${ displaystyle p}$ Steenrodova algebra je generována ${ displaystyle P ^ {i}}$ a Provoz Bockstein ${ displaystyle beta}$ spojené s krátká přesná sekvence

${ displaystyle 0 to mathbb {Z} / p to mathbb {Z} / p ^ {2} to mathbb {Z} / p až 0.}$

V případě ${ displaystyle p = 2}$, prvek Bockstein je ${ displaystyle Sq ^ {1}}$ a snížené ${ displaystyle p}$-tá síla ${ displaystyle P ^ {i}}$ je ${ displaystyle Sq ^ {2i}}$.

Axiomatická charakterizace

Norman Steenrod a David B. A. Epstein  (1962 ) ukázal, že Steenrodovy čtverce ${ displaystyle Sq ^ {n} dvojtečka H ^ {m} až H ^ {m + n}}$ jsou charakterizovány následujícími 5 axiomy:

1. Přirozenost: ${ displaystyle Sq ^ {n} dvojtečka H ^ {m} (X; mathbb {Z} / 2) až H ^ {m + n} (X; mathbb {Z} / 2)}$ je aditivní homomorfismus a je funkcionální ve vztahu k jakémukoli ${ displaystyle f tračník X až Y.}$ tak ${ displaystyle f ^ {*} (Sq ^ {n} (x)) = Sq ^ {n} (f ^ {*} (x))}$.
2. ${ displaystyle Sq ^ {0}}$ je homomorfismus identity.
3. ${ displaystyle Sq ^ {n} (x) = x úsměv x}$ pro ${ displaystyle x v H ^ {n} (X; mathbb {Z} / 2)}$.
4. Li ${ displaystyle n> deg (x)}$ pak ${ displaystyle Sq ^ {n} (x) = 0}$
5. Cartan vzorec: ${ displaystyle Sq ^ {n} (x úsměv y) = součet _ {i + j = n} (Sq ^ {i} x) úsměv (Sq ^ {j} y)}$

Steenrodovy čtverce mají navíc následující vlastnosti:

• ${ displaystyle Sq ^ {1}}$ je Bocksteinův homomorfismus ${ displaystyle beta}$ přesné sekvence ${ displaystyle 0 až mathbb {Z} / 2 až mathbb {Z} / 4 až mathbb {Z} / 2 až 0,}$
• ${ displaystyle Sq ^ {i}}$ dojíždí se spojovacím morfismem dlouhé přesné sekvence v kohomologii. Dojíždí zejména s ohledem na pozastavení ${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbb {Z} / 2) cong H ^ {k + 1} ( Sigma X; mathbb {Z} / 2)}$
• Splňují vztahy Ádem, popsané níže

Podobně následující axiomy charakterizují redukované ${ displaystyle p}$-té pravomoci pro ${ displaystyle p> 2}$.

1. Přirozenost: ${ displaystyle P ^ {n}: H ^ {m} (X, mathbb {Z} / p mathbb {Z}) až H ^ {m + 2n (p-1)} (X, mathbb { Z} / p mathbb {Z})}$ je aditivní homomorfismus a přirozený.
2. ${ displaystyle P ^ {0}}$ je homomorfismus identity.
3. ${ displaystyle P ^ {n}}$ je pohár ${ displaystyle p}$-tá síla na třídách ${ displaystyle 2n}$.
4. Li ${ displaystyle 2n> deg (x)}$ pak ${ displaystyle P ^ {n} (x) = 0}$
5. Cartan vzorec:${ displaystyle P ^ {n} (x úsměv y) = součet _ {i + j = n} (P ^ {i} x) úsměv (P ^ {j} y)}$

Stejně jako dříve, snížená p-th pravomoci také uspokojit Ádem vztahy a dojíždět s pozastavení a hraniční operátory.

Vztahy Ádem

Vztahy Ádem pro ${ displaystyle p = 2}$ se domnívali Wen-tsün Wu  (1952 ) a zřízen José Ádem  (1952 ). Jsou dány

${ displaystyle Sq ^ {i} Sq ^ {j} = součet _ {k = 0} ^ { lfloor i / 2 rfloor} {jk-1 zvolit i-2k} Sq ^ {i + jk} Sq ^ {k}}$

pro všechny ${ displaystyle i, j> 0}$ takhle ${ displaystyle i <2j}$. (Binomické koeficienty je třeba interpretovat v módu 2.) Ádemovy vztahy umožňují napsat libovolné složení Steenrodových čtverců jako součet Serre – Cartanových základních prvků.

Pro zvláštní ${ displaystyle p}$ vztahy Ádem jsou

${ displaystyle P ^ {a} P ^ {b} = součet _ {i} (- 1) ^ {a + i} {(p-1) (bi) -1 zvolte a-pi} P ^ { a + bi} P ^ {i}}$

pro A<str a

${ displaystyle P ^ {a} beta P ^ {b} = součet _ {i} (- 1) ^ {a + i} {(p-1) (bi) vyberte a-pi} beta P ^ {a + bi} P ^ {i} + sum _ {i} (- 1) ^ {a + i + 1} {(p-1) (bi) -1 vyberte a-pi-1} P ^ {a + bi} beta P ^ {i}}$

pro ${ displaystyle a leq pb}$.

Bullett – Macdonaldova identita

Shaun R. Bullett a Ian G. Macdonald  (1982 ) přeformuloval vztahy Ádem jako následující identity.

Pro ${ displaystyle p = 2}$ dát

${ displaystyle P (t) = součet _ {i geq 0} t ^ {i} { text {Sq}} ^ {i}}$

pak jsou vztahy Ádem rovnocenné

${ displaystyle P (s ^ {2} + st) cdot P (t ^ {2}) = P (t ^ {2} + st) cdot P (s ^ {2})}$

Pro ${ displaystyle p> 2}$ dát

${ displaystyle P (t) = součet _ {i geq 0} t ^ {i} { text {P}} ^ {i}}$

pak jsou vztahy Ádem ekvivalentní tvrzení, že

${ displaystyle (1 + s { text {Ad}} beta) P (t ^ {p} + t ^ {p-1} s + cdots + ts ^ {p-1}) P (s ^ {p })}$

je symetrický v ${ displaystyle s}$ a ${ displaystyle t}$. Tady ${ displaystyle beta}$ je Bocksteinova operace a ${ displaystyle ( operatorname {Ad} beta) P = beta P-P beta}$.

Výpočty

Nekonečný skutečný projektivní prostor

Steenrodovy operace pro skutečný projektivní prostor lze snadno vypočítat pomocí formálních vlastností Steenrodových čtverců. Odvolej to

${ displaystyle H ^ {*} ( mathbb {RP} ^ { infty}; mathbb {Z} / 2) cong mathbb {Z} / 2 [x],}$

kde ${ displaystyle deg (x) = 1.}$ Pro operace na ${ displaystyle H ^ {1}}$ víme, že

${ displaystyle { begin {aligned} Sq ^ {0} (x) & = x Sq ^ {1} (x) & = x ^ {2} Sq ^ {k} (x) & = 0 && { text {pro libovolné}} k> 1 konec {zarovnáno}}}$

Používání operace

${ displaystyle Sq: = Sq ^ {0} + Sq ^ {1} + Sq ^ {2} + cdots}$

poznamenáváme, že to z Cartanova vztahu vyplývá

${ displaystyle Sq colon H ^ {*} (X) až H ^ {*} (X)}$

je kruhový morfismus. Proto

${ displaystyle Sq (x ^ {n}) = (Sq (x)) ^ {n} = (x + x ^ {2}) ^ {n} = součet _ {i = 0} ^ {n} { n zvolte i} x ^ {n + i}}$

Protože existuje pouze jeden stupeň ${ displaystyle n + i}$ složka předchozí částky, tu máme

${ displaystyle Sq ^ {i} (x ^ {n}) = {n zvolit i} x ^ {n + i}}$

Konstrukce

Předpokládejme to ${ displaystyle pi}$ je jakýkoli stupeň ${ displaystyle n}$ podskupina symetrické skupiny na ${ displaystyle n}$ body, ${ displaystyle u}$ kurz kohomologie v ${ displaystyle H ^ {q} (X, B)}$, ${ displaystyle A}$ abelianská skupina působila ${ displaystyle pi}$, a ${ displaystyle c}$ kurz kohomologie v ${ displaystyle H_ {i} ( pi, A)}$. Steenrod (1953) chyba harvtxt: více cílů (2 ×): CITEREFSteenrod1953 (Pomoc) ukázal, jak sestrojit snížený výkon ${ displaystyle u ^ {n} / c}$ v ${ displaystyle H ^ {nq-i} (X, (A otimes B otimes cdots otimes B) / pi)}$, jak následuje.

1. Užívání externího produktu z ${ displaystyle u}$ sám se sebou ${ displaystyle n}$ times dává ekvivariantní cyklus na ${ displaystyle X ^ {n}}$ s koeficienty v ${ displaystyle B otimes cdots otimes B}$.
2. Vybrat ${ displaystyle E}$ být a smluvní prostor na kterých ${ displaystyle pi}$ jedná svobodně a ekvivariantní mapa z ${ displaystyle E krát X}$ na ${ displaystyle X ^ {n}.}$ Stahování zpět ${ displaystyle u ^ {n}}$ touto mapou dává ekvivariantní cyklus na ${ displaystyle E krát X}$ a proto je to cyklus ${ displaystyle E / pi krát X}$ s koeficienty v ${ displaystyle B otimes cdots otimes B}$.
3. Užívání šikmý produkt s ${ displaystyle c}$ v ${ displaystyle H_ {i} (E / pi, A)}$ dává souboj ${ displaystyle X}$ s koeficienty v ${ displaystyle H_ {0} ( pi, A otimes B otimes cdots otimes B)}$.

Steenrodovy čtverce a snížené síly jsou speciální případy této konstrukce, kde ${ displaystyle pi}$ je cyklická skupina hlavního řádu ${ displaystyle p = n}$ působí jako cyklická permutace ${ displaystyle n}$ prvky a skupiny ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou cyklické řádu ${ displaystyle p}$, aby ${ displaystyle H_ {0} ( pi, A otimes B otimes cdots otimes B)}$ je také cyklický řádu ${ displaystyle p}$.

Struktura Steenrodovy algebry

Jean-Pierre Serre  (1953 ) (pro ${ displaystyle p = 2}$) a Henri Cartan  (1954, 1955 ) (pro ${ displaystyle p> 2}$) popsal strukturu Steenrodovy algebry stabilního mod ${ displaystyle p}$ cohomology operations, showing that it is generated by the Bockstein homomorphism together with the Steenrod reduced powers, and the Ádem relations generate the ideal of relationships between these generators. Zejména našli explicitní základ pro Steenrodovu algebru. Tento základ se opírá o určitou představu o přípustnosti celočíselných sekvencí. Říkáme posloupnost

${ displaystyle i_ {1}, i_ {2}, ldots, i_ {n}}$

je přípustné, pokud pro každého ${ displaystyle j}$, máme to ${ displaystyle i_ {j} geq 2i_ {j + 1}}$. Pak prvky

${ displaystyle Sq ^ {I} = Sq ^ {i_ {1}} cdots Sq ^ {i_ {n}},}$

kde ${ displaystyle I}$ je přípustná sekvence, tvoří základ (Serre – Cartanův základ) pro mod 2 Steenrod algebra. Pro případ existuje podobný základ ${ displaystyle p> 2}$ skládající se z prvků

${ displaystyle Sq_ {p} ^ {I} = Sq_ {p} ^ {i_ {1}} cdots Sq_ {p} ^ {i_ {n}},}$

takhle

${ displaystyle i_ {j} geq pi_ {j + 1}}$

${ displaystyle i_ {j} equiv 0,1 { bmod {2}} (p-1)}$

${ displaystyle Sq_ {p} ^ {2k (p-1)} = P ^ {k}}$

${ displaystyle Sq_ {p} ^ {2k (p-1) +1} = beta P ^ {k}}$

Struktura Hopfovy algebry a Milnorův základ

Steenrodova algebra má více struktury než odstupňovaná ${ displaystyle mathbf {F} _ {p}}$-algebra. Je to také a Hopfova algebra, takže zejména existuje úhlopříčka nebo komplikace mapa

${ displaystyle psi tlustého střeva A až A krát A.}$

indukovaný Cartanovým vzorcem pro působení Steenrodovy algebry na pohárový produkt. Je jednodušší popsat než mapu produktu a je dán

${ displaystyle psi (Sq ^ {k}) = součet _ {i + j = k} Sq ^ {i} další Sq ^ {j}}$

${ displaystyle psi (P ^ {k}) = součet _ {i + j = k} P ^ {i} další P ^ {j}}$

${ displaystyle psi ( beta) = beta otimes 1 + 1 otimes beta.}$

Tyto vzorce naznačují, že Steenrodova algebra je komutativní.

Lineární duální ${ displaystyle psi}$ dělá (odstupňované) lineární duální ${ displaystyle A _ {*}}$ z A do algebry. John Milnor  (1958 ) dokázal, pro ${ displaystyle p = 2}$, že ${ displaystyle A _ {*}}$ je polynomiální algebra, s jedním generátorem ${ displaystyle xi _ {k}}$ stupně ${ displaystyle 2 ^ {k} -1}$, pro každého k, a pro ${ displaystyle p> 2}$ duální Steenrodova algebra ${ displaystyle A _ {*}}$ je tenzorový produkt polynomiální algebry v generátorech ${ displaystyle xi _ {k}}$ stupně ${ displaystyle 2p ^ {k} -2}$ ${ displaystyle (k geq 1)}$ a vnější algebra v generátorech τ_k stupně ${ displaystyle 2p ^ {k} -1}$ ${ displaystyle (k geq 0)}$. Monomiální základ pro ${ displaystyle A _ {*}}$ pak dává další výběr základu pro A, nazvaný Milnorův základ. S duálem k Steenrodově algebře je často pohodlnější pracovat, protože násobení je (super) komutativní. Komplikace pro ${ displaystyle A _ {*}}$ je duální produkt na A; je to dáno

${ displaystyle psi ( xi _ {n}) = součet _ {i = 0} ^ {n} xi _ {n-i} ^ {p ^ {i}} další xi _ {i}.}$ kde ξ₀= 1 a

${ displaystyle psi ( tau _ {n}) = tau _ {n} krát 1+ součet _ {i = 0} ^ {n} xi _ {ni} ^ {p ^ {i}} otimes tau _ {i}}$ -li p>2

Jediný primitivní prvky z A_* pro p= 2 jsou ${ displaystyle xi _ {1} ^ {2 ^ {i}}}$a jsou dvojí vůči ${ displaystyle Sq ^ {2 ^ {i}}}$ (jediné nerozložitelné z A).

Vztah k formálním skupinám

Duální Steenrodovy algebry jsou superkomutativní Hopfovy algebry, takže jejich spektra jsou schémata superskupin algebry. Tato skupinová schémata úzce souvisí s automorfismem jednorozměrných aditivních formálních skupin. Například pokud p= 2, pak je duální Steenrodova algebra skupinovým schématem automorfismů jednorozměrného aditivního formálního skupinového schématu X+y to jsou identita prvního řádu. Tyto automorfismy mají formu

${ displaystyle x rightarrow x + xi _ {1} x ^ {2} + xi _ {2} x ^ {4} + xi _ {3} x ^ {8} + cdots}$

Algebraická konstrukce

Larry Smith (2007 ) dal následující algebraickou konstrukci Steenrodovy algebry nad a konečné pole ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ řádu q. Li PROTI je vektorový prostor přes ${ displaystyle mathbb {F} _ {q}}$ potom napiš SV pro symetrická algebra z PROTI. Tady je homomorfismus algebry

${ displaystyle { begin {cases} P (x) tračník SV [[x]] až SV [[x]] P (x) (v) = v + F (v) x = v + v ^ {q} x & v ve V end {případech}}}$

kde F je Frobeniova endomorfismus z SV. Pokud dáme

${ displaystyle P (x) (f) = součet P ^ {i} (f) x ^ {i} qquad p> 2}$

nebo

${ displaystyle P (x) (f) = součet Sq ^ {2i} (f) x ^ {i} qquad p = 2}$

pro ${ displaystyle f v SV}$ pak pokud PROTI je nekonečně dimenzionální prvky ${ displaystyle P ^ {I}}$ generovat izomorfismus algebry k subalgebře Steenrodovy algebry generované redukovanou p ′th síly pro p liché nebo sudé Steenrodovy čtverce ${ displaystyle Sq ^ {2i}}$ pro ${ displaystyle p = 2}$.

Aplikace

Rané aplikace Steenrodovy algebry byly výpočty od Jean-Pierre Serre některých homotopy skupin koulí, s využitím kompatibility transgresivních diferenciálů v Serre spektrální sekvenci s operacemi Steenrod a klasifikace podle René Thom hladkých variet až po cobordismus prostřednictvím identifikace odstupňovaného kruhu tříd bordismu s homotopy skupin Thomových komplexů, ve stabilním rozsahu. Ten byl v případě orientovaných potrubí vylepšen o C. T. C. Wall. Slavná aplikace Steenrodových operací, zahrnující faktorizace prostřednictvím sekundárních kohomologických operací spojených s příslušnými Ademovými vztahy, byla řešením J. Frank Adams z Hopfův neměnný problém. Jednou z aplikací mod Steenrodovy algebry, která je poměrně základní, je následující věta.

Teorém. Pokud existuje mapa ${ displaystyle S ^ {2n-1} to S ^ {n}}$ z Hopfův neměnný, pak n je síla 2.

Důkaz využívá skutečnosti, že každý ${ displaystyle Sq ^ {k}}$ je rozložitelný na k což není síla 2; to znamená, že takový prvek je produktem čtverců přísně menšího stupně.

Spojení s Adamsovou spektrální sekvencí a homotopy skupin koulí

Cohomologie Steenrodovy algebry je ${ displaystyle E_ {2}}$ termín pro (p-místní ) Adamsova spektrální sekvence, jehož opěrou je p- složka stabilních homotopy skupin koulí. Přesněji řečeno ${ displaystyle E_ {2}}$ termín této spektrální sekvence lze identifikovat jako

${ displaystyle mathrm {Ext} _ {A} ^ {s, t} ( mathbb {F} _ {p}, mathbb {F} _ {p}).}$

To je míněno aforismem „cohomologie Steenrodovy algebry je přiblížením stabilních homotopy skupin koulí.“

Viz také

• Provoz cohomologie Pontryagin

Reference

Pedagogický

• Malkiewich, Cary, Steenrodova algebra (PDF), archivovány od originálu dne 15. 8. 2017CS1 maint: BOT: stav původní adresy URL neznámý (odkaz)

Reference

• Ádem, José (1952), „Iterace Steenrodových čtverců v algebraické topologii“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 38 (8): 720–726, Bibcode:1952PNAS ... 38..720A, doi:10.1073 / pnas.38.8.720, ISSN  0027-8424, JSTOR  88494, PAN  0050278, PMC  1063640, PMID  16589167
• Bullett, Shaun R .; Macdonald, Ian G. (1982), "O vztazích Ádem", Topologie. International Journal of Mathematics, 21 (3): 329–332, doi:10.1016/0040-9383(82)90015-5, ISSN  0040-9383, PAN  0649764
• Cartan, Henri (1954), "Sur les groupes d'Eilenberg-Mac Lane. II", Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 40 (8): 704–707, Bibcode:1954PNAS ... 40..704C, doi:10.1073 / pnas.40.8.704, ISSN  0027-8424, JSTOR  88981, PAN  0065161, PMC  534145, PMID  16589542
• Cartan, Henri (1955), „Sur l'itération des opérations de Steenrod“, Commentarii Mathematici Helvetici, 29 (1): 40–58, doi:10.1007 / BF02564270, ISSN  0010-2571, PAN  0068219
• Allen Hatcher, Algebraická topologie. Cambridge University Press, 2002. Dostupné zdarma online z webu domovská stránka autora.
• Malygin, S.N .; Postnikov, M.M. (2001) [1994], „Steenrod snížil výkon“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Malygin, S.N .; Postnikov, M.M. (2001) [1994], „Steenrod square“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• May, J. Peter (1970), „Obecný algebraický přístup k operacím Steenrod“ (PDF), Steenrodova algebra a její aplikace (Proc. Conf. K oslavě šedesátých narozenin N. E. Steenroda, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970)Přednášky z matematiky, 168, Berlín, New York: Springer-Verlag, str. 153–231, CiteSeerX  10.1.1.205.6640, doi:10.1007 / BFb0058524, ISBN  978-3-540-05300-2, PAN  0281196
• Milnor, John Willard (1958), „Steenrodova algebra a její duální“, Annals of Mathematics, Druhá série, 67 (1): 150–171, doi:10.2307/1969932, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969932, PAN  0099653
• Mosher, Robert E .; Tangora, Martin C. (2008) [1968], Kohomologické operace a aplikace v teorii homotopy, New York: Dover Publications, ISBN  978-0-486-46664-4, PAN  0226634
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], „Steenrodova algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Serre, Jean-Pierre (1953), „Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-MacLane“, Commentarii Mathematici Helvetici, 27 (1): 198–232, doi:10.1007 / BF02564562, ISSN  0010-2571, PAN  0060234
• Smith, Larry (2007). "Algebraický úvod do Steenrodovy algebry". V Hubbuck, John; Hu'ng, Nguyễn H. V .; Schwartz, Lionel (eds.). Sborník školy a konference v algebraické topologii. Monografie o geometrii a topologii. 11. 327–348. arXiv:0903.4997. doi:10.2140 / gtm.2007.11.327. PAN  2402812.
• Steenrod, Norman E. (1947), "Produkty cocycles a rozšíření mapování", Annals of Mathematics, Druhá série, 48 (2): 290–320, doi:10.2307/1969172, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969172, PAN  0022071
• Steenrod, Norman E. (1953), „Homologické skupiny symetrických skupin a operace se sníženou energií“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 39 (3): 213–217, Bibcode:1953PNAS ... 39..213S, doi:10.1073 / pnas.39.3.213, ISSN  0027-8424, JSTOR  88780, PAN  0054964, PMC  1063756, PMID  16589250
• Steenrod, Norman E. (1953), „Cyklické snížené schopnosti tříd kohomologie“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 39 (3): 217–223, Bibcode:1953PNAS ... 39..217S, doi:10.1073 / pnas.39.3.217, ISSN  0027-8424, JSTOR  88781, PAN  0054965, PMC  1063757, PMID  16589251
• Steenrod, Norman E. (1962), Epstein, David B. A. (vyd.), Kohomologické operace, Annals of Mathematics Studies, 50, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-07924-0, PAN  0145525
• Wu, Wen-tsün (1952), Sur les puissances de SteenrodColloque de Topologie de Strasbourg, IXLa Bibliothèque Nationale et Universitaire de Strasbourg, PAN  0051510