Hladká struktura - Smooth structure

v matematika, a hladká struktura na potrubí umožňuje jednoznačnou představu o plynulá funkce. Hladká struktura umožňuje zejména provedení matematická analýza na potrubí.^[1]

Definice

Hladká struktura na potrubí M je sbírka hladce ekvivalentních hladkých atlasů. Tady, a hladký atlas pro topologické potrubí M je atlas pro M takové, že každý přechodová funkce je hladká mapa a dva hladké atlasy pro M jsou hladce ekvivalentní za předpokladu jejich svaz je opět hladký atlas pro M. To dává přirozené vztah ekvivalence na souboru hladkých atlasů.

A hladké potrubí je topologické potrubí Mspolu s hladkou strukturou na M.

Maximální hladké atlasy

Tím, že sjednotí všechny atlasy patřící do hladké struktury, získáváme a maximální hladký atlas. Tento atlas obsahuje každý graf, který je kompatibilní s hladkou strukturou. Mezi hladkými strukturami a maximálními hladkými atlasy existuje přirozená vzájemná korespondence. Hladkou strukturu tedy můžeme považovat za maximální atlas a naopak.

Obecně jsou výpočty s maximálním atlasem potrubí poměrně nepraktické. Pro většinu aplikací stačí zvolit menší atlas. Například pokud je potrubí kompaktní, pak lze najít atlas pouze s konečně mnoha grafy.

Ekvivalence hladkých struktur

Nechat ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ být dva maximální atlasy M. Dvě hladké struktury spojené s ${ displaystyle mu}$ a ${ displaystyle nu}$ jsou považovány za rovnocenné, pokud existuje homeomorfismus ${ displaystyle f: M rightarrow M}$ takhle ${ displaystyle mu circ f = nu}$ .^{[Citace je zapotřebí ]}

Exotické koule

John Milnor v roce 1956 ukázal, že 7-dimenzionální koule připouští hladkou strukturu, která není ekvivalentní standardní hladké struktuře. Koule vybavená nestandardní hladkou strukturou se nazývá exotická sféra.

Rozdělovač E8

The Rozdělovač E8 je příkladem a topologické potrubí to nepřipouští hladkou strukturu. To to v podstatě dokazuje Rokhlinova věta platí pouze pro hladké struktury a ne pro topologické potrubí obecně.

Související struktury

Mohou být oslabeny požadavky na plynulost přechodových funkcí, takže vyžadujeme pouze přechodové mapy k-krát nepřetržitě diferencovatelné; nebo posíleny, takže požadujeme, aby mapy přechodů byly skutečně analytické. V souladu s tím to dává ${ displaystyle C ^ {k}}$ nebo (skutečná) analytická struktura na potrubí spíše než na hladkém. Podobně můžeme definovat a složitá struktura tím, že vyžaduje, aby přechodové mapy byly holomorfní.

Viz také

Reference

^ Callahan, James J. (1974). „Singularity a rovinné mapy“. Amer. Matematika. Měsíční. 81: 211–240. doi:10.2307/2319521.

Hirsch, Morris (1976). Diferenciální topologie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
Lee, John M. (2006). Úvod do hladkých potrubí. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
Sepanski, Mark R. (2007). Kompaktní Lie Lie Groups. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.

[1] Callahan, James J. (1974). „Singularity a rovinné mapy“. Amer. Matematika. Měsíční. 81: 211–240. doi:10.2307/2319521.

[1]