Základní věta o algebře - Fundamental theorem of algebra

The základní věta o algebře uvádí, že každýkonstantní jedna proměnná polynomiální s komplex koeficienty má alespoň jeden komplex vykořenit. To zahrnuje polynomy se skutečnými koeficienty, protože každé reálné číslo je komplexní číslo s jeho imaginární část rovna nule.

Ekvivalentně (podle definice) věta říká, že pole z komplexní čísla je algebraicky uzavřeno.

Věta je také uvedena následovně: každá nenulová, jednoduchá proměnná, stupeň n polynom s komplexními koeficienty, počítáno s multiplicita, přesně n složité kořeny. Rovnocennost těchto dvou výroků lze prokázat použitím po sobě jdoucích polynomiální dělení.

Navzdory svému názvu neexistuje žádný čistě algebraický důkaz věty, protože každý důkaz musí používat nějakou formu analytické úplnost reálných čísel, který je ne algebraický koncept.^[1] Navíc to není zásadní pro moderní algebra; její název byl dán v době, kdy algebra byla synonymem pro teorie rovnic.

Dějiny

Peter Roth ve své knize Arithmetica Philosophica (publikováno v roce 1608 v Norimberku Johann Lantzenberger),^[2] napsal, že polynomiální rovnice stupně n (se skutečnými koeficienty) smět mít n řešení. Albert Girard, ve své knize L'invention nouvelle en l'Algèbre (publikoval v roce 1629), tvrdil, že polynomiální rovnice stupně n má n řešení, ale neuváděl, že musí jít o reálná čísla. Dále dodal, že jeho tvrzení platí „pokud není rovnice neúplná“, čímž myslel, že žádný koeficient se nerovná 0. Když však podrobně vysvětlí, co tím myslí, je jasné, že skutečně věří, že jeho tvrzení je vždy pravda; například ukazuje, že rovnice ${ displaystyle x ^ {4} = 4x-3,}$ i když neúplný, má čtyři řešení (počítání multiplikit): 1 (dvakrát), ${ displaystyle -1 + i { sqrt {2}},}$ a ${ displaystyle -1-i { sqrt {2}}.}$

Jak bude uvedeno níže, ze základní věty algebry vyplývá, že každý nekonstantní polynom se skutečnými koeficienty lze zapsat jako součin polynomů se skutečnými koeficienty, jejichž stupně jsou buď 1 nebo 2. Avšak v roce 1702 Leibniz mylně řekl, že žádný polynom typu X⁴ + A⁴ (s A reálné a odlišné od 0) lze psát takovým způsobem. Později, Nikolaus Bernoulli učinil stejné tvrzení týkající se polynomu X⁴ − 4X³ + 2X² + 4X + 4, ale dostal dopis od Euler v roce 1742^[3] ve kterém se ukázalo, že tento polynom se rovná

${ displaystyle left (x ^ {2} - (2+ alpha) x + 1 + { sqrt {7}} + alpha right) left (x ^ {2} - (2- alpha) x + 1 + { sqrt {7}} - alpha right),}$

s ${ displaystyle alpha = { sqrt {4 + 2 { sqrt {7}}}}.}$Euler na to také poukázal

${ displaystyle x ^ {4} + a ^ {4} = left (x ^ {2} + a { sqrt {2}} cdot x + a ^ {2} right) left (x ^ { 2} -a { sqrt {2}} cdot x + a ^ {2} vpravo).}$

První pokus o prokázání věty byl proveden d'Alembert v roce 1746, ale jeho důkaz byl neúplný. Mezi dalšími problémy předpokládal implicitně teorém (nyní známý jako Puiseuxova věta ), který by byl prokázán až o více než sto let později a za použití základní věty o algebře. Další pokusy učinil Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) a Laplace (1795). Tyto poslední čtyři pokusy implicitně předpokládaly Girardovo tvrzení; abych byl přesnější, předpokládala se existence řešení a zbývalo jen dokázat, že jejich forma byla A + bi pro některá reálná čísla A a b. V moderních termínech Euler, de Foncenex, Lagrange a Laplace předpokládali existenci a rozdělení pole polynomu p(z).

Na konci 18. století byly zveřejněny dva nové důkazy, které nepředpokládaly existenci kořenů, ale ani jeden nebyl úplný. Jeden z nich, kvůli James Wood a hlavně algebraické, vyšlo v roce 1798 a bylo zcela ignorováno. Woodův důkaz měl algebraickou mezeru.^[4] Ten druhý vydal Gauss v roce 1799 a byl hlavně geometrický, ale měl topologickou mezeru, pouze vyplněnou Alexander Ostrowski v roce 1920, jak je popsáno v Smale (1981).^[5] První přísný důkaz zveřejnil Argand v roce 1806 (a znovu navštíveno v roce 1813);^[6] bylo to také zde, kde byla poprvé uvedena základní věta o algebře pro polynomy se složitými koeficienty, nikoli jen s reálnými koeficienty. Gauss předložil dva další důkazy v roce 1816 a další neúplnou verzi svého původního důkazu v roce 1849.

První učebnice obsahující důkaz věty byla Cauchy je Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). Obsahoval však Argandův důkaz Argand není za to připsána.

Žádný z dosud zmíněných důkazů není konstruktivní. to bylo Weierstrass kdo poprvé v polovině 19. století nastolil problém najít a konstruktivní důkaz základní věty o algebře. Představil své řešení, které v moderním vyjádření představuje kombinaci Metoda Durand – Kerner s pokračování homotopy princip, v roce 1891. Další důkaz tohoto druhu získal Hellmuth Kneser v roce 1940 a zjednodušeno jeho synem Martin Kneser v roce 1981.

Bez použití spočítatelná volba, není možné konstruktivně dokázat základní teorém algebry pro komplexní čísla na základě Dedekindova reálná čísla (které nejsou konstruktivně ekvivalentní Cauchyovým reálným číslům bez započítatelné volby).^[7] Nicméně, Fred Richman prokázal přeformulovanou verzi věty, která funguje.^[8]

Důkazy

Všechny níže uvedené důkazy zahrnují některé matematická analýza, nebo alespoň topologické koncept kontinuita skutečných nebo složitých funkcí. Někteří také používají rozlišitelný nebo dokonce analytický funkce. Tato skutečnost vedla k poznámce, že základní věta o algebře není ani základní, ani teorém o algebře.^{[Citace je zapotřebí ]}

Některé důkazy věty pouze dokazují, že jakýkoli nekonstantní polynom s nemovitý koeficienty má nějaký složitý kořen. To je dostačující k ustavení věty v obecném případě, protože vzhledem k nekonstantnímu polynomu p(z) se složitými koeficienty, polynomem

${ displaystyle q (z) = p (z) { overline {p ({ overline {z}})}}}$

má pouze skutečné koeficienty a pokud z je nula q(z), pak buď z nebo jeho konjugát je kořenem p(z).

Velké množství nealgebraických důkazů věty využívá skutečnost (někdy nazývanou „růstové lemma“), že npolynomiální funkce. stupně p(z), jehož dominantní koeficient je 1, se chová podobně zⁿ když |z| je dostatečně velký. Přesnější tvrzení je: existuje nějaké pozitivní reálné číslo R takové, že:

${ displaystyle { tfrac {1} {2}} | z ^ {n} | <| p (z) | <{ tfrac {3} {2}} | z ^ {n} |}$

když |z| > R.

Komplexní analytické důkazy

Najděte uzavřený disk D poloměru r soustředěný na počátek tak, že |p(z)| > |p(0) | kdykoli |z| ≥ r. Minimálně |p(z) | na D, které od té doby musí existovat D je kompaktní, je tedy v určitém okamžiku dosaženo z₀ v interiéru D, ale ne v žádném bodě své hranice. The Princip maximálního modulu (aplikováno na 1 /p(z)) z toho tedy vyplývá p(z₀) = 0. Jinými slovy, z₀ je nula p(z).

Variace tohoto důkazu nevyžaduje použití principu maximálního modulu (ve skutečnosti stejný argument s malými změnami také poskytuje důkaz principu maximálního modulu pro holomorfní funkce). Pokud to předpokládáme rozporem A := p(z₀) ≠ 0, pak se rozšiřuje p(z) v pravomoci z − z₀ můžeme psát

${ displaystyle p (z) = a + c_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k} + c_ {k + 1} (z-z_ {0}) ^ {k + 1} + cdots + c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.}$

Tady je C_j jsou jednoduše koeficienty polynomu z → p(z + z₀), a necháme k být indexem prvního koeficientu za konstantní hodnotou, která je nenulová. Ale teď to vidíme pro z dostatečně blízko z₀ toto má chování asymptoticky podobné jednoduššímu polynomu ${ displaystyle q (z) = a + c_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}$,

v tom smyslu, že (jak je snadné zkontrolovat) funkce

${ displaystyle left | { frac {p (z) -q (z)} {(z-z_ {0}) ^ {k + 1}}} vpravo |}$

je omezena nějakou pozitivní konstantou M v nějaké čtvrti z₀. Proto pokud definujeme ${ displaystyle theta _ {0} = ( arg (a) + pi - arg (c_ {k})) / k}$ a nechte ${ displaystyle z = z_ {0} + re ^ {i theta _ {0}}}$, pak pro jakékoli dostatečně malé kladné číslo r (tak, aby svázaný M výše uvedené platí), pomocí nerovnosti trojúhelníku to vidíme

${ displaystyle { begin {zarovnaný} | p (z) | & leq | q (z) | + r ^ {k + 1} left | { frac {p (z) -q (z)} { r ^ {k + 1}}} right | [4pt] & leq left | a + (- 1) c_ {k} r ^ {k} e ^ {i ( arg (a) - arg (c_ {k}))} vpravo | + Mr ^ {k + 1} [4pt] & = | a | - | c_ {k} | r ^ {k} + Mr ^ {k + 1} konec {zarovnáno}}}$

Když r je dostatečně blízko 0 k této horní hranici pro |p(z) | je přísně menší než |A| v rozporu s definicí z₀. (Geometricky jsme našli explicitní směr θ₀ tak, že když se někdo přiblíží z₀ z tohoto směru lze získat hodnoty p(z) menší v absolutní hodnotě než |p(z₀)|.)

Další analytický důkaz lze získat na základě této myšlenkové linie s pozorováním, že od |p(z)| > |p(0) | mimo D, minimálně |p(z) | na celé komplexní rovině je dosaženo v z₀. Pokud |p(z₀) | > 0, pak 1 /p je ohraničený holomorfní funkce v celé komplexní rovině, protože pro každé komplexní číslo z, |1/p(z)| ≤ |1/p(z₀) |. Přihlašování Liouvilleova věta, který uvádí, že ohraničená celá funkce musí být konstantní, znamenalo by to, že 1 /p je konstantní, a proto p je konstantní. To dává rozpor, a tudíž p(z₀) = 0.

Ještě další analytický důkaz používá princip argumentu. Nechat R být kladné reálné číslo dostatečně velké na to, aby každý kořen z p(z) má absolutní hodnotu menší než R; takové číslo musí existovat, protože každá nekonstantní polynomiální funkce stupně n má nanejvýš n nuly. Pro každého r > R, zvažte počet

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} { frac {p '(z)} {p (z)}} , dz,}$

kde C(r) je kruh se středem na 0 s poloměrem r orientováno proti směru hodinových ručiček; pak princip argumentu říká, že toto číslo je číslo N nul z p(z) v otevřené kouli se středem na 0 s poloměrem r, který, protože r > R, je celkový počet nul p(z). Na druhou stranu integrál n/z podél C(r) děleno 2πi je rovný n. Rozdíl mezi těmito dvěma čísly je

${ displaystyle { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} left ({ frac {p '(z)} {p (z)}} - { frac { n} {z}} right) dz = { frac {1} {2 pi i}} int _ {c (r)} { frac {zp '(z) -np (z)} {zp (z)}} , dz.}$

Čitatel integrovaného racionálního výrazu má stupeň nanejvýš n - 1 a stupeň jmenovatele je n + 1. Proto má výše uvedené číslo hodnotu 0 jako r → + ∞. Ale počet se také rovná N − n a tak N = n.

Ještě další komplexní analytický důkaz lze podat kombinací lineární algebra s Cauchyova věta. Zjistit, že každý složitý polynom stupně n > 0 má nulu, stačí ukázat, že každý komplex čtvercová matice velikosti n > 0 má (komplex) vlastní číslo.^[9] Důkazem druhého prohlášení je rozporem.

Nechat A být složitá čtvercová matice velikosti n > 0 a nechat Já_n být jednotkovou maticí stejné velikosti. Převzít A nemá žádná vlastní čísla. Zvažte rozpouštědlo funkce

${ displaystyle R (z) = (zI_ {n} -A) ^ {- 1},}$

což je meromorfní funkce na komplexní rovině s hodnotami ve vektorovém prostoru matic. Vlastní čísla A jsou přesně póly R(z). Protože, podle předpokladu, A nemá žádná vlastní čísla, funkci R(z) je celá funkce a Cauchyova věta to naznačuje

${ displaystyle int _ {c (r)} R (z) , dz = 0.}$

Na druhou stranu, R(z) rozšířený jako geometrická řada dává:

${ displaystyle R (z) = z ^ {- 1} (I_ {n} -z ^ {- 1} A) ^ {- 1} = z ^ {- 1} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {z ^ {k}}} A ^ {k} cdot}$

Tento vzorec platí mimo uzavřený disk poloměru ${ displaystyle | A |}$ (dále jen norma operátora z A). Nechat ${ displaystyle r> | A |.}$ Pak

${ displaystyle int _ {c (r)} R (z) dz = součet _ {k = 0} ^ { infty} int _ {c (r)} { frac {dz} {z ^ { k + 1}}} A ^ {k} = 2 pi iI_ {n}}$

(ve kterém je pouze součet k = 0 má nenulový integrál). To je rozpor, a tak A má vlastní číslo.

Konečně, Rouchéova věta dává snad nejkratší důkaz věty.

Topologické důkazy

Předpokládejme minimum |p(z) | na celé komplexní rovině je dosaženo v z₀; bylo to vidět na důkazu, který používá Liouvilleovu větu, že takové číslo musí existovat. Můžeme psát p(z) jako polynom v z − z₀: existuje nějaké přirozené číslo k a existuje několik komplexních čísel C_k, C_k + 1, ..., C_n takhle C_k ≠ 0 a:

${ displaystyle p (z) = p (z_ {0}) + c_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k} + c_ {k + 1} (z-z_ {0}) ^ {k +1} + cdots + c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}.}$

Li p(z₀) je nenulová, z toho vyplývá, že pokud A je k^th kořen -p(z₀)/C_k a pokud t je pozitivní a dostatečně malý, pak |p(z₀ + ta)| < |p(z₀) |, což je nemožné, protože |p(z₀) | je minimum |p| na D.

Pro další topologický důkaz rozporem předpokládejme, že polynom p(z) nemá žádné kořeny, a proto se nikdy nerovná 0. Polynomial si představte jako mapu ze složité roviny do komplexní roviny. Mapuje libovolný kruh |z| = R do uzavřené smyčky, křivky P(R). Zvážíme, co se stane s číslo vinutí z P(R) v extrémech, když R je velmi velký a kdy R = 0. Kdy R je dostatečně velký počet, pak hlavní termín zⁿ z p(z) dominuje všem ostatním termínům dohromady; jinými slovy,

${ displaystyle left | z ^ {n} right |> left | a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {0} right |.}$

Když z prochází kruhem ${ displaystyle Re ^ {i theta}}$ jednou proti směru hodinových ručiček ${ displaystyle (0 leq theta leq 2 pi),}$ pak ${ displaystyle z ^ {n} = R ^ {n} e ^ {in theta}}$ větry n krát proti směru hodinových ručiček ${ displaystyle (0 leq theta leq 2 pi n)}$ kolem původu (0,0) a P(R) podobně. Na druhém konci s |z| = 0, křivka P(0) je pouze jediný bod p(0), které musí být nenulové, protože p(z) není nikdy nula. Tím pádem p(0) musí být odlišný od počátku (0,0), který označuje 0 v komplexní rovině. Počet vinutí P(0) kolem počátku (0,0) je tedy 0. Nyní se mění R nepřetržitě bude průběžně deformovat smyčku. U některých R číslo vinutí se musí změnit. Ale to se může stát pouze v případě, že křivka P(R) zahrnuje u některých původ (0,0) R. Ale pak pro některé z na tom kruhu |z| = R my máme p(z) = 0, což je v rozporu s naším původním předpokladem. Proto, p(z) má alespoň jednu nulu.

Algebraické důkazy

Tyto důkazy základní věty o algebře musí využívat následující dvě skutečnosti o reálných číslech, která nejsou algebraická, ale vyžadují jen malou část analýzy (přesněji věta o střední hodnotě v obou případech):

• každý polynom s lichým stupněm a reálnými koeficienty má nějaký skutečný kořen;
• každé nezáporné reálné číslo má druhou odmocninu.

Druhá skutečnost, společně s kvadratický vzorec, implikuje teorém pro skutečné kvadratické polynomy. Jinými slovy, algebraické důkazy základní věty ve skutečnosti ukazují, že pokud R je jakýkoli skutečně uzavřené pole, pak jeho rozšíření C = R(√−1) je algebraicky uzavřeno.

Indukcí

Jak již bylo zmíněno výše, stačí zkontrolovat příkaz „každý nekonstantní polynom p(z) se skutečnými koeficienty má komplexní kořen. “Toto tvrzení lze dokázat indukcí na největším nezáporném celém čísle k tak, že 2^k dělí stupeň n z p(z). Nechat A být koeficientem zⁿ v p(z) a nechte F být rozdělení pole z p(z) přes C; jinými slovy pole F obsahuje C a existují prvky z₁, z₂, ..., z_n v F takhle

${ displaystyle p (z) = a (z-z_ {1}) (z-z_ {2}) cdots (z-z_ {n}).}$

Li k = 0, tedy n je zvláštní, a proto p(z) má skutečný kořen. Předpokládejme to n = 2^km (s m liché a k > 0) a že věta je již prokázána, když má stupeň polynomu tvar 2^k − 1m′ S m' zvláštní. Pro skutečné číslo t, definovat:

${ displaystyle q_ {t} (z) = prod _ {1 leq já$

Pak koeficienty q_t(z) jsou symetrické polynomy v z_i se skutečnými koeficienty. Proto je lze vyjádřit jako polynomy se skutečnými koeficienty v elementární symetrické polynomy, tedy v -A₁, A₂, ..., (−1)ⁿA_n. Tak q_t(z) má ve skutečnosti nemovitý koeficienty. Dále stupeň q_t(z) je n(n − 1)/2 = 2^k−1m(n - 1) a m(n - 1) je liché číslo. Takže pomocí indukční hypotézy q_t má alespoň jeden komplexní kořen; jinými slovy, z_i + z_j + tz_iz_j je komplexní pro dva odlišné prvky i a j od {1, ..., n}. Jelikož existuje více reálných čísel než párů (i, j), lze najít zřetelná reálná čísla t a s takhle z_i + z_j + tz_iz_j a z_i + z_j + sz_iz_j jsou složité (pro stejné i a j). Takže oba z_i + z_j a z_iz_j jsou komplexní čísla. Je snadné zkontrolovat, že každé komplexní číslo má složitou druhou odmocninu, takže každý složitý polynom stupně 2 má složitou kořen podle kvadratického vzorce. Z toho vyplývá, že z_i a z_j jsou komplexní čísla, protože jsou kořeny kvadratického polynomu z² −  (z_i + z_j)z + z_iz_j.

Joseph Shipman v roce 2007 ukázal, že předpoklad, že polynomy lichého stupně mají kořeny, je silnější, než je nutné; jakékoli pole, ve kterém mají polynomy prvního stupně kořeny, je algebraicky uzavřeno (takže „liché“ lze nahradit „lichým prvkem“, což platí pro pole všech charakteristik).^[10] Pro axiomatizaci algebraicky uzavřených polí je to nejlepší možné, protože existují protiklady, pokud je vyloučeno jedno prvočíslo. Tyto protipříklady však spoléhají na to, že -1 má druhou odmocninu. Vezmeme-li pole, kde −1 nemá druhou odmocninu a každý polynom stupně n ∈ Já má kořen, kde Já je libovolná pevná nekonečná množina lichých čísel, pak každý polynom F(X) lichého stupně má kořen (od (X² + 1)^kF(X) má kořen, kde k je vybrán tak, aby deg (F) + 2k ∈ Já). Mohsen Aliabadi zobecnil^{[pochybný – diskutovat]} Výsledkem Shipmana v roce 2013, poskytujícím nezávislý důkaz, že dostatečnou podmínkou pro algebraické uzavření libovolného pole (jakékoli charakteristiky) je to, že má kořen pro každý polynom primárního stupně.^[11]

Z Galoisovy teorie

Další algebraický důkaz základní věty lze podat pomocí Galoisova teorie. To stačí ukázat C nemá správnou konečnou hodnotu rozšíření pole.^[12] Nechat K./C být konečným rozšířením. Protože normální uzavření z K. přes R stále má konečný stupeň C (nebo R), můžeme předpokládat bez ztráty obecnosti že K. je normální rozšíření z R (proto je to Galoisovo rozšíření, jako každé algebraické rozšíření pole charakteristický 0 je oddělitelný ). Nechat G být Galoisova skupina tohoto rozšíření, a nechť H být Sylow 2 podskupina G, takže objednat z H je síla 2 a index z H v G je zvláštní. Podle základní věta o Galoisově teorii, existuje subextension L z K./R takový, že Gal (K./L) = H. Tak jako [L:R] = [G:H] je liché a neexistují žádné nelineární neredukovatelné skutečné polynomy lichého stupně, musíme L = R, tím pádem [K.:R] a [K.:C] jsou pravomoci 2. Předpokládejme jako rozpor, že [K.:C]> 1, dospěli jsme k závěru, že 2-skupina Gal (K./C) obsahuje podskupinu indexu 2, takže existuje subextension M z C stupně 2. Nicméně, C nemá rozšíření stupně 2, protože každý kvadratický komplexní polynom má komplexní kořen, jak je uvedeno výše. To ukazuje, že [K.:C] = 1, a proto K. = C, který doplňuje důkaz.

Geometrické důkazy

Existuje ještě další způsob, jak přistupovat k základní teorému o algebře, podle J. M. Almiry a A. Romera: Riemannian geometrický argumenty. Hlavní myšlenkou je dokázat, že existuje nekonstantní polynom p(z) bez nul znamená existenci a plochá Riemannova metrika nad koulí S². To vede k rozporu, protože koule není plochá.

Riemannovský povrch (M, G) se říká, že je plochá, pokud má Gaussovo zakřivení, které označujeme K._G, je identicky null. Nyní, Věta o Gauss-Bonnetovi, když je aplikován na kouli S², tvrdí, že

${ displaystyle int _ { mathbf {S} ^ {2}} K_ {g} = 4 pi,}$

což dokazuje, že koule není plochá.

Předpokládejme to nyní n > 0 a

${ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + cdots + a_ {n} z ^ {n} neq 0}$

pro každé komplexní číslo z. Pojďme definovat

${ displaystyle p ^ {*} (z) = z ^ {n} p left ({ tfrac {1} {z}} right) = a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {n}.}$

Očividně, p *(z) ≠ 0 pro všechny z v C. Zvažte polynom F(z) = p(z)p *(z). Pak F(z) ≠ 0 pro každou z v C. Dále

${ displaystyle f ({ tfrac {1} {w}}) = p left ({ tfrac {1} {w}} right) p ^ {*} left ({ tfrac {1} {w }} right) = w ^ {- 2n} p ^ {*} (w) p (w) = w ^ {- 2n} f (w).}$

Tuto funkční rovnici můžeme použít k tomu, abychom to dokázali G, dána

${ displaystyle g = { frac {1} {| f (w) | ^ { frac {2} {n}}}} , | dw | ^ {2}}$

pro w v C, a

${ displaystyle g = { frac {1} { vlevo | f vlevo ({ tfrac {1} {w}} vpravo) vpravo | ^ { frac {2} {n}}}}} vlevo | d left ({ tfrac {1} {w}} right) right | ^ {2}}$

pro w ∈ S² {0}, je dobře definovaná Riemannova metrika nad koulí S² (kterou identifikujeme s rozšířenou komplexní rovinou C ∪ {∞}).

Nyní to ukazuje jednoduchý výpočet

${ displaystyle forall w in mathbf {C}: qquad { frac {1} {| f (w) | ^ { frac {1} {n}}}} K_ {g} = { frac {1} {n}} Delta log | f (w) | = { frac {1} {n}} Delta { text {Re}} ( log f (w)) = 0,}$

protože skutečná část analytické funkce je harmonická. To dokazuje K._G = 0.

Dodatky

Protože základní teorém algebry lze považovat za tvrzení, že pole komplexních čísel je algebraicky uzavřeno, z toho vyplývá, že jakákoli věta o algebraicky uzavřených polích platí pro pole komplexních čísel. Zde je několik dalších důsledků věty, které se týkají buď pole reálných čísel, nebo vztahu mezi polem reálných čísel a polem komplexních čísel:

• Pole komplexních čísel je algebraické uzavření pole reálných čísel.

• Každý polynom v jedné proměnné z se složitými koeficienty je produktem komplexní konstanty a polynomů formy z + A s A komplex.

• Každý polynom v jedné proměnné X se skutečnými koeficienty lze jednoznačně zapsat jako produkt konstanty polynomů formy X + A s A reálné a polynomy formy X² + sekera + b s A a b skutečné a A² − 4b <0 (což je to samé jako říkat, že polynom X² + sekera + b nemá žádné skutečné kořeny). (Podle Abel – Ruffiniho věta skutečná čísla A a b nejsou nutně vyjádřitelné z hlediska koeficientů polynomu, základních aritmetických operací a extrakce nTo znamená, že počet nerealistických komplexních kořenů je vždy sudý a zůstává, i když se počítá s jejich multiplicitou.

• Každý racionální funkce v jedné proměnné X, se skutečnými koeficienty, lze zapsat jako součet polynomiální funkce s racionálními funkcemi formy A/(X − b)ⁿ (kde n je přirozené číslo a A a b jsou reálná čísla) a racionální funkce formuláře (sekera + b)/(X² + cx + d)ⁿ (kde n je přirozené číslo a A, b, C, a d jsou reálná čísla taková C² − 4d <0). A důsledek z toho je, že každá racionální funkce v jedné proměnné a reálných koeficientech má základní primitivní.

• Každý algebraické rozšíření reálného pole je izomorfní buď se skutečným polem, nebo se komplexním polem.

Hranice na nulách polynomu

Zatímco základní věta o algebře uvádí obecný výsledek existence, je zajímavé, jak z teoretického, tak z praktického hlediska, mít informace o umístění nul daného polynomu. Jednodušší výsledek v tomto směru je vázán na modul: všechny nuly ic monického polynomu ${ displaystyle z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {1} z + a_ {0}}$ uspokojit nerovnost | ζ | ≤ R_∞, kde

${ displaystyle R _ { infty}: = 1+ max {| a_ {0} |, ldots, | a_ {n-1} | }.}$

Všimněte si, že, jak již bylo uvedeno, ještě nejde o výsledek existence, ale spíše o příklad toho, co se nazývá an a priori vázaný: to říká pokud existují řešení pak leží uvnitř uzavřeného disku středu původu a poloměru R_∞. Jakmile je však ve spojení se základní větou algebry, říká se, že disk obsahuje ve skutečnosti alespoň jedno řešení. Obecněji lze vazbu uvést přímo, pokud jde o jakoukoli p-norma z n-vektor koeficientů ${ displaystyle a: = (a_ {0}, a_ {1}, ldots, a_ {n-1}),}$ to je | ζ | ≤ R_p, kde R_p je přesně to q-norm 2-vektoru ${ displaystyle (1, | a | _ {p}),}$ q je konjugovaným exponentem p, ${ displaystyle { tfrac {1} {p}} + { tfrac {1} {q}} = 1,}$ pro jakoukoli 1 ≤ p ≤ ∞. Modul jakéhokoli řešení je tedy také ohraničen

${ displaystyle R_ {1}: = max left {1, sum _ {0 leq k$

${ displaystyle R_ {p}: = left [1+ left ( sum _ {0 leq k$

pro 1 < p <∞, a zejména

${ displaystyle R_ {2}: = { sqrt { sum _ {0 leq k leq n} | a_ {k} | ^ {2}}}}$

(kde definujeme A_n znamená 1, což je rozumné, protože 1 je skutečně n-tý koeficient našeho polynomu). Případ obecného polynomu stupně n,

${ displaystyle P (z): = a_ {n} z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {1} z + a_ {0},}$

se samozřejmě redukuje na případ monické, vydělením všech koeficientů A_n ≠ 0. Také v případě, že 0 není kořen, tj. A₀ ≠ 0, hranice zdola na kořenech ζ následujte okamžitě, jakmile hranice shora budou ${ displaystyle { tfrac {1} { zeta}}}$, tj. kořeny

${ displaystyle a_ {0} z ^ {n} + a_ {1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {n-1} z + a_ {n}.}$

Nakonec vzdálenost ${ displaystyle | zeta - zeta _ {0} |}$ od kořenů ζ do libovolného bodu ${ displaystyle zeta _ {0}}$ lze odhadnout zdola a shora, vidíme ${ displaystyle zeta - zeta _ {0}}$ jako nuly polynomu ${ displaystyle P (z + zeta _ {0})}$, jehož koeficienty jsou Taylorova expanze z P(z) v ${ displaystyle z = zeta _ {0}.}$

Nechť ζ je kořen polynomu

${ displaystyle z ^ {n} + a_ {n-1} z ^ {n-1} + cdots + a_ {1} z + a_ {0};}$

za účelem prokázání nerovnosti | ζ | ≤ R_p můžeme samozřejmě předpokládat | ζ | > 1. Psaní rovnice jako

${ displaystyle - zeta ^ {n} = a_ {n-1} zeta ^ {n-1} + cdots + a_ {1} zeta + a_ {0},}$

a pomocí Hölderova nerovnost shledáváme

${ displaystyle | zeta | ^ {n} leq | a | _ {p} left | left ( zeta ^ {n-1}, ldots, zeta, 1 right) right | _ {q}.}$

Teď když p = 1, to je

${ displaystyle | zeta | ^ {n} leq | a | _ {1} max vlevo {| zeta | ^ {n-1}, ldots, | zeta |, 1 vpravo } = | a | _ {1} | zeta | ^ {n-1},}$

tím pádem

${ displaystyle | zeta | leq max {1, | a | _ {1} }.}$

V případě 1 < p ≤ ∞, s přihlédnutím k součtovému vzorci pro a geometrický průběh, my máme

${ displaystyle | zeta | ^ {n} leq | a | _ {p} left (| zeta | ^ {q (n-1)} + cdots + | zeta | ^ {q} +1 right) ^ { frac {1} {q}} = | a | _ {p} left ({ frac {| zeta | ^ {qn} -1} {| zeta | ^ {q} -1}} right) ^ { frac {1} {q}} leq | a | _ {p} left ({ frac {| zeta | ^ {qn}} {| zeta | ^ {q} -1}} vpravo) ^ { frac {1} {q}},}$

tím pádem

${ displaystyle | zeta | ^ {nq} leq | a | _ {p} ^ {q} { frac {| zeta | ^ {qn}} {| zeta | ^ {q} -1 }}}$

a zjednodušení,

${ displaystyle | zeta | ^ {q} leq 1+ | a | _ {p} ^ {q}.}$

Proto

${ displaystyle | zeta | leq left | left (1, | a | _ {p} right) right | _ {q} = R_ {p}}$

platí pro všechny 1 ≤ p ≤ ∞.

Viz také

• Weierstrassova faktorizační věta, zobecnění věty na další celé funkce

Reference

Citace

Historické prameny

• Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyzuj Algébrique, Paříž: Éditions Jacques Gabay (publikováno 1992), ISBN  978-2-87647-053-8 (tr. Kurz Analýzy Královská polytechnická akademie, část 1: Algebraická analýza)
• Euler, Leonhard (1751), „Recherches sur les racines imaginaires des équations“, Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlín, 5, s. 222–288. Anglický překlad: Euler, Leonhard (1751), „Vyšetřování imaginárních kořenů rovnic“ (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlín, 5, s. 222–288
• Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam racionální integram unius variabilis in factores reales primi sec secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen (tr. Nový důkaz věty, že každou integrální racionální algebraickou funkci jedné proměnné lze vyřešit na reálné faktory prvního nebo druhého stupně).
• Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, Kapela III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam racionální integram unius variabilis in factores reales primi sec secundi gradus resolvi posse (1799), s. 1–31., str. 1, v Knihy Google - první důkaz.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam racionální integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 prosince), s. 32–56., str. 32, v Knihy Google - druhý důkaz.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), str. 57–64., str. 57, v Knihy Google - třetí důkaz.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), str. 71–103., str. 71, v Knihy Google - čtvrtý důkaz.
• Kneser, Hellmuth (1940), „Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus“, Mathematische Zeitschrift, 46, str. 287–302, doi:10.1007 / BF01181442, ISSN  0025-5874 (Základní věta o algebře a Intuicionismus ).
• Kneser, Martin (1981), „Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra“, Mathematische Zeitschrift, 177 (2), s. 285–287, doi:10.1007 / BF01214206, ISSN  0025-5874 (tr. Rozšíření díla Hellmuth Kneser o základní větě o algebře).
• Ostrowski, Alexander (1920), „Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra“, Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. O prvním a čtvrtém gaussovském důkazu Základní věty o algebře).
• Weierstraß, Karl (1891). „Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen“. Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. str. 1085–1101. (tr. Nový důkaz věty, že každá integrální racionální funkce jedné proměnné může být reprezentována jako produkt lineárních funkcí stejné proměnné).

Nedávná literatura

• Almira, J.M .; Romero, A. (2007), „Ještě další aplikace Gauss-Bonnetovy věty pro sféru“, Bulletin Belgické matematické společnosti, 14, str. 341–342
• Almira, J.M .; Romero, A. (2012), „Některé Riemannovy geometrické důkazy základní věty o algebře“ (PDF), Diferenciální geometrie - dynamické systémy, 14, s. 1–4
• de Oliveira, O.R.B. (2011), „Základní věta o algebře: základní a přímý důkaz“, Matematický zpravodaj, 33 (2), s. 1–2, doi:10.1007 / s00283-011-9199-2
• de Oliveira, O.R.B. (2012), „Základní věta o algebře: ze čtyř základních operací“, Americký matematický měsíčník, 119 (9), s. 753–758, arXiv:1110.0165, doi:10,4169 / amer.math.monthly.119.09.753
• Dobře, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), Základní věta o algebře, Pregraduální texty z matematiky, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94657-3, PAN  1454356
• Gersten, S.M .; Stallings, John R. (1988), „O Gaussově prvním důkazu základní věty o algebře“, Sborník AMS, 103 (1), s. 331–332, doi:10.2307/2047574, ISSN  0002-9939, JSTOR  2047574
• Gilain, Christian (1991), „Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral“, Archiv pro historii přesných věd, 42 (2), s. 91–136, doi:10.1007 / BF00496870, ISSN  0003-9519 (tr. O historii základní věty o algebře: teorie rovnic a integrální počet.)
• Netto, Eugene; Le Vavasseur, Raymond (1916), „Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental“, Meyer, François; Molk, Jules (eds.), Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, sv. 2Éditions Jacques Gabay (publikováno 1992), ISBN  978-2-87647-101-6 (tr. Racionální funkce § 80–88: základní věta).
• Remmert, Reinhold (1991), „The Fundamental Theorem of Algebra“, v Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich (eds.), Čísla, Postgraduální texty z matematiky 123, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97497-2
• Shipman, Joseph (2007), „Zlepšení základní věty o algebře“, Matematický zpravodaj, 29 (4), s. 9–14, doi:10.1007 / BF02986170, ISSN  0343-6993
• Smale, Steve (1981), „Základní věta o algebře a teorii složitosti“, Bulletin (nová řada) Americké matematické společnosti, 4 (1) [3]
• Smith, David Eugene (1959), Zdrojová kniha z matematiky, Doveru, ISBN  978-0-486-64690-9
• Smithies, Frank (2000), „Zapomenutá práce o základní větě algebry“, Poznámky a záznamy Královské společnosti, 54 (3), s. 333–341, doi:10.1098 / rsnr.2000.0116, ISSN  0035-9149
• Taylor, Paul (2. června 2007), Gaussův druhý důkaz základní věty o algebře - anglický překlad druhého Gaussova důkazu.
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, Já (7. vydání), Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-40624-4

externí odkazy

• Algebra, základní věta o na Encyclopaedia of Mathematics
• Základní věta o algebře - sbírka důkazů
• D. J. Velleman: Základní věta o algebře: vizuální přístup, PDF (nepublikovaný papír), vizualizace důkazů d'Alembertových, Gaussových a klikatých čísel
• Od základní věty o algebře po astrofyziku: „Harmonická“ cesta
• Gaussův první důkaz (v latině) v Knihy Google
• Gaussův první důkaz (v latině) v Knihy Google
• Systém Mizar důkaz: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74