Kervaire neměnný - Kervaire invariant

V matematice je Kervaire neměnný je invariant a zarámovaný ${ displaystyle (4k + 2)}$-dimenzionální potrubí to měří, zda může být potrubí chirurgicky přeměněn na kouli. Tento invariant se vyhodnotí na 0, pokud lze potrubí převést na kouli, a 1 jinak. Tento invariant byl pojmenován po Michel Kervaire kdo stavěl na práci Cahit Arf.

Kervairův invariant je definován jako ARF invariantní z zkosená kvadratická forma na střední dimenzi homologická skupina. Lze to považovat za jednoduše spojené kvadratický L-skupina ${ displaystyle L_ {4k + 2}}$, a tedy analogický s ostatními invarianty z L-theory: the podpis, a ${ displaystyle 4k}$-dimenzionální invariant (buď symetrický nebo kvadratický, ${ displaystyle L ^ {4k} cong L_ {4k}}$) a De Rham neměnný, a ${ displaystyle (4k + 1)}$-dimenzionální symetrický neměnný ${ displaystyle L ^ {4k + 1}}$.

V kterékoli dané dimenzi existují pouze dvě možnosti: buď mají všechna potrubí různý Arf – Kervaireův invariant rovný 0, nebo polovina mají Arf – Kervaireův invariant 0 a druhá polovina mají Arf – Kervaireův invariant 1.

The Kervaireův invariantní problém je problém určit, ve kterých dimenzích může být Kervairův invariant nenulový. Pro diferencovatelné potrubí, k tomu může dojít v rozměrech 2, 6, 14, 30, 62 a případně 126 a v žádných dalších rozměrech. Poslední případ kóty 126 zůstává otevřený.

Definice

Kervaireův invariant je ARF invariantní z kvadratická forma určeno rámováním na střední dimenzi ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$- skupina homologie koeficientů

${ displaystyle q colon H_ {2m + 1} (M; mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) do mathbb {Z} / 2 mathbb {Z},}$

a proto se někdy nazývá Arf – Kervaire neměnný. Kvadratická forma (správně, zkosená kvadratická forma ) je kvadratické zpřesnění obvyklého ε-symetrický tvar na středrozměrné homologii (nezarámovaného) sudého rozměru; rámování poskytuje kvadratické vylepšení.

Kvadratická forma q lze definovat algebraickou topologií pomocí funkčního Steenrodovy čtverce, a geometricky prostřednictvím křižovatek ponoření ${ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${ displaystyle to}$ ${ displaystyle M ^ {4m + 2}}$ určeno rámováním nebo trivialitou / netrivialitou běžných svazků vložení ${ displaystyle S ^ {2m + 1}}$${ displaystyle to}$ ${ displaystyle M ^ {4m + 2}}$ (pro ${ displaystyle m neq 0,1,3}$) a mod 2 Hopf invariantní map ${ displaystyle S ^ {4m + 2 + k} až S ^ {2m + 1 + k}}$(pro ${ displaystyle m = 0,1,3}$).

Dějiny

Kervaireův invariant je zevšeobecněním Arfova invariantu orámovaného povrchu (tj. Dvourozměrného potrubí se stabilně bagatelizovaným tangensovým svazkem), který použil Lev Pontryagin v roce 1950 k výpočtu homotopická skupina ${ displaystyle pi _ {n + 2} (S ^ {n}) = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$ map ${ displaystyle S ^ {n + 2}}$ ${ displaystyle to}$ ${ displaystyle S ^ {n}}$ (pro ${ displaystyle n geq 2}$), což je skupina cobordismů ploch zabudovaných do ${ displaystyle S ^ {n + 2}}$ s bagatelizovaným normálním svazkem.

Kervaire (1960) použil svůj invariant pro n = 10 pro konstrukci Kervaire potrubí, 10-dimenzionální PL rozdělovač bez č diferencovatelná struktura, první příklad takového potrubí, tím, že ukazuje, že jeho invariant nezmizí na tomto potrubí PL, ale zmizí na všech hladkých potrubích dimenze 10.

Kervaire a Milnor (1963) počítá skupinu exotické sféry (v dimenzi větší než 4), s jedním krokem výpočtu v závislosti na Kervairově invariantním problému. Konkrétně ukazují, že soubor exotických sfér dimenze n - konkrétně monoid hladkých struktur na standardu n-sphere - je pro skupinu isomorfní ${ displaystyle Theta _ {n}}$ z h-cobordism třídy orientovaných homotopy n- koule. Vypočítávají to jako mapy

${ displaystyle Theta _ {n} / bP_ {n + 1} to pi _ {n} ^ {S} / J, ,}$

kde ${ displaystyle bP_ {n + 1}}$ je cyklická podskupina n- koule, které vázaly a paralelizovatelné potrubí dimenze ${ displaystyle n + 1}$, ${ displaystyle pi _ {n} ^ {S}}$ je nth stabilní homotopická skupina koulí, a J je obraz J-homomorfismus, což je také cyklická skupina. Skupiny ${ displaystyle bP_ {n + 1}}$ a ${ displaystyle J}$ snadno pochopili cyklické faktory, které jsou triviální nebo řádové dva kromě dimenze ${ displaystyle n = 4k + 3}$, v takovém případě jsou velké, s objednávkou související s Bernoulliho čísla. Kvocienty jsou obtížnou částí skupin. Mapa mezi těmito skupinami kvocientů je buď izomorfismus, nebo je injektivní a má obraz indexu 2. Jedná se o druhý index právě tehdy, když existuje n-dimenzionální zarámovaný variet nenulového Kervairova invariantu, a tak klasifikace exotických sfér závisí až na faktor 2 na Kervairově invariantním problému.

Příklady

Pro standardní vestavěné torus, je zkosená symetrická forma dána vztahem ${ displaystyle { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$ (s ohledem na standard symplektický základ ), a zkosení-kvadratické zpřesnění je dáno vztahem ${ displaystyle xy}$ s ohledem na tento základ: ${ displaystyle Q (1,0) = Q (0,1) = 0}$: základní křivky se nespojují; a ${ displaystyle Q (1,1) = 1}$: a (1,1) self-links, jako v Hopfova fibrace. Tato forma tedy má ARF invariantní 0 (většina jeho prvků má normu 0; má index izotropie 1), a tedy standardní vložený torus má Kervaire invariant 0.

Kervaireův invariantní problém

Otázka, v jakých rozměrech n existují n-dimenzionální zarámované varietá nenulového Kervairova invariantu se nazývají Kervaireův invariantní problém. To je možné pouze tehdy, když n je 2 mod 4, a opravdu jeden musí mít n je ve formě ${ displaystyle 2 ^ {k} -2}$ (dva menší než síla dvou). Otázka je téměř úplně vyřešena; od roku 2019^{[Aktualizace]} otevřený je pouze případ dimenze 126: existují rozdělovače s nenulovou Kervaire invariantní v dimenzi 2, 6, 14, 30, 62 a žádná ve všech ostatních dimenzích kromě případné 126.

Hlavními výsledky jsou výsledky William Browder  (1969 ), který problém snížil z diferenciální topologie na stabilní homotopická teorie a ukázal, že jediné možné rozměry jsou ${ displaystyle 2 ^ {k} -2}$, a ti Michael A. Hill, Michael J. Hopkins a Douglas C. Ravenel (2016 ), který ukázal, že pro taková potrubí neexistují ${ displaystyle k geq 8}$ (${ displaystyle n geq 254}$). Spolu s explicitními konstrukcemi pro nižší dimenze (až 62) to ponechává otevřenou pouze dimenzi 126.

Bylo to domněnkou Michael Atiyah že existuje takové potrubí v dimenzi 126 a že vícerozměrné potrubí s nenulovou Kervairovou invariantou souvisí se známými exotickými potrubími o dva rozměry vyšší, v dimenzích 16, 32, 64 a 128, konkrétně Cayley projektivní letadlo ${ displaystyle mathbf {O} P ^ {2}}$ (dimenze 16, oktonionová projektivní rovina) a analogická Rosenfeldova projektivní letadla (bi-oktonionová projektivní rovina v dimenzi 32, kvateroktokonová projektivní rovina v dimenzi 64 a okto-oktonionová projektivní rovina v dimenzi 128), konkrétně že existuje konstrukce, která vezme tyto projektivní roviny a vytvoří potrubí s nenulovou Kervairovou invariantou ve dvou dimenzích níže.^[1]

Dějiny

• Kervaire (1960) dokázal, že Kervairův invariant je nulový pro potrubí o rozměrech 10, 18
• Kervaire a Milnor (1963) prokázal, že Kervairův invariant může být nenulový pro potrubí o rozměrech 6, 14
• Anderson, Brown & Peterson (1966) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFAndersonBrownPeterson1966 (Pomoc) dokázal, že Kervairův invariant je nulový pro různá potrubí dimenze 8n+2 pro n>1
• Mahowald & Tangora (1967) dokázal, že Kervairův invariant může být nenulový pro potrubí o dimenzi 30
• Browder (1969) dokázal, že Kervairův invariant je nulový pro různá dimenze n není ve formě 2^k − 2.
• Barratt, Jones & Mahowald (1984) ukázal, že Kervairův invariant je nenulový pro nějakou varietu dimenze 62. Alternativní důkaz poskytl později Xu (2016).
• Hill, Hopkins & Ravenel (2016) ukázal, že Kervairův invariant je nula n-dimenzionální zarámované potrubí pro n = 2^k- 2 s k ≥ 8. Vytvořili teorii cohomologie Ω s následujícími vlastnostmi, z nichž jejich výsledek bezprostředně vyplývá:
  • Skupiny koeficientů Ωⁿ(bod) mít období 2⁸ = 256 palců n
  • Skupiny koeficientů Ωⁿ(bod) mají „mezeru“: zmizí pro n = -1, -2 a -3
  • Skupiny koeficientů Ωⁿ(bod) dokáže detekovat nemizející Kervairovy invarianty: přesněji, pokud je Kervairův invariant pro různá dimenze n je nenulová, pak má nenulový obraz v Ω⁻ⁿ(směřovat)

Kervaire – Milnor invariantní

The Kervaire – Milnor invariant je blízce příbuzný invariant zarámované operace 2, 6 nebo 14-rozměrného zarámovaného potrubí, který dává izomorfismy z 2. a 6. stabilní homotopická skupina koulí na ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$a homomorfismus ze 14. stabilní homotopické skupiny koulí na ${ displaystyle mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$. Pro n = 2, 6, 14 je zde exotické rámování ${ displaystyle S ^ {n / 2} krát S ^ {n / 2}}$ s Kervaire – Milnorovým invariantem 1.

Viz také

• Podpis, 4k-rozměrný invariant
• De Rham neměnný (a (4k + 1) -dimenzionální invariant

Reference

externí odkazy

• Prezentace a video z přednášky Hopkinse v Edinburghu, 21. dubna 2009
• Domovská stránka Arf-Kervaire Doug Ravenel
• Harvard-MIT Summer Seminar on the Kervaire Invariant
• „Kervaire Invariant Jeden problém“ vyřešen, 23. dubna 2009, příspěvek na blogu Johna Baeza a diskuse, The n-Category Café
• Exotické koule v atlasu potrubí

Populární zprávy

• Hypersphere Exotica: Kervaire Invariant Problém má řešení! 45letý problém ve sférách vyšších dimenzí je pravděpodobně vyřešen, autor: Davide Castelvecchi, srpen 2009 Scientific American
• Ball, Philip (2009). "Skrytá hádanka tvarů vyřešena". Příroda. doi:10.1038 / novinky.2009.427.
• Matematici řeší 45letou invariantní hádanku Kervaire, Erica Klarreich, 20. července 2009