Paralelizovatelné potrubí - Parallelizable manifold

v matematika, diferencovatelné potrubí ${ displaystyle M}$ dimenze n je nazýván paralelizovatelný^[1] pokud existují hladký vektorová pole

{ displaystyle {V_ {1}, tečky, V_ {n} }}

na potrubí tak, aby v každém bodě ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle M}$ the tečné vektory

{ displaystyle {V_ {1} (p), tečky, V_ {n} (p) }}

poskytnout a základ z tečný prostor v ${ displaystyle p}$ . Ekvivalentně tečný svazek je triviální svazek,^[2] tak, aby související hlavní balíček z lineární rámy má globální sekci o ${ displaystyle M.}$

Zvláštní volba takového základu vektorových polí na ${ displaystyle M}$ se nazývá a paralelizace (nebo absolutní paralelismus) z ${ displaystyle M}$ .

Příklady

Příklad s n = 1 je kruh: můžeme vzít PROTI₁ být jednotkovým tečným vektorovým polem, řekněme směřujícím proti směru hodinových ručiček. The torus dimenze n je také paralelizovatelný, jak je patrné z jeho vyjádření jako kartézský součin kruhů. Například vezměte n = 2 a sestrojte torus ze čtverce milimetrový papír s protilehlými hranami slepenými dohromady, abyste získali představu o dvou směrech tečny v každém bodě. Obecněji, každý Lež skupina G je paralelizovatelný, protože základ pro tečný prostor v prvek identity lze přesouvat akcí skupiny překladu z G na G (každý překlad je difeomorfismus, a proto tyto překlady indukují lineární izomorfismy mezi tečnými prostory bodů v G).
Klasickým problémem bylo určit, který z nich koule Sⁿ jsou paralelizovatelné. Nulový rozměr S⁰ je triviálně paralelizovatelný. Pouzdro S¹ je kruh, který je paralelizovatelný, jak již bylo vysvětleno. The teorém o chlupaté kouli ukázat to S² není paralelizovatelný. nicméně S³ je paralelizovatelný, protože jde o Lieovu skupinu SU (2). Jedinou další paralelizovatelnou sférou je S⁷; toto bylo prokázáno v roce 1958 autorem Michel Kervaire, a tím Raoul Bott a John Milnor, v samostatné práci. Paralelizovatelné sféry přesně odpovídají prvkům jednotkové normy v normované dělení algebry reálných čísel, komplexních čísel, čtveřice, a octonions, což umožňuje jednomu postavit pro každý paralelismus. Dokázat, že jiné sféry nejsou paralelizovatelné, je obtížnější a vyžaduje algebraická topologie.
Produkt paralelizovatelného rozdělovače je paralelizovatelný.
Každý orientovatelný trojrozměrné potrubí je paralelizovatelný.

Poznámky

Jakékoli paralelizovatelné potrubí je orientovatelný.
Termín zarámované potrubí (občas zmanipulované potrubí) se nejčastěji aplikuje na vložené potrubí s danou trivializací normální svazek, a také pro abstraktní (tj. nevložené) potrubí s danou stabilní trivializací tečný svazek.
Příbuzným pojmem je koncept a π-potrubí^[3]. Hladké potrubí M se nazývá π-potrubí, pokud je jeho normální svazek triviální, když je vložen do vysoce dimenzionálního euklidovského prostoru. Zejména každé paralelizovatelné potrubí je potrubí π.

Viz také

Poznámky

^ Bishop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích, New York: Macmillan, str. 160
^ Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Charakteristické třídy, Annals of Mathematics Studies, 76, Princeton University Press, s. 15, ISBN 0-691-08122-0
^ Milnor, John W. (1958), Diferencovatelné potrubí, které jsou homotopy (PDF)

Reference

Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
Milnor, John W.; Stasheff, James D. (1974), Charakteristické třídy, Princeton University Press
Milnor, John W. (1958), Diferencovatelné rozdělovače, které jsou homotopy (PDF), mimeografické poznámky

[1] Bishop, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích, New York: Macmillan, str. 160

[2] Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), Charakteristické třídy, Annals of Mathematics Studies, 76, Princeton University Press, s. 15, ISBN 0-691-08122-0

[3] Milnor, John W. (1958), Diferencovatelné potrubí, které jsou homotopy (PDF)

[1]

[2]

[3]