J-homomorfismus - J-homomorphism
v matematika, J-homomorfismus je mapování z homotopické skupiny z speciální ortogonální skupiny do homotopické skupiny koulí. To bylo definováno George W. Whitehead (1942 ), rozšiřující stavbu Heinz Hopf (1935 ).
Definice
Whiteheadův původní homomorfismus je definován geometricky a dává homomorfismus
abelianských skupin pro celá čísla q, a . (Hopf to definoval pro zvláštní případ .)
The J-homomorfismus lze definovat následovně. Prvek speciální ortogonální skupiny SO (q) lze považovat za mapu
a skupina homotopy ) skládá se z homotopy třídy map z r- koule SO (q) .Takže prvek lze znázornit mapou
Uplatnění Hopfova konstrukce k tomu dává mapu
v , který Whitehead definoval jako obraz prvku pod J-homomorfismem.
Vezmeme-li limit jako q inklinuje k nekonečnu dává stáj J-homomorfismus v stabilní homotopická teorie:
kde SO je nekonečno speciální ortogonální skupina a pravá strana je r-th stabilní stopka z stabilní homotopické skupiny koulí.
Obrázek J-homomorfismu
Obraz J-homomorfismus popsal Frank Adams (1966 ), za předpokladu, že Adamsova domněnka z Adams (1963) což bylo prokázáno Daniel Quillen (1971 ), jak následuje. Skupina darováno Bottova periodicita. Je to vždy cyklické; a pokud r je kladný, je řádu 2, pokud r je 0 nebo 1 mod 8, nekonečný pokud r je 3 mod 4, a jinak 1 (Switzer 1975, str. 488). Zejména obraz stáje J-homomorfismus je cyklický. Stabilní homotopické skupiny jsou přímým součtem (cyklického) obrazu J-homomorfismus a jádro Adamsova e-invariantu (Adams 1966 ), homomorfismus ze stabilních homotopy skupin do . Pořadí obrázku je 2, pokud r je 0 nebo 1 mod 8 a pozitivní (v tomto případě tedy J-homomorfismus je injekční). Li je 3 mod 4 a pozitivní je obraz cyklickou skupinou řádu rovnou jmenovateli , kde je Bernoulliho číslo. Ve zbývajících případech, kdy r je 2, 4, 5 nebo 6 mod 8, obraz je triviální, protože je triviální.
r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 πr(TAK) 1 2 1 Z 1 1 1 Z 2 2 1 Z 1 1 1 Z 2 2 | im (J)| 1 2 1 24 1 1 1 240 2 2 1 504 1 1 1 480 2 2 πrS Z 2 2 24 1 1 2 240 22 23 6 504 1 3 22 480×2 22 24 B2n 1⁄6 −1⁄30 1⁄42 −1⁄30
Aplikace
Atiyah (1961) představil skupinu J(X) mezery X, který pro X koule je obrazem J-homomorfismus ve vhodné dimenzi.
The koksovna z J-homomorfismus se objevuje ve skupině exotické sféry (Kosinski (1992) ).
Reference
- Atiyah, Michael Francis (1961), "Thom komplexy", Proceedings of the London Mathematical Society Třetí série, 11: 291–310, doi:10.1112 / plms / s3-11.1.291, PAN 0131880
- Adams, J. F. (1963), „O skupinách J (X) I“, Topologie, 2 (3): 181, doi:10.1016/0040-9383(63)90001-6
- Adams, J. F. (1965a), „O skupinách J (X) II“, Topologie, 3 (2): 137, doi:10.1016/0040-9383(65)90040-6
- Adams, J. F. (1965b), „O skupinách J (X) III“, Topologie, 3 (3): 193, doi:10.1016/0040-9383(65)90054-6
- Adams, J. F. (1966), „O skupinách J (X) IV“, Topologie, 5: 21, doi:10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Oprava", Topologie, 7 (3): 331, 1968, doi:10.1016/0040-9383(68)90010-4
- Hopf, Heinz (1935), „Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension“, Fundamenta Mathematicae, 25: 427–440
- Kosinski, Antoni A. (1992), Rozdělovací potrubí, San Diego, CA: Akademický tisk, str.195ff, ISBN 0-12-421850-4
- Milnor, John W. (2011), „Diferenciální topologie o čtyřicet šest let později“ (PDF), Oznámení Americké matematické společnosti, 58 (6): 804–809
- Quillen, Daniel (1971), „Adamsova domněnka“, Topologie, 10: 67–80, doi:10.1016/0040-9383(71)90018-8, PAN 0279804
- Switzer, Robert M. (1975), Algebraická topologie - homotopie a homologie, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-06758-2
- Whitehead, George W. (1942), „O homotopických skupinách sfér a rotačních skupin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 43 (4): 634–640, doi:10.2307/1968956, JSTOR 1968956, PAN 0007107
- Whitehead, George W. (1978), Základy teorie homotopy, Berlín: Springer, ISBN 0-387-90336-4, PAN 0516508