Komplexní cobordism - Complex cobordism

V matematice komplexní cobordism je zobecněná teorie cohomologie související s cobordism z rozdělovače. Své spektrum je označen MU. Je to mimořádně silný kohomologie teorie, ale může být docela těžké ji spočítat, takže místo přímého použití se často používají některé mírně slabší teorie z ní odvozené, například Brown – Petersonova kohomologie nebo Morava K-teorie, které se snadněji počítají.

Zobecněné homologické a kohomologické komplexní teorie cobordismu byly zavedeny Michael Atiyah  (1961 ) za použití Thomovo spektrum.

Spektrum komplexního cobordismu

Složitý bordismus ${ displaystyle MU ^ {*} (X)}$ prostoru ${ displaystyle X}$ je zhruba skupina tříd bordismu různých druhů ${ displaystyle X}$ se složitou lineární strukturou na stáji normální svazek. Složitý bordismus je zobecněný teorie homologie, odpovídající spektru MU, které lze explicitně popsat pomocí Thomovy prostory jak následuje.

Prostor ${ displaystyle MU (n)}$ je Thomův prostor univerzálního ${ displaystyle n}$- svazek letadla přes třídicí prostor ${ displaystyle BU (n)}$ z jednotná skupina ${ displaystyle U (n)}$. Přirozené začlenění z ${ displaystyle U (n)}$ do ${ displaystyle U (n + 1)}$ vyvolá mapu z dvojitého suspenze ${ displaystyle Sigma ^ {2} MU (n)}$ na ${ displaystyle MU (n + 1)}$. Společně tyto mapy dávají spektrum ${ displaystyle MU}$; jmenovitě je to homotopy colimit z ${ displaystyle MU (n)}$.

Příklady: ${ displaystyle MU (0)}$ je sférické spektrum. ${ displaystyle MU (1)}$ je desuspension ${ displaystyle Sigma ^ { infty -2} mathbb {CP} ^ { infty}}$ z ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$.

The teorém o nilpotenci uvádí, že pro všechny kruhové spektrum ${ displaystyle R}$, jádro ${ displaystyle pi _ {*} R na operatorname {MU} _ {*} (R)}$ sestává z nilpotentních prvků.^[1] Z věty vyplývá zejména, že pokud ${ displaystyle mathbb {S}}$ je sférické spektrum, tedy pro libovolné ${ displaystyle n> 0}$, každý prvek ${ displaystyle pi _ {n} mathbb {S}}$ je nilpotentní (věta o Goro Nishida ). (Důkaz: pokud ${ displaystyle x}$ je v ${ displaystyle pi _ {n} S}$, pak ${ displaystyle x}$ je torze, ale její obraz v ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} ( mathbb {S}) simeq L}$, Lazardův prsten, nelze od té doby krutit ${ displaystyle L}$ je polynomiální kruh. Tím pádem, ${ displaystyle x}$ musí být v jádře.)

Formální zákony skupiny

John Milnor  (1960 ) a Sergej Novikov  (1960, 1962 ) ukázal, že koeficient kroužek ${ displaystyle pi _ {*} ( operatorname {MU})}$ (rovnající se složitému cobordismu bodu nebo ekvivalentně kruhu tříd cobordismu stabilně složitých variet) je polynomiální kruh ${ displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots]}$ na nekonečně mnoha generátorech ${ displaystyle x_ {i} in pi _ {2i} ( operatorname {MU})}$ kladných sudých stupňů.

Psát si ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty}}$ pro nekonečný rozměr složitý projektivní prostor, což je klasifikační prostor pro složité svazky řádků, takže tenzorový součet svazků řádků vyvolává mapu ${ displaystyle mu: mathbb {CP} ^ { infty} times mathbb {CP} ^ { infty} do mathbb {CP} ^ { infty}.}$ A komplexní orientace na asociativní komutativní kruhové spektrum E je prvek X v ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {CP} ^ { infty})}$ jehož omezení na ${ displaystyle E ^ {2} ( mathbb {CP} ^ {1})}$ je 1, pokud je druhý kruh identifikován s koeficientem kruhu z E. Spektrum E s takovým prvkem X se nazývá a komplexně orientované prstencové spektrum.

Li E je tedy komplexně orientované kruhové spektrum

${ displaystyle E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) = E ^ {*} ({ text {point}}) [[x]]}$

${ displaystyle E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) krát E ^ {*} ( mathbb {CP} ^ { infty}) = E ^ {*} ({ text { bod}}) [[x otimes 1,1 otimes x]]}}$

a ${ displaystyle mu ^ {*} (x) v E ^ {*} ({ text {point}}) [[x otimes 1,1 otimes x]]}$ je formální zákon o skupině přes prsten ${ displaystyle E ^ {*} ({ text {point}}) = pi ^ {*} (E)}$.

Komplexní cobordism má přirozenou komplexní orientaci. Daniel Quillen  (1969 ) ukázal, že existuje přirozený izomorfismus od kruhu koeficientů po Lazardův univerzální prsten, čímž se formální zákon o skupině komplexního cobordismu stal univerzálním formálním zákonem o skupině. Jinými slovy, pro jakýkoli formální zákon o skupině F přes jakýkoli komutativní kruh R, existuje jedinečný kruhový homomorfismus z MU^*(ukázat na R takhle F je návrat k formálnímu zákonu o skupině komplexního cobordismu.

Brown – Petersonova kohomologie

Složitý cobordismus nad racionálními rovinami lze redukovat na obyčejnou cohomologii nad racionálními, takže hlavním zájmem je torze komplexního cobordismu. Často je jednodušší studovat kroucení jeden prime po druhém lokalizací MU na prime str; zhruba to znamená, že člověk zabije torzní prime str. Lokalizace MU_str MU v nejlepších letech str rozdělí se jako součet suspenzí jednodušší teorie cohomologie zvané Brown – Petersonova kohomologie, poprvé popsal Brown & Peterson (1966). V praxi se často provádí výpočty spíše pomocí Brown – Petersonovy kohomologie než pomocí komplexního cobordismu. Znalost Brown – Petersonových kohomologií prostoru pro všechna prvočísla str je zhruba ekvivalentní znalostem jeho komplexního cobordismu.

Třídy Conner – Floyd

Prsten ${ displaystyle operatorname {MU} ^ {*} (BU)}$ je izomorfní formálnímu kruhu mocninných řad ${ displaystyle operatorname {MU} ^ {*} ({ text {point}}) [[cf_ {1}, cf_ {2}, ldots]]}$ kde se prvky cf nazývají třídy Conner – Floyd. Jsou to analogie Chernových tříd pro komplexní cobordismus. Byly představeny Conner & Floyd (1966).

Podobně ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} (BU)}$ je izomorfní k polynomickému kruhu ${ displaystyle operatorname {MU} _ {*} ({ text {point}}) [[ beta _ {1}, beta _ {2}, ldots]]}$

Kohomologické operace

Hopfova algebra MU_*(MU) je izomorfní s polynomiální algebrou R [b₁, b₂, ...], kde R je redukovaný bordistický kruh 0-koule.

Koprodukt je dán

${ displaystyle psi (b_ {k}) = součet _ {i + j = k} (b) _ {2i} ^ {j + 1} další b_ {j}}$

kde notace ()_2i znamená vzít část stupně 2i. To lze interpretovat následovně. Mapa

${ displaystyle x až x + b_ {1} x ^ {2} + b_ {2} x ^ {3} + cdots}$

je kontinuální automorfismus okruhu formálních výkonových řad v Xa koprodukt MU_*(MU) dává složení dvou takových automorfismů.

Viz také

• Adams – Novikovova spektrální sekvence
• Seznam kohomologických teorií
• Algebraický cobordism

Poznámky

Reference

• Adams, J. Frank (1974), Stabilní homotopy a generalizovaná homologie, University of Chicago Press, ISBN  978-0-226-00524-9
• Atiyah, Michael Francis (1961), „Bordismus a cobordism“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57 (2): 200–208, Bibcode:1961PCPS ... 57..200A, doi:10.1017 / S0305004100035064, PAN  0126856
• Brown, Edgar H., Jr.; Peterson, Franklin P. (1966), „Spektrum jehož ${ displaystyle mathbb {Z} _ {p}}$ cohomologie je algebra redukované str^th pravomoci ", Topologie, 5 (2): 149–154, doi:10.1016/0040-9383(66)90015-2, PAN  0192494.
• Conner, Pierre E.; Floyd, Edwin E. (1966), Vztah cobordismu k K-teoriímPřednášky z matematiky, 28, Berlín-New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0071091, ISBN  978-3-540-03610-4, PAN  0216511
• Milnor, Johne (1960), „Na kruhu cobordismu ${ displaystyle Omega _ {*}}$ a komplexní analog, část I ", American Journal of Mathematics, 82 (3): 505–521, doi:10.2307/2372970, JSTOR  2372970
• Morava, Jacku (2007). "Komplexní cobordism a algebraická topologie". arXiv:0707.3216 [matematika ].
• Novikov, Sergej P. (1960), „Some problems in the topology of manifolds related with the theory of Thom spaces“, Sovětská matematika. Dokl., 1: 717–720. Překlad „О некоторых задачах топологии многообразий, связанных с теорией пространств Тома“, Doklady Akademii Nauk SSSR, 132 (5): 1031–1034, PAN  0121815, Zbl  0094.35902.
• Novikov, Sergej P. (1962), "Homotopické vlastnosti Thomových komplexů. (Rusky)", Rohož. Sb. (N.S.), 57: 407–442, PAN  0157381
• Quillen, Daniel (1969), „K formálním skupinovým zákonům neorientované a komplexní teorie cobordismu“, Bulletin of the American Mathematical Society, 75 (6): 1293–1298, doi:10.1090 / S0002-9904-1969-12401-8, PAN  0253350.
• Ravenel, Douglas C. (1980), „Komplexní cobordismus a jeho aplikace v teorii homotopy“, Sborník příspěvků z mezinárodního kongresu matematiků (Helsinky, 1978), 1, Helsinky: Acad. Sci. Fennica, str. 491–496, ISBN  978-951-41-0352-0, PAN  0562646
• Ravenel, Douglas C. (1988), „Komplexní teorie cobordismu pro teoretiky čísel“, Eliptické křivky a modulární formy v algebraické topologiiPřednášky z matematiky, 1326, Berlín / Heidelberg: Springer, s. 123–133, doi:10.1007 / BFb0078042, ISBN  978-3-540-19490-3, ISSN  1617-9692
• Ravenel, Douglas C. (2003), Komplexní cobordismus a stabilní homotopické skupiny koulí (2. vyd.), AMS Chelsea, ISBN  978-0-8218-2967-7, PAN  0860042
• Rudyak, Yuli B. (2001) [1994], „Kobordismus“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Stong, Robert E. (1968), Poznámky k teorii cobordism, Princeton University Press
• Thom, René (1954), „Quelques propriétés globales des variétés différentiables“, Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007 / BF02566923, PAN  0061823

externí odkazy

• Složitý bordismus v atlasu potrubí
• cobordism teorie cohomologie v nLab