Věta Barratt – Priddy - Barratt–Priddy theorem

v teorie homotopy, pobočka matematika, Věta Barratt – Priddy (označovaný také jako Věta Barratt – Priddy – Quillen) vyjadřuje souvislost mezi homologií symetrické skupiny a mapování prostorů koulí. Věta (pojmenovaná podle Michaela Barratta, Stewarta Priddyho a Daniel Quillen ) je také často uváděn jako vztah mezi sférické spektrum a klasifikace mezer symetrických skupin přes Quillenovu plus konstrukce.

Výrok věty

Mapovací prostor ${ displaystyle operatorname {Map} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n})}$ je topologický prostor všech spojitých map ${ displaystyle f colon S ^ {n} až S ^ {n}}$ z n-dimenzionální koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ pro sebe, podle topologie jednotná konvergence (zvláštní případ kompaktně otevřená topologie ). Tyto mapy jsou nutné k opravě základního bodu ${ displaystyle x v S ^ {n}}$, uspokojující ${ displaystyle f (x) = x}$, a mít stupeň 0; to zaručuje, že mapovací prostor je připojeno. Věta Barratt-Priddy vyjadřuje vztah mezi homologií těchto mapovacích prostorů a homologií symetrické skupiny ${ displaystyle Sigma _ {n}}$.

Vyplývá to z Freudenthalova věta o suspenzi a Hurewiczova věta že kth homologie ${ displaystyle H_ {k} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n}))}$ tohoto mapovacího prostoru je nezávislý dimenze n, tak dlouho jak ${ displaystyle n> k}$. Podobně Minoru Nakaoka (1960 ) dokázal, že kth skupinová homologie ${ displaystyle H_ {k} ( Sigma _ {n})}$ symetrické skupiny ${ displaystyle Sigma _ {n}}$ na n prvků je nezávislý na n, tak dlouho jak ${ displaystyle n geq 2k}$. Toto je příklad homologická stabilita.

Věta Barratt-Priddy uvádí, že tyto „stabilní homologické skupiny“ jsou stejné: pro ${ displaystyle n geq 2k}$, existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle H_ {k} ( Sigma _ {n}) cong H_ {k} ({ text {Map}} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n})).}$

Tento izomorfismus platí s integrálními koeficienty (ve skutečnosti s jakýmikoli koeficienty, jak je uvedeno v níže uvedené formulaci).

Příklad: první homologie

Tento izomorfismus lze jasně vidět u první homologie ${ displaystyle H_ {1}}$. The první homologie skupiny je největší komutativní kvocient této skupiny. Pro permutační skupiny ${ displaystyle Sigma _ {n}}$, jediný komutativní kvocient je dán znamení permutace, přičemž hodnoty v {−1, 1}. To ukazuje ${ displaystyle H_ {1} ( Sigma _ {n}) cong mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$, cyklická skupina objednávky 2, pro všechny ${ displaystyle n geq 2}$. (Pro ${ displaystyle n = 1}$, ${ displaystyle Sigma _ {1}}$ je triviální skupina, takže ${ displaystyle H_ {1} ( Sigma _ {1}) = 0}$.)

Vyplývá to z teorie pokrývající prostory že mapovací prostor ${ displaystyle operatorname {Map} _ {0} (S ^ {1}, S ^ {1})}$ kruhu ${ displaystyle S ^ {1}}$ je smluvní, tak${ displaystyle H_ {1} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {1}, S ^ {1})) = 0}$. Pro 2-koule ${ displaystyle S ^ {2}}$, první homotopická skupina a první homologická skupina mapovacího prostoru jsou obě nekonečné cyklické:

${ displaystyle pi _ {1} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {2}, S ^ {2})) = H_ {1} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {2}, S ^ {2})) cong mathbb {Z}}$.

Generátor pro tuto skupinu lze sestavit z Hopfova fibrace ${ displaystyle S ^ {3} až S ^ {2}}$. Konečně jednou ${ displaystyle n geq 3}$, oba jsou cyklicky řádu 2:

${ displaystyle pi _ {1} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n})) = H_ {1} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n})) cong mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}}$.

Reformulace věty

Nekonečná symetrická skupina ${ displaystyle Sigma _ { infty}}$ je spojení konečných symetrické skupiny ${ displaystyle Sigma _ {n}}$a Nakaokova věta naznačuje, že skupinová homologie ${ displaystyle Sigma _ { infty}}$ je stabilní homologie ${ displaystyle Sigma _ {n}}$: pro ${ displaystyle n geq 2k}$,

${ displaystyle H_ {k} ( Sigma _ { infty}) cong H_ {k} ( Sigma _ {n})}$.

The třídicí prostor této skupiny je označeno ${ displaystyle B Sigma _ { infty}}$a jeho homologie tohoto prostoru je skupinová homologie ${ displaystyle Sigma _ { infty}}$:

${ displaystyle H_ {k} (B Sigma _ { infty}) cong H_ {k} ( Sigma _ { infty})}$.

Podobně označujeme ${ displaystyle operatorname {Map} _ {0} (S ^ { infty}, S ^ { infty})}$ spojení mapovacích prostorů ${ displaystyle operatorname {Map} _ {0} (S ^ {n}, S ^ {n})}$ pod inkluzí vyvolaných suspenze. Homologie ${ displaystyle operatorname {Map} _ {0} (S ^ { infty}, S ^ { infty})}$ je stabilní homologie předchozích mapovacích prostorů: pro ${ displaystyle n> k}$,

${ displaystyle H_ {k} ( operatorname {Map} _ {0} (S ^ { infty}, S ^ { infty})) cong H_ {k} ( operatorname {Map} _ {0} ( S ^ {n}, S ^ {n})).}$

K dispozici je přirozená mapa ${ displaystyle varphi tlusté střevo B Sigma _ { infty} to operatorname {Map} _ {0} (S ^ { infty}, S ^ { infty})}$; jedním ze způsobů, jak vytvořit tuto mapu, je model ${ displaystyle B Sigma _ { infty}}$ jako prostor konečných podmnožin ${ displaystyle mathbb {R} ^ { infty}}$ obdařen vhodnou topologií. Ekvivalentní formulace věty Barratt – Priddy je taková ${ displaystyle varphi}$ je homologie ekvivalence (nebo acyklická mapa), znamenající, že ${ displaystyle varphi}$ indukuje izomorfismus na všech homologických skupinách s jakýmkoli systémem lokálních koeficientů.

Vztah s konstrukcí Quillen plus

Věta Barratt-Priddy naznačuje, že prostor BΣ_∞⁺ vyplývající z aplikace Quillen's plus konstrukce na BΣ_∞ lze identifikovat pomocí Mapa₀(S^∞,S^∞). (Od té doby π₁(Mapa₀(S^∞,S^∞))≅H₁(Σ_∞)≅Z/2Z, mapa φ: BΣ_∞→ Mapa₀(S^∞,S^∞) uspokojuje univerzální vlastnost konstrukce plus, jakmile je známo, že φ je rovnocennost homologie.)

Mapovací prostory Mapa₀(Sⁿ,Sⁿ) jsou běžněji označovány Ωⁿ₀Sⁿ, kde ΩⁿSⁿ je n-složit prostor smyčky z n-koule Sⁿa podobně Mapa₀(S^∞,S^∞) je označen Ω^∞₀S^∞. Barrattova-Priddyho věta tedy může být také uvedena jako

${ displaystyle B Sigma _ { infty} ^ {+} simeq Omega _ {0} ^ { infty} S ^ { infty}}$ nebo

${ displaystyle { textbf {Z}} krát B Sigma _ { infty} ^ {+} simeq Omega ^ { infty} S ^ { infty}}$

Zejména homotopy skupiny BΣ_∞⁺ jsou stabilní homotopické skupiny koulí:

${ displaystyle pi _ {i} (B Sigma _ { infty} ^ {+}) cong pi _ {i} ( Omega ^ { infty} S ^ { infty}) cong lim _ {n rightarrow infty} pi _ {n + i} (S ^ {n}) = pi _ {i} ^ {s}}$

"K.-teorie F₁"

Věta Barratt-Priddy je někdy hovorově přeformulována tak, že říká „ K.-skupiny F₁ jsou stabilní homotopické skupiny sfér. “Nejedná se o smysluplný matematický výrok, ale o metaforu vyjadřující analogii s algebraický K.-teorie.

„pole s jedním prvkem " F₁ není matematický objekt; odkazuje na soubor analogií mezi algebrou a kombinatorikou. Jednou ústřední analogií je myšlenka GL_n(F₁) by měla být symetrická skupina Σ_n.v vyšší K.-skupiny K._i(R) prstenu R lze definovat jako

${ displaystyle K_ {i} (R) = pi _ {i} (BGL _ { infty} (R) ^ {+})}$

Podle této analogie, K-skupiny K._i(F₁) z F₁ by měl být definován jako π_i(BGL_∞(F₁)⁺) = π_i(BΣ_∞⁺), což podle věty Barratt – Priddy je:

${ displaystyle K_ {i} ( mathbf {F} _ {1}) = pi _ {i} (BGL _ { infty} ( mathbf {F} _ {1}) ^ {+}) = pi _ {i} (B Sigma _ { infty} ^ {+}) = pi _ {i} ^ {s}.}$

Reference

• Barratt, Michael; Priddy, Stewart (1972), „O homologii nepřipojených monoidů a jejich přidružených skupin“, Commentarii Mathematici Helvetici, 47: 1–14, doi:10.1007 / bf02566785
• Nakaoka, Minoru (1960), „Věta o rozkladu pro homologické skupiny symetrických skupin“, Annals of Mathematics, 71: 16–42, doi:10.2307/1969878, JSTOR  1969878, PAN  0112134