Degenerovaná bilineární forma - Degenerate bilinear form

Bylo navrženo, aby tento článek byl sloučeny s Nondegenerate forma. (Diskutujte) Navrhováno od února 2020.

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Degenerovat bilineární formu"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Srpna 2008) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika konkrétně lineární algebra, a zdegenerovaná bilineární forma F(X, y) na vektorový prostor PROTI je bilineární forma taková, že mapa z PROTI na PROTI^∗ (dále jen dvojí prostor z PROTI) dána proti ↦ (X ↦ F(X, proti)) není izomorfismus. Ekvivalentní definice, když PROTI je konečně-dimenzionální je to, že má netriviální jádro: existují nenulové hodnoty X v PROTI takhle

${ displaystyle f (x, y) = 0 ,}$ pro všechny ${ displaystyle y ve V.}$

Nedgenerované formy

A nedegenerovat nebo nesmyslný forma je taková, která není zdegenerovaná, což znamená ${ displaystyle v mapsto (x mapsto f (x, v))}$ je izomorfismus, nebo ekvivalentně v konečných rozměrech, právě když

${ displaystyle f (x, y) = 0 ,}$ pro všechny ${ displaystyle y ve V}$ to naznačuje ${ displaystyle x = 0}$.

Použití determinantu

Li PROTI je konečně-dimenzionální pak ve vztahu k některým základ pro PROTI, bilineární forma je zdegenerovaná právě tehdy, když určující přidruženého matice is zero - if and only if the matrix is jednotné číslo, a podle toho se také nazývají degenerované formy singulární formy. Podobně je nedgenerovanou formou forma, pro kterou je přidružená matice ne singulární a proto se nedegenerované formy také označují jako nesingulární formy. Tato tvrzení jsou nezávislá na zvoleném základě.

Související pojmy

Pokud existuje vektor proti ∈ PROTI takhle F(proti) = 0, tedy F je izotropní kvadratická forma. Li F má stejné znaménko pro všechny vektory, je to a určitá kvadratická forma nebo anizotropní kvadratická forma.

Existuje úzce související pojem a unimodulární forma a a perfektní párování; tito se shodují na polích, ale ne na obecných kruzích.

Příklady

Nejdůležitějšími příklady nedgenerovaných forem jsou vnitřní výrobky a symlektické formy. Symetrické nedegenerované formy jsou důležitým zobecněním vnitřních produktů, protože často stačí jen mapa ${ displaystyle V až V ^ {*}}$ být izomorfismem, ne pozitivitou. Například potrubí s vnitřní strukturou produktu v jeho tečných prostorech je a Riemannovo potrubí, při uvolnění do symetrické nedgenerované formy se získá a pseudo-Riemannovo potrubí.

Nekonečné rozměry

Všimněte si, že v nekonečném dimenzionálním prostoru můžeme mít bilineární tvar which, pro který ${ displaystyle v mapsto (x mapsto f (x, v))}$ je injekční ale ne surjektivní. Například na prostoru spojité funkce v uzavřeném ohraničeném intervalu formulář

${ displaystyle f ( phi, psi) = int psi (x) phi (x) dx}$

není surjective: například Diracova delta funkční je v duálním prostoru, ale nemá požadovanou formu. Na druhou stranu tato bilineární forma uspokojuje

${ displaystyle f ( phi, psi) = 0 ,}$ pro všechny ${ displaystyle , phi}$ to naznačuje ${ displaystyle psi = 0. ,}$

V takovém případě, kde ƒ uspokojuje injektivitu (ale ne nutně surjektivitu), se říká ƒ slabě nedgenerativní.

Terminologie

Pokud ƒ zmizí shodně na všech vektorech, říká se to úplně zdegenerovaný. Vzhledem k jakékoli bilineární formě ƒ PROTI množina vektorů

${ displaystyle {x ve V mid f (x, y) = 0 { mbox {pro všechny}} y ve V }}$

tvoří úplně zdegenerovaný podprostor z PROTI. Mapa ƒ je nedgenerativní kdyby a jen kdyby tento podprostor je triviální.

Geometricky, an izotropní linie kvadratické formy odpovídá bodu asociovaného kvadrický hyperpovrch v projektivní prostor. Taková přímka je dodatečně izotropní pro bilineární formu právě tehdy, je-li odpovídající bod a jedinečnost. Proto přes algebraicky uzavřené pole, Hilbertův nullstellensatz zaručuje, že kvadratická forma má vždy izotropní čáry, zatímco bilineární forma je má právě tehdy, když je povrch singulární.