Glosář teorie reprezentace - Glossary of representation theory - Wikipedia

Tohle je glosář teorie reprezentace v matematika.

Termín „modul“ se často používá jako synonymum pro vyjádření; pro modul-teoretickou terminologii viz také glosář teorie modulů.

Viz také Glosář Lieových skupin a Lieových algeber, seznam témat teorie reprezentace a Kategorie: Teorie reprezentace.

Zápisy: Píšeme ${ displaystyle mathbb {G} _ {m} = GL_ {1}}$. Například jedna reprezentace (tj. Znak) skupiny G je ve formě ${ displaystyle chi: G až mathbb {G} _ {m}}$.

A

Adams

Adamsovy operace.

adjoint

The adjunkční reprezentace skupiny lži G je reprezentace daná adjungovanou akcí G na lži algebry G (adjunkční akce se získá zhruba diferenciací konjugační akce.)

přípustný

Reprezentace skutečné redukční skupiny se nazývá přípustný pokud (1) maximální kompaktní podskupina K. působí jako jednotní operátoři a (2) každé neredukovatelné zastoupení K. má konečnou multiplicitu.

střídavý

The střídavý čtverec reprezentace PROTI je subreprezentace ${ displaystyle operatorname {Alt} ^ {2} (V)}$ druhé tenzorový výkon ${ displaystyle V ^ { otimes 2} = V otimes V}$.

Artin

1.  Emil Artin.

2.  Artinova věta o indukovaných postavách uvádí, že znak v konečné skupině je racionální lineární kombinace znaků vyvolaných z cyklických podskupin.

3.  Artin zastoupení se používá při definici Artin dirigent.

automorfní

automatická reprezentace

B

Borel – Weil – Bottova věta

Přes algebraicky uzavřené pole charakteristické nuly, Borel – Weil – Bottova věta realizuje neredukovatelné zastoupení a reduktivní algebraická skupina jako prostor globálních částí svazku čar na odrůdě vlajky. (V pozitivním charakteristickém případě konstrukce pouze produkuje Weylovy moduly, což nemusí být neredukovatelné.)

větvení

pravidlo větvení

Brauer

Brauerova věta o indukovaných postavách uvádí, že znak na konečné skupině je lineární kombinací s celočíselnými koeficienty znaků indukovanými z elementárních podskupin.

C

Teorie Cartan-Weyl

Jiný název pro teorie reprezentace polojednodušých Lieových algeber.

Kazimír prvek

A Kazimír prvek je význačný prvek středu univerzální obklopující algebry Lieovy algebry.

kategorie zastoupení

Reprezentace a ekvivariační mapy mezi nimi tvoří a kategorie zastoupení.

charakter

1. A charakter je jednorozměrná reprezentace.

2. Charakter konečně-rozměrné reprezentace π je funkce ${ displaystyle g mapsto operatorname {tr} pi (g)}$. Jinými slovy, jde o složení ${ displaystyle G { overset { pi} { to}} GL (V) { overset { operatorname {tr}} { to}} mathbb {G} _ {m}}$.

3. An neredukovatelný charakter (resp triviální charakter ) je charakter neredukovatelné reprezentace (resp. triviální reprezentace).

4. The skupina znaků skupiny G je skupina všech postav na G; a to, ${ displaystyle operatorname {Hom} (G, mathbb {G} _ {m})}$.

5. The znakový prsten je skupinový kruh (přes celá čísla) skupiny znaků G.

6. Virtuální postava je prvek kruhu znaků.

7. A distribuční charakter mohou být definovány pro nekonečně-dimenzionální reprezentaci.

8. An nekonečně malý znak.

Chevalley

1. Chevalley

2.  Generátory Chevalley

3.  Skupina Chevalley.

4.  Chevalleyova věta o omezení.

funkce třídy

A funkce třídy F ve skupině G je funkce taková, že ${ displaystyle f (g) = f (hgh ^ {- 1})}$; je to funkce na hodinách konjugace.

společný spoj

A coadjoint reprezentace je dvojí zastoupení adjunktního zastoupení.

kompletní

„Zcela redukovatelný“ je další výraz pro „polojediný“.

komplex

1. A komplexní reprezentace je reprezentace G na komplexním vektorovém prostoru. Mnoho autorů označuje složité reprezentace jednoduše jako reprezentace.

2. The komplexní konjugát ${ displaystyle { overline {V}}}$ komplexní reprezentace PROTI je reprezentace se stejnou základní skupinou aditiv PROTI s lineárním působením G ale s působením komplexního čísla prostřednictvím komplexní konjugace.

3. Komplexní zobrazení je samo-konjugované, pokud je izomorfní s jeho komplexním konjugátem.

komplementární

Doplňkové zastoupení k subreprezentaci Ž reprezentace PROTI je reprezentace Ž' takhle PROTI je přímý součet Ž a Ž'.

cuspidální

vrcholová reprezentace

krystal

krystalický základ

cyklický

Cyklický G-module je a G-modul generovaný jediným vektorem. Například neredukovatelná reprezentace je nutně cyklická.

D

Dedekind

Dedekindova věta o lineární nezávislosti postav.

definováno přes

Vzhledem k rozšíření pole ${ displaystyle K / F}$, reprezentace PROTI skupiny G přes K. se říká, že je definováno přes F -li ${ displaystyle V simeq V_ {0} otimes _ {F} K}$ pro nějakou reprezentaci ${ displaystyle V_ {0}}$ přes F takhle ${ displaystyle g: V až V}$ je vyvolána ${ displaystyle g: V_ {0} až V_ {0}}$; tj., ${ displaystyle g cdot (v otimes lambda) = gv otimes lambda}$. Tady, ${ displaystyle V_ {0}}$ se nazývá F-druh PROTI (a nemusí být nutně jedinečný).

Demazure

Vzorec postavy Demazure

přímý součet

The přímý součet reprezentací PROTI, Ž je reprezentace, která je přímým součtem ${ displaystyle V oplus W}$ vektorových prostorů spolu s akcí lineární skupiny ${ displaystyle pi _ {V oplus W} (g) (v + w) = pi _ {V} (g) v + pi _ {W} (g) w}$.

oddělený

Neredukovatelné zastoupení skupiny Lie G se říká, že je v diskrétní řada pokud jsou jeho maticové koeficienty integrovatelné do čtverců. Například pokud G je kompaktní, pak každá jeho neredukovatelná reprezentace je v diskrétní řadě.

dominantní

Neredukovatelné reprezentace jednoduše spojené kompaktní Lieovy skupiny jsou indexovány podle jejich nejvyšší váhy. Tyto dominantní váhy tvoří mřížové body v orthantu ve váhové mřížce Lieovy skupiny.

dvojí

The dvojí zastoupení (nebo zastoupení přísady) vyjádření PROTI je reprezentace, která je duálním vektorovým prostorem ${ displaystyle V ^ {*} = operatorname {Hom} (V, k)}$ společně s lineární skupinovou akcí, která zachovává přirozené párování ${ displaystyle V ^ {*} krát V k k}$

E

Eisenstein

Eisensteinova řada

ekvivariant

Termín "G-equivariant “je další výraz pro„G-lineární".

vnější

An vnější síla reprezentace PROTI je reprezentace ${ displaystyle klín ^ {n} (V)}$ se skupinovou akcí vyvolanou ${ displaystyle V ^ { mnohokrát n} na klín ^ {n} (V)}$.

F

věřící

A věrné zastoupení ${ displaystyle pi: G to GL (V)}$ je takové znázornění ${ displaystyle pi}$ je injekční jako funkce.

vláknový funktor

vláknový funktor.

Frobeniova vzájemnost

The Frobeniova vzájemnost uvádí, že pro každé zastoupení ${ displaystyle sigma}$ z H a reprezentace ${ displaystyle pi}$ z G je tu bijekce

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {G} ( pi, operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} sigma) = operatorname {Hom} _ {H} ( pi | _ {H} , sigma)}$

to je přirozené v tom smyslu, že ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}}$ má pravdu adjunkční funktor funktoru omezení ${ displaystyle pi mapsto pi | _ {H}}$.

základní

Zásadní zastoupení: Pro neredukovatelné reprezentace jednoduše připojených kompaktní Lieova skupina existuje sada základní váhyindexované vrcholy Dynkinův diagram G, takové dominantní váhy jsou jednoduše nezáporné celé číslo lineární kombinace základních vah. Odpovídající neredukovatelné reprezentace jsou základní reprezentace skupiny Lie. Zejména z rozšíření dominantní váhy, pokud jde o základní váhy, lze vzít odpovídající tenzorový produkt základních reprezentací a extrahujte jednu kopii neredukovatelné reprezentace odpovídající této dominantní váze. V případě speciální jednotná skupina SU(n), n - 1 základní reprezentací jsou klínové výrobky

${ displaystyle Alt ^ {k} { mathbb {C}} ^ {n}}$

skládající se z střídavé tenzory, pro k = 1,2, ..., n-1.

G

G-lineární

A G-lineární mapa ${ displaystyle f: V až W}$ mezi reprezentacemi je lineární transformace, která dojíždí s G-akce; tj., ${ displaystyle f circ pi _ {V} (g) = pi _ {W} (g) circ f}$ pro každého G v G.

G-modul

Jiný název pro reprezentaci. Umožňuje teoreticko-teoretickou terminologii modulu: např. Triviální G-modul, G- submoduly atd.

G- ekvivariantní vektorový svazek

A G- ekvivariantní vektorový svazek je vektorový svazek ${ displaystyle p: E až X}$ na G-prostor X společně s a G-akce zapnuta E (řekněme správně) takový ${ displaystyle g: p ^ {- 1} (x) až p ^ {- 1} (xg)}$ je dobře definovaná lineární mapa.

dobrý

A dobrá filtrace reprezentace a reduktivní skupina G je filtrace taková, že kvocienty jsou izomorfní ${ displaystyle H ^ {0} ( lambda) = Gamma (G / B, L _ { lambda})}$ kde ${ displaystyle L _ { lambda}}$ jsou řádkové svazky na odrůdě vlajky ${ displaystyle G / B}$.

H

Harish-Chandra

1.  

Harish-Chandra

Harish-Chandra (11.10.1923 - 16 října 1983), indický americký matematik.

2. The Věta Harish-Chandra Plancherel.

nejvyšší váha

1. Vzhledem ke složité polojednodušé Lieově algebře ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a výběr a pozitivní Weylova komora, nejvyšší váha reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je váha ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$- váhový vektor proti takhle ${ displaystyle E _ { alpha} v = 0}$ pro každý pozitivní kořen ${ displaystyle alpha}$ (proti se nazývá vektor s nejvyšší hmotností).

2. The věta o nejvyšší hmotnosti uvádí (1) dvě konečně-dimenzionální neredukovatelné reprezentace ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ jsou izomorfní právě tehdy, pokud mají stejnou nejvyšší váhu a (2) pro každý dominantní integrál ${ displaystyle lambda v { mathfrak {h}} ^ {*}}$, existuje konečněrozměrná neredukovatelná reprezentace ${ displaystyle lambda}$ jako jeho nejvyšší hmotnost.

Hom

The Hom reprezentace ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W)}$ reprezentací PROTI, Ž je reprezentace se skupinovou akcí získanou identifikací vektorového prostoru ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) = V ^ {*} mnohokrát W}$.

Já

nerozložitelný

An nerozložitelné zastoupení je reprezentace, která není přímým součtem alespoň dvou správných subrepresebtací.

indukce

1. Dáno zastoupení ${ displaystyle ( sigma, W)}$ podskupiny H skupiny G, indukovaná reprezentace

${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} ( sigma) = {f: G až W | f (hg) = sigma (h) f (g) }}$

je reprezentace G který je indukován na H-lineární funkce ${ displaystyle f: G to W}$; srov. # Vzájemnost Frobenius.

2. V závislosti na aplikacích je běžné uložit funkcím další podmínky ${ displaystyle f: G to W}$; například pokud je požadováno, aby funkce byly kompaktně podporovány, výsledná indukce se nazývá kompaktní indukce.

nekonečně

Říká se, že existují dvě přípustná reprezentace skutečné redukční skupiny nekonečně ekvivalentní pokud jejich přidružené reprezentace Lie algebry v prostoru K.- konečné vektory jsou izomorfní.

integrovatelný

Reprezentace a Kac – Moodyho algebra se říká, že je integrovatelný pokud (1) je to součet váhových prostorů a (2) generátory Chevalley ${ displaystyle e_ {i}, f_ {i}}$ jsou místně nilpotentní.

prolínání

Termín "operátor prolínání "je starý název pro G-lineární mapa mezi reprezentacemi.

involuce

An involuční reprezentace je reprezentace a C * -algebra na Hilbertově prostoru, který zachovává involuci.

neredukovatelné

An neredukovatelné zastoupení je reprezentace, jejíž jediné subreprezentace jsou nulové a sama o sobě. Termín „neredukovatelný“ je synonymem pro „jednoduchý“.

izomorfismus

Izomorfismus mezi reprezentacemi skupiny G je invertibilní G-lineární mapa mezi reprezentacemi.

izotypový

1. Dáno zastoupení PROTI a jednoduchá reprezentace Ž (subrepresebtation nebo jinak), izotypová složka z PROTI typu Ž je přímý součet všech subreprezentací PROTI které jsou izomorfní Ž. Například nechte A být prsten a G skupina jednající jako automatorfismy. Li A je polojednoduchý jako G-modul, pak prsten invarianty ${ displaystyle A ^ {G}}$ je izotypová složka A triviálního typu.

2. The izotypový rozklad polojednodušší reprezentace je rozklad na izotypové komponenty.

J

Jacquet

Funktor Jacquet

K.

Kac

The Vzorec znaků Kac

K-konečný

Vektor proti v reprezentačním prostoru skupiny K. se říká, že je K.- konečný pokud ${ displaystyle K cdot v}$ překlenuje konečný trojrozměrný vektorový prostor.

Kirillov

The Vzorec Kirillovova znaku

L

mříž

1. The kořenová mřížka je bezplatná abelianská skupina generovaná kořeny.

2. The váhová mřížka je skupina všech lineárních funkcionálů ${ displaystyle chi in { mathfrak {h}} ^ {*}}$ na Cartanově subalgebře ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ které jsou nedílné: ${ displaystyle chi (H _ { alpha})}$ je celé číslo pro každý kořen ${ displaystyle alpha}$.

Littlemann

Littelmannův model cesty

M

Maschkeova věta

Maschkeova věta uvádí, že konečně-dimenzionální reprezentace nad polem F konečné skupiny G je polojednoduché zastoupení pokud je charakteristika F nerozděluje pořadí G.

Mackeyova teorie

The Mackeyova teorie lze považovat za nástroj k zodpovězení otázky: dané zastoupení Ž podskupiny H skupiny G, kdy je indukovaná reprezentace ${ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} W}$ neredukovatelné zastoupení G?^[1]

Maass – Selberg

Vztahy Maass-Selberg.

maticový koeficient

A maticový koeficient reprezentace ${ displaystyle pi: G to GL (V)}$ je lineární kombinace funkcí na G formuláře ${ Displaystyle g mapsto langle pi (g) v, alpha rangle}$ pro proti v PROTI a ${ displaystyle alpha}$ v duálním prostoru ${ displaystyle V ^ {*}}$. Všimněte si, že pojem má smysl pro jakoukoli skupinu: pokud G je topologická skupina a ${ displaystyle pi}$ je spojitý, pak by byl maticový maticový koeficient spojitou funkcí G. Li G a ${ displaystyle pi}$ jsou algebraické, bylo by to normální funkce na G.

modulární

The teorie modulární reprezentace.

Ó

Oscilátor

Reprezentace oscilátoru

obíhat

orbitální metoda, přístup k teorii reprezentace, který využívá nástroje ze symplektické geometrie

P

Peter – Weyl

The Peter – Weylova věta uvádí, že lineární rozpětí maticové koeficienty v kompaktní skupině G je hustá v ${ displaystyle L ^ {2} (G)}$.

permutace

Vzhledem ke skupině G, a G-soubor X a PROTI vektorový prostor funkcí z X do pevného pole, a permutační reprezentace ${ displaystyle pi}$ z G na PROTI je reprezentace daná indukovaným působením G na PROTI; tj., ${ displaystyle ( pi (g) v) (x) = v (g ^ {- 1} x)}$. Například pokud X je konečná množina a PROTI je zobrazen jako vektorový prostor se základnou parameteized pomocí X, pak symetrická skupina ${ displaystyle G = operatorname {Sym} (X)}$ permutuje prvky základny a jeho lineární prodloužení je právě reprezentací permutace.

Plancherel

Plancherelův vzorec

pozitivní energetická reprezentace

pozitivní energetická reprezentace.

primitivní

Termín „primitivní prvek“ (nebo vektor) je starý termín pro Borelův váhový vektor.

projektivní

A projektivní reprezentace skupiny G je skupinový homomorfismus ${ displaystyle pi: G až PGL (V) = GL (V) / mathbb {G} _ {m}}$. Od té doby ${ displaystyle PGL (V) = operatorname {Aut} ( mathbb {P} (V))}$, projektivní reprezentace je přesně a skupinová akce z G na ${ displaystyle mathbb {P} (V)}$ jako automorfismy.

správně

Řádné subreprezentace zastoupení PROTI je dílčí zastoupení, které není PROTI.

Q

kvocient

Vzhledem k zastoupení PROTI a subreprezentace ${ displaystyle W podmnožina V}$, kvocient vyjádření je reprezentace ${ displaystyle ( pi _ {V / W}, V / W)}$ dána ${ displaystyle pi _ {V / W} (g): V / W až V / W, , v + W mapsto gv + W}$.

kvartérní

A kvartérní reprezentace skupiny G je komplexní reprezentace vybaven a G-invariantní kvaternionová struktura.

R

Racionální

Reprezentace PROTI je Racionální pokud každý vektor proti v PROTI je obsažen v nějaké konečně-dimenzionální subreprezentaci (v závislosti na proti.)

nemovitý

1. A skutečné zastoupení vektorového prostoru je reprezentace na reálném vektorovém prostoru.

2. Skutečná postava je postava ${ displaystyle chi}$ skupiny G takhle ${ displaystyle chi (g) v mathbb {R}}$ pro všechny G v G.^[2]

pravidelný

1. A pravidelné zastoupení konečné skupiny G je indukovaná reprezentace G na skupinová algebra nad polem G.

2. Pravidelné zastoupení a lineární algebraická skupina G je indukovaná reprezentace na souřadnicovém kruhu G. Viz také: reprezentace na souřadnicových prstencích.

zastoupení

1.  

Teorie reprezentace je snadno definovatelná: jedná se o studium způsobů, kterými může daná skupina působit na vektorové prostory. Je téměř jistě jedinečný mezi tak jasně vymezenými předměty v šíři svého zájmu o matematiky. To není překvapující: skupinové akce jsou v matematice 20. století všudypřítomné a tam, kde objekt, na který skupina působí, není vektorový prostor, naučili jsme se jej nahradit jiným (např. Kohomologická skupina, tečný prostor atd. .). V důsledku toho mnoho matematiků jiných než specialistů v oboru (nebo dokonce těch, kteří si myslí, že by mohli chtít být) přijde do kontaktu s tímto předmětem různými způsoby.

Fulton, William; Harris, Joe, Teorie reprezentace: První kurz

A lineární reprezentace skupiny G je skupinový homomorfismus ${ displaystyle pi: G to GL (V)}$ z G do obecná lineární skupina ${ displaystyle GL (V)}$. V závislosti na skupině Ghomomorfismus ${ displaystyle pi}$ je často implicitně vyžadováno, aby byl morfismem v kategorii, do které G patří; např. pokud G je topologická skupina, pak ${ displaystyle pi}$ musí být spojité. Přídavné jméno „lineární“ je často vynecháno.

2. Rovnocenné je lineární vyjádření a skupinová akce z G na vektorovém prostoru PROTI to je lineární: akce ${ displaystyle sigma: G krát V až V}$ takové, že pro každého G v G, ${ displaystyle sigma _ {g}: V až V, v mapsto sigma (g, v)}$ je lineární transformace.

3. A virtuální reprezentace je prvkem Grothendieckova kruhu kategorie reprezentací.

zástupce

Termín "reprezentativní funkce "je další výraz pro a maticový koeficient.

S

Schur

1.  

Issai Schur

Issai Schur

2.  Schurovo lemma uvádí, že a G-lineární mapa mezi neredukovatelnými reprezentacemi musí být buď bijektivní, nebo nulová.

3. The Schurovy vztahy ortogonality na kompaktní skupině říká, že znaky neizomorfních neredukovatelných reprezentací jsou navzájem kolmé.

4. The Schurův funktor ${ displaystyle V mapsto S ^ { lambda} (V)}$ konstruuje reprezentace, jako jsou symetrické síly nebo vnější síly podle oddílu ${ displaystyle lambda}$. Postavy ${ displaystyle S ^ { lambda} (V)}$ jsou Schurovy polynomy.

5. The Schur – Weylova dualita počítá neredukovatelné reprezentace vyskytující se v tenzorových silách ${ displaystyle GL (V)}$- moduly.

6. A Schurův polynom je symetrická funkce typu vyskytujícího se ve Weylově znakovém vzorci aplikovaném na unitární skupiny.

7.  Schurův index.

8. A Schurův komplex.

polojednoduchý

A polojednoduché zastoupení (také nazývaná zcela redukovatelná reprezentace) je přímý součet jednoduchých reprezentací.

jednoduchý

Další výraz pro „neredukovatelný“.

hladký

1. A hladké znázornění a místně profinitní skupina G je komplexní reprezentace taková, že pro každého proti v PROTI, existuje nějaká kompaktní otevřená podskupina K. z G to opravuje proti; tj., ${ displaystyle g cdot v = v}$ pro každého G v K..

2. A hladký vektor v reprezentačním prostoru Lieovy skupiny je vektor proti takhle ${ displaystyle g mapsto g cdot v}$ je plynulá funkce.

Specht

Specht modul

Steinberg

Steinberg zastoupení.

subreprezentace

A subreprezentace reprezentace ${ displaystyle ( pi, V)}$ z G je vektorový podprostor Ž z PROTI takhle ${ displaystyle pi (g): W to W}$ je pro každého dobře definován G v G.

Labuť

The Reprezentace labutí se používá k definování Labutí vodič.

symetrický

1. A symetrická síla reprezentace PROTI je reprezentace ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ se skupinovou akcí vyvolanou ${ displaystyle V ^ { mnohokrát n} na operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$.

2. Zejména symetrický čtverec reprezentace PROTI je reprezentace ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {2} (V)}$ se skupinovou akcí vyvolanou ${ displaystyle V ^ { otimes 2} to operatorname {Sym} ^ {2} (V)}$.

systém imprimitivity

Koncept v Mackeyova teorie. Vidět systém imprimitivity.

T

Tannakovská dualita

The Tannakovská dualita je zhruba myšlenka, že skupinu lze získat ze všech jejích reprezentací.

temperovaný

temperované zastoupení

tenzor

A tenzorová reprezentace je zhruba reprezentace získaná z tenzorových produktů (určitých reprezentací).

tenzorový produkt

The tenzorový produkt reprezentací PROTI, Ž je reprezentace, která je tenzorovým součinem vektorových prostorů ${ displaystyle V otimes W}$ společně s lineární skupinovou akcí ${ displaystyle pi _ {V otimes W} (g) (v otimes w) = pi _ {V} (g) v otimes pi _ {W} (g) w}$.

triviální

1. A triviální zastoupení skupiny G je reprezentace π taková, že π (G) je identita pro každého G v G.

2. A triviální charakter skupiny G je postava, která je triviální jako reprezentace.

U

jednotně ohraničený

A rovnoměrně ohraničené zobrazení lokálně kompaktní skupiny je reprezentace v algebře ohraničených operátorů, která je spojitá v silné topologii operátorů a která je taková, že norma operátoru daná každým prvkem skupiny je rovnoměrně ohraničená.

unitární

1. A jednotkové zastoupení skupiny G je reprezentace π taková, že π (G) je nečleněný operátor pro každého G v G.

2. A unitarizovatelné zastoupení je reprezentace ekvivalentní jednotkové reprezentaci.

PROTI

Modul Verma

Vzhledem ke složité polojednodušé Lieovy algebře ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, Cartan subalgebra ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$ a výběr a pozitivní Weylova komora, Modul Verma ${ displaystyle M _ { chi}}$ spojené s lineární funkcí ${ displaystyle chi: { mathfrak {h}} do mathbb {C}}$ je kvocient obklopující algebry ${ displaystyle U ({ mathfrak {g}})}$ levým ideálem generovaným ${ displaystyle E _ { alpha}}$ pro všechny pozitivní kořeny ${ displaystyle alpha}$ stejně jako ${ displaystyle H- chi (H) 1}$ pro všechny ${ displaystyle H v { mathfrak {h}}}$.^[3]

Ž

hmotnost

1. Termín „váha“ je jiný název postavy.

2. The hmotnost podprostoru reprezentace PROTI váhy ${ displaystyle chi: G až mathbb {G} _ {m}}$ je podprostor ${ displaystyle V _ { chi} = {v ve V | g cdot v = chi (g) v }}$ to má pozitivní rozměr.

3. Podobně pro lineární funkční ${ displaystyle chi: { mathfrak {h}} do mathbb {C}}$ komplexní Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$, ${ displaystyle chi}$ je váha ${ displaystyle { mathfrak {h}}}$-modul PROTI -li ${ displaystyle V _ { chi} = {v ve V | H cdot v = chi (H) v }}$ má pozitivní rozměr; srov. # nejvyšší hmotnost.

4. váhová mříž

5. dominantní váha: váha lambda je dominantní, pokud ${ displaystyle < lambda, alpha> v mathbb {Z} ^ {+}}$ pro některé ${ displaystyle alpha in Phi}$

6. základní dominantní váha:: Vzhledem k souboru jednoduchých kořenů ${ displaystyle Delta = { alpha _ {1}, alpha _ {2}, ..., alpha _ {n} }}$, je základem ${ displaystyle E}$. ${ displaystyle alpha _ {1} ^ {v}, alpha _ {2} ^ {v}, ..., alpha _ {n} ^ {v} in Phi ^ {v}}$ je základem ${ displaystyle E}$ také; dvojí základ ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ..., lambda _ {n}}$ definován ${ displaystyle ( lambda _ {i}, alpha _ {j} ^ {v}) = delta _ {ij}}$ , se nazývá základní dominantní váhy.

7. nejvyšší váha

Weyl

1.  Hermann Weyl

2. The Weylův vzorec znaků vyjadřuje charakter neredukovatelných reprezentací komplexu polojednoduchá Lie algebra z hlediska nejvyšších hmotností.

3. The Weylův integrační vzorec říká: vzhledem k kompaktně propojené Lieově skupině G s maximálním torusem T, existuje skutečná spojitá funkce u na T tak, že pro každou spojitou funkci F na G,

${ displaystyle int _ {G} f (g) dg = int _ {T} f (t) u (t) dt.}$

(Výslovně, ${ displaystyle u}$ je 1 nad mohutností Weylovy skupiny krát produktu ${ displaystyle | e ^ { alpha (t)} - ​​e ^ {- alpha (t)} | ^ {2}}$ přes kořeny ${ displaystyle alpha}$.)

4.  Weylov modul.

5. A Weylova filtrace je filtrace reprezentace reduktivní skupiny tak, že kvocienty jsou izomorfní Weylovy moduly.

Y

Mladá

1.  Alfred Young

2. The Mladý symetrizer je G-lineární endomorfismus ${ displaystyle c _ { lambda}: V ^ { otimes n} až V ^ { otimes n}}$ tenzorové síly a G-modul PROTI definováno podle daného oddílu ${ displaystyle lambda}$. Podle definice je Schurův funktor reprezentace PROTI přiřadí PROTI obraz ${ displaystyle c _ { lambda}}$.

Z

nula

A nulové zastoupení je nulová dimenze. Poznámka: zatímco nulová reprezentace je triviální reprezentace, triviální reprezentace nemusí být nulová (protože „triviální“ znamená G jedná triviálně.)

Poznámky

Reference

• Adams, J. F. (1969), Přednášky o Lieových skupinách, University of Chicago Press
• Theodor Bröcker a Tammo tom Dieck, Reprezentace kompaktních Lieových skupin, Postgraduální texty z matematiky 98Springer-Verlag, Berlín, 1995.
• Bushnell, Colin J .; Henniart, chlapi (2006), Místní Langlandsova domněnka o GL (2)Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 335, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / 3-540-31511-X, ISBN  978-3-540-31486-8, PAN  2234120
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• D. Gaitsgory, Teorie geometrické reprezentace, Math 267y, podzim 2005
• Humphreys, James E. (1972). Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace. Postgraduální texty z matematiky. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90053-7.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Knapp, Anthony W. (2001), Teorie reprezentace polojediných skupin. Přehled na příkladech.Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-09089-4
• Claudio Procesi (2007) Lie Groups: přístup prostřednictvím invarianty a reprezentaceSpringer, ISBN  9780387260402.
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Lineární reprezentace konečných skupin. Postgraduální texty z matematiky, 42. New York – Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90190-9. PAN  0450380. Zbl  0355.20006.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• N. Wallach Real Reductive Groups, 2 vols., Academic Press 1988,

Další čtení

• M. Duflo et M. Vergne, La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, v „Reprezentacích skupin lži;“ Kyoto, Hirošima (1986), Advanced Studies in Pure Mathematics 14, 1988.
• Lusztig, G .: Kvantové deformace určitých jednoduchých modulů přes obklopující algebry, Adv. Matematika. 70 (1988), 237–249.

externí odkazy

• https://math.stanford.edu/~bump/