Glosář teorie modulů - Glossary of module theory - Wikipedia

Teorie modulů je obor matematiky, ve kterém moduly jsou studovány. Toto je glosář některých pojmů předmětu.

Viz také: Glosář teorie prstenů, Glosář teorie reprezentace.

A

algebraicky kompaktní: algebraicky kompaktní modul (také zvaný čistě injektivní modul ) je modul, ve kterém lze o všech soustavách rovnic rozhodovat konečnými prostředky. Alternativně ty moduly, které po aplikaci Hom ponechávají čistě přesnou sekvenci přesnou.
zničit: 1. The zničit levice ${ displaystyle R}$ -modul ${ displaystyle M}$ je sada ${ displaystyle { textrm {Ann}} (M): = {r v R | rm = 0 , pro všechny m v M }}$ . Je to (vlevo) ideál z ${ displaystyle R}$ .; 2. Zničení prvku ${ displaystyle m v M}$ je sada ${ displaystyle { textrm {Ann}} (m): = {r v R | rm = 0 }}$ .
Artinian: An Artinian modul je modul, ve kterém se každý klesající řetězec submodulů po konečně mnoha krocích zastaví.
sdružený prime: 1. An sdružený prime.
Azumaya: Azumayova věta říká, že dva rozklady na moduly s místními endomorfismovými kruhy jsou ekvivalentní.

B

vyrovnaný: vyvážený modul
základ: Základ modulu ${ displaystyle M}$ je sada prvků v ${ displaystyle M}$ takže každý prvek v modulu lze jedinečným způsobem vyjádřit jako konečný součet prvků v základu.
Beauville – Laszlo: Beauville – Laszlova věta
bimdule: bimodul

C

charakter: znakový modul
koherentní: A koherentní modul je konečně generovaný modul, jehož konečně generované podmoduly jsou konečně představen.
zcela redukovatelné: Synonymum pro „polojediný modul ".
složení: Série skladeb Jordan Hölder
kontinuální: spojitý modul
cyklický: Modul se nazývá a cyklický modul pokud je generován jedním prvkem.

D

D: A D-modul je modul přes kruh diferenciálních operátorů.
hustý: hustý submodul
přímý součet: A přímý součet modulů je modul, který je přímým součtem podkladové abelianské skupiny spolu s komponentním skalárním násobením.
duální modul: Duální modul modulu M přes komutativní kruh R je modul ${ displaystyle operatorname {Hom} _ {R} (M, R)}$ .
Drinfeld: A Modul Drinfeld je modul přes kruh funkcí na algebraické křivce s koeficienty z konečného pole.

E

Eilenberg – Mazur: Podvod Eilenberg – Mazur
základní: elementární dělitel
endomorfismus: The endomorfismus prsten.
nezbytný: Vzhledem k modulu M, an základní submodul N z M je submodul, ze kterého každý nenulový submodul M protíná se netriviálně.
Ext funktor: Ext funktor.
rozšíření: Rozšíření skalárů používá kruhový homomorfismus z R na S převést R-moduly do S- moduly.

F

věřící: A věrný modul ${ displaystyle M}$ je jedna, kde akce každého nenulového ${ displaystyle r v R}$ na ${ displaystyle M}$ je netriviální (tj. ${ displaystyle rx neq 0}$ pro některé ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle M}$ ). Ekvivalentně ${ displaystyle { textrm {Ann}} (M)}$ je nulový ideál.
konečný: Termín "konečný modul "je jiný název pro konečně generovaný modul.
konečná délka: Modul konečných délka je modul, který připouští (konečnou) skladatelskou řadu.
konečná prezentace: 1. A konečná bezplatná prezentace modulu M je přesná sekvence ${ displaystyle F_ {1} do F_ {0} do M}$ kde ${ displaystyle F_ {i}}$ jsou definitivně generované bezplatné moduly.; 2. A konečně představený modul je modul, který připouští a konečná bezplatná prezentace.
definitivně generováno: Modul ${ displaystyle M}$ je definitivně generováno pokud existuje konečně mnoho prvků ${ displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ v ${ displaystyle M}$ tak, že každý prvek ${ displaystyle M}$ je konečná lineární kombinace těchto prvků s koeficienty ze skalárního kruhu ${ displaystyle R}$ .
kování: ideální
Pět: Pět lemmat.
byt: A ${ displaystyle R}$ -modul ${ displaystyle F}$ se nazývá a plochý modul pokud tenzorový produkt funktor ${ displaystyle - otimes _ {R} F}$ je přesný.
Každý projektivní modul je zejména plochý.
volný, uvolnit: A bezplatný modul je modul, který má základnu nebo ekvivalentně ten, který je izomorfní s přímým součtem kopií skalárního kruhu ${ displaystyle R}$ .

G

Galois: A Galoisův modul je modul přes skupinový kruh skupiny Galois.

H

odstupňované: Modul ${ displaystyle M}$ přes odstupňovaný prsten ${ displaystyle A = bigoplus _ {n in mathbb {N}} A_ {n}}$ je odstupňovaný modul -li ${ displaystyle M}$ lze vyjádřit jako přímý součet ${ displaystyle bigoplus _ {i in mathbb {N}} M_ {i}}$ a ${ displaystyle A_ {i} M_ {j} subseteq M_ {i + j}}$ .
homomorfismus: Pro dva odešli ${ displaystyle R}$ - moduly ${ displaystyle M_ {1}, M_ {2}}$ , skupinový homomorfismus ${ displaystyle phi: M_ {1} až M_ {2}}$ je nazýván homomorfismus ${ displaystyle R}$ - moduly -li ${ displaystyle r phi (m) = phi (rm) , pro všechny r v R, m v M_ {1}}$ .
Hom: Hom funktor.

Já

nerozložitelný

An nerozložitelný modul je nenulový modul, který nelze zapsat jako přímý součet dvou nenulových submodulů. Každý jednoduchý modul je nerozložitelný (ale ne naopak).

injekční

1. A

{ displaystyle R}

-modul

{ displaystyle Q}

se nazývá injekční modul pokud je dáno

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle g: X až Q}

a injekční

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle f: X až Y}

, existuje a

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle h: Y až Q}

takhle

{ displaystyle f circ h = g}

.

Modul Q je injektivní, pokud diagram dojíždí

Následující podmínky jsou ekvivalentní:

Kontrovariantní funktor ${ displaystyle { textrm {Hom}} _ {R} (-, I)}$ je přesný.
${ displaystyle I}$ je injekční modul.
Každá krátká přesná sekvence ${ displaystyle 0 až I až L až L ' až 0}$ je rozdělena.

2. An injekční obálka je maximální základní rozšíření nebo minimální vložení do injektivního modulu.

3. An vstřikovací kogenerátor je injektivní modul tak, že do každého modulu je nenulový homomorfismus.

neměnný

invarianty

invertibilní

An invertibilní modul přes komutativní kruh je konečný projektivní modul první úrovně.

neredukovatelný modul

Jiný název pro a jednoduchý modul.

J

Jacobson: věta o hustotě

K.

Kaplansky: Kaplanskyho věta o projektivním modulu říká, že projektivní modul přes místní okruh je zdarma.
Krull – Schmidt: The Krull – Schmidtova věta říká, že (1) modul konečné délky připouští nerozložitelný rozklad a (2) jakékoli dva nerozložené rozklady jsou ekvivalentní.

L

délka: The délka modulu je běžná délka libovolné kompoziční řady modulu; délka není nekonečná, pokud neexistují žádné kompoziční řady. Přes pole je délka běžněji známá jako dimenze.
lokalizace: Lokalizace modulu převádí R moduly do S moduly, kde S je lokalizace z R.

M

Mitchellova věta o vložení

Mitchellova věta o vložení

Mittag-Leffler

Mittag-Lefflerův stav (ML)

modul

1. A levý modul

{ displaystyle M}

přes prsten

{ displaystyle R}

je abelianská skupina

{ displaystyle (M, +)}

s operací

{ displaystyle R krát M až M}

(zvané skalární násobení) splňuje následující podmínku:

{ displaystyle forall r, s in R, m, n v M}

,

${ displaystyle r (m + n) = rm + rn}$
${ displaystyle r (sm) = (rs) m}$
${ displaystyle 1_ {R} , m = m}$

2. A pravý modul

{ displaystyle M}

přes prsten

{ displaystyle R}

je abelianská skupina

{ displaystyle (M, +)}

s operací

{ displaystyle M krát R až M}

splňuje následující podmínku:

{ displaystyle forall r, s in R, m, n v M}

,

${ displaystyle (m + n) r = mr + nr}$
${ displaystyle (ms) r = r (sm)}$
${ displaystyle m1_ {R} = m}$

3. Všechny moduly společně se všemi homomorfismy modulů mezi nimi tvoří kategorie modulů.

N

Noetherian: A Noetherian modul je modul takový, že každý submodul je definitivně generován. Ekvivalentně se každý rostoucí řetězec submodulů po konečně mnoha krocích zastaví.
normální: normální formy pro matice

P

ředitel školy

A hlavní nerozložitelný modul je cyklický nerozložitelný projektivní modul.

hlavní

A primární submodul

projektivní

Charakteristická vlastnost projektivních modulů se nazývá zdvihání.

A

{ displaystyle R}

-modul

{ displaystyle P}

se nazývá a projektivní modul pokud je dáno

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle g: P až M}

a surjektivní

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle f: N až M}

, existuje a

{ displaystyle R}

- homomorfismus modulů

{ displaystyle h: P až N}

takhle

{ displaystyle f circ h = g}

.

Následující podmínky jsou ekvivalentní:

Kovariantní funktor ${ displaystyle { textrm {Hom}} _ {R} (P, -)}$ je přesný.
${ displaystyle M}$ je projektivní modul.
Každá krátká přesná sekvence ${ displaystyle 0 až L až L ' až P až 0}$ je rozdělena.
${ displaystyle M}$ je přímý součet volných modulů.

Každý bezplatný modul je zejména projektivní.

2. The projektivní rozměr modulu je minimální délka (pokud existuje) konečného projektivního rozlišení modulu; dimenze je nekonečná, pokud neexistuje konečné projektivní rozlišení.

3. A projektivní kryt je minimální podezření z projektivního modulu.

Q

kvocient: Vzhledem k tomu, levice ${ displaystyle R}$ -modul ${ displaystyle M}$ a submodul ${ displaystyle N}$ , kvocientová skupina ${ displaystyle M / N}$ lze udělat jako levici ${ displaystyle R}$ -modul od ${ displaystyle r (m + N) = rm + N}$ pro ${ displaystyle r v R, , m v M}$ . Říká se tomu a kvocientový modul nebo faktorový modul.

R

radikální: The radikál modulu je průsečík maximálních submodulů. U modulů Artinian je nejmenší submodul s polovičním kvocientem.
Racionální: racionální kanonická forma
reflexní: A reflexní modul je modul, který je izomorfní prostřednictvím přirozené mapy na svůj druhý duální.
rozlišení: rozlišení
omezení: Omezení skalárů používá kruhový homomorfismus z R na S převést S-moduly do R- moduly.

S

Schanuel: Schanuelův lemma
had: Hadové lemma
sokl: The sokl je největší polojediný submodul.
polojednoduchý: A polojediný modul je přímý součet jednoduchých modulů.
jednoduchý: A jednoduchý modul je nenulový modul, jehož jediné submoduly jsou nulové a samy o sobě.
stabilně zdarma: A stabilně bezplatný modul
věta o struktuře: The věta o struktuře pro konečně generované moduly nad hlavní ideální doménou říká, že konečně generované moduly přes PID jsou konečné přímé součty primárních cyklických modulů.
submodul: Vzhledem k tomu, ${ displaystyle R}$ -modul ${ displaystyle M}$ , doplňková podskupina ${ displaystyle N}$ z ${ displaystyle M}$ je submodul, pokud ${ displaystyle RN podmnožina N}$ .
Podpěra, podpora: The podpora modulu přes komutativní kruh je množina prvotřídních ideálů, při kterých jsou lokalizace modulu nenulové.

T

tenzor: Tenzorový produkt modulů
Tor: Tor funktor.
bez kroucení: A torzní modul.

U

jednotný: A jednotný modul je modul, ve kterém každé dva nenulové submoduly mají nenulový průnik.

Reference

John A. Beachy (1999). Úvodní přednášky o prstenech a modulech (1. vyd.). Addison-Wesley. ISBN 0-521-64407-0.
Golan, Jonathan S .; Hlava, Tom (1991), Moduly a struktura prstenůMonografie a učebnice čisté a aplikované matematiky, 147Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-8555-0, PAN 1201818
Lam, Tsit-Yuen (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, PAN 1653294
Serge Lang (1993). Algebra (3. vyd.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-55540-9.
Passman, Donald S. (1991), Kurz teorie prstenů„Wadsworth & Brooks / Cole Mathematics Series, Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks / Cole Advanced Books & Software, ISBN 978-0-534-13776-2, PAN 1096302