Skupina znaků - Character group
v matematika, a skupina znaků je skupina reprezentace a skupina podle komplex -hodnota funkce. Tyto funkce lze považovat za jednorozměrné matice reprezentace a také speciální případy skupiny postavy které vznikají v souvisejícím kontextu teorie znaků. Kdykoli je skupina reprezentována maticemi, funkce definovaná pomocí stopa matic se nazývá znak; nicméně, tyto stopy ne obecně tvoří skupinu. Některé důležité vlastnosti těchto jednorozměrných znaků platí pro znaky obecně:
- Znaky jsou neměnné třídy konjugace.
- Znaky neredukovatelných reprezentací jsou ortogonální.
Primární význam skupiny znaků pro konečný abelianské skupiny je v teorie čísel, kde se používá ke konstrukci Dirichletovy postavy. Skupina znaků cyklická skupina také se objeví v teorii diskrétní Fourierova transformace. Pro místně kompaktní abelian skupiny, skupina znaků (s předpokladem kontinuity) je ústřední pro Fourierova analýza.
Předkola
Nechat G být abelianskou skupinou. Funkce mapování skupiny na nenulová komplexní čísla se nazývá a charakter z G pokud je to skupinový homomorfismus z na - to je, pokud pro všechny .
Li F je znak konečné skupiny G, pak každá hodnota funkce F(G) je kořen jednoty, protože pro každého tady existuje takhle , a tedy .
Každá postava F je konstanta na třídách konjugace G, to znamená, F(hgh−1) = F(G). Z tohoto důvodu se postavě někdy říká a funkce třídy.
Konečná abelianská skupina objednat n má přesně n odlišné znaky. Ty jsou označeny F1, ..., Fn. Funkce F1 je triviální reprezentace, kterou dává pro všechny . Říká se tomu hlavní postava G.; ostatní se nazývají jiné než hlavní znaky.
Definice
Li G je abelian skupina, pak sada znaků Fk tvoří abelianskou skupinu pod bodovým násobením. To je produkt postav a je definováno pro všechny . Tato skupina je skupina znaků G. a někdy se označuje jako . Prvek identity je hlavní postava F1a inverzní znak Fk je jeho vzájemná 1 /Fk. Li je konečné objednávky n, pak je také v pořádku n. V tomto případě od pro všechny , inverzní znak je roven komplexní konjugát.
Ortogonalita postav
Zvažte matice A = A(G), jejichž maticové prvky jsou kde je kth prvek G.
Součet položek v jtř. řada A darováno
- -li , a
- .
Součet položek v kth sloupec A darováno
- -li , a
- .
Nechat označit konjugovat transponovat z A. Pak
- .
To implikuje požadovaný vztah ortogonality pro postavy: tj.
- ,
kde je Kroneckerova delta a je komplexní konjugát .
Viz také
Reference
- Viz kapitola 6 Apostol, Tom M. (1976), Úvod do analytické teorie čísel„Pregraduální texty z matematiky, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, PAN 0434929, Zbl 0335.10001