Reprezentace oscilátoru - Oscillator representation

v matematika, reprezentace oscilátoru je projektivní jednotkové zastoupení z symplektická skupina, nejprve vyšetřováno Irving Segal, David Shale, a André Weil. Přirozené rozšíření zastoupení vede k a poloskupina z operátory kontrakce, představený jako semigroup oscilátoru podle Roger Howe v roce 1988. Poloskupinu předtím studovali zejména matematici a fyzici Felix Berezin v šedesátých letech. Nejjednodušší příklad v jedné dimenzi je dán SU (1,1). Funguje jako Möbiovy transformace na prodloužené složité letadlo opouští jednotkový kruh neměnný. V takovém případě je zobrazení oscilátoru jednotkové zobrazení a dvojitý kryt SU (1,1) a poloskupina oscilátoru odpovídá zastoupení operátorů kontrakce poloskupiny v SL (2,C) souhlasí s Möbiovy transformace které berou jednotka disku do sebe.

Operátoři kontrakce, určení pouze po značku, mají jádra to jsou Gaussovské funkce. Na infinitezimální úroveň je poloskupina popsána kuželem v Lež algebra SU (1,1), které lze identifikovat pomocí a světelný kužel. Stejný rámec se zobecňuje na symplektická skupina ve vyšších dimenzích, včetně jeho analogu v nekonečných dimenzích. Tento článek podrobně vysvětluje teorii pro SU (1,1) a shrnuje, jak lze tuto teorii rozšířit.

Historický přehled

Matematická formulace kvantová mechanika podle Werner Heisenberg a Erwin Schrödinger byl původně ve smyslu neomezený operátoři s vlastním nastavením na Hilbertův prostor. Základní operátoři odpovídající poloze a hybnosti uspokojují Heisenberga komutační vztahy. Kvadratické polynomy v těchto operátorech, které zahrnují harmonický oscilátor, jsou také uzavřeny při převzetí komutátory.

Velké množství teorie operátorů byl vyvinut ve 20. a 30. letech 20. století, aby poskytl přísný základ kvantové mechaniky. Část teorie byla formulována z hlediska unitární skupiny provozovatelů, převážně prostřednictvím příspěvků Hermann Weyl, Marshall Stone a John von Neumann. Na druhé straně byly tyto výsledky v matematické fyzice zahrnuty do matematické analýzy, počínaje poznámkami z roku 1933 Norbert Wiener, kteří používali tepelné jádro pro harmonický oscilátor odvodit vlastnosti Fourierova transformace.

Jedinečnost Heisenbergových komutačních vztahů, jak je formulována v Stone – von Neumannova věta, byl později interpretován uvnitř teorie reprezentace skupin, zejména teorie indukované reprezentace iniciován George Mackey. Kvadratické operátory byly chápány v pojmech a projektivní unitární reprezentace skupiny SU (1,1) a její Lež algebra. Irving Segal a David Shale zobecnil tuto konstrukci na symplektická skupina v konečné a nekonečné dimenzi - ve fyzice se tomu často říká bosonická kvantizace: je konstruována jako symetrická algebra nekonečně prostorného prostoru. Segal a Shale se případem také zabývali fermionická kvantizace, který je konstruován jako vnější algebra nekonečně dimenzionálního Hilbertovho prostoru. Ve zvláštním případě teorie konformního pole v rozměrech 1 + 1 se obě verze stávají rovnocennými prostřednictvím takzvané „korespondence boson-fermion“. Platí to nejen v analýze, kde mezi bosonickými a fermionickými Hilbertovými prostory existují unitární operátory, ale také v matematické teorii algebry operátoru vrcholu. Operátoři vrcholů samy původně vznikly koncem šedesátých let v roce teoretická fyzika, zejména v teorie strun.

André Weil později rozšířil stavbu na p-adic Lie skupiny, což ukazuje, jak lze tyto nápady uplatnit teorie čísel, zejména poskytnout skupinové teoretické vysvětlení theta funkce a kvadratická vzájemnost. Několik fyziků a matematiků pozorovalo, že operátoři tepelných jader odpovídající harmonickému oscilátoru byli spojeni s a komplexifikace SU (1,1): toto nebyl celý SL (2,C), ale místo toho složitá poloskupina definovaná přirozenou geometrickou podmínkou. Teorie reprezentace této poloskupiny a její zobecnění v konečné a nekonečné dimenzi má aplikace jak v matematice, tak v teoretické fyzice.^[1]

Poloskupiny v SL (2, C)

Skupina:

${ displaystyle G = operatorname {SU} (1,1) = left { left. { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}} right || alpha | ^ {2} - | beta | ^ {2} = 1 right },}$

je podskupina G_C = SL (2,C), skupina komplexních matic 2 × 2 s determinantem 1. If G₁ = SL (2,R) pak

${ displaystyle G = CG_ {1} C ^ {- 1}, qquad C = { begin {pmatrix} 1 & i i & 1 end {pmatrix}}.}$

Toto následuje, protože odpovídající Möbiova transformace je Cayleyova transformace který nese horní polovina roviny na jednotkový disk a skutečná čára na jednotkový kruh.

Skupina SL (2,R) je generován jako abstraktní skupina

${ displaystyle J = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}}}$

a podskupina dolních trojúhelníkových matic

${ displaystyle left { left. { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}} right | a, b in mathbf {R}, a> 0 right }.}$

Opravdu obíhat vektoru

${ displaystyle v = { begin {pmatrix} 0 1 end {pmatrix}}}$

v podskupině generované těmito maticemi je snadno vidět celá R² a stabilizátor z proti v G₁ leží uvnitř této podskupiny.

Lieova algebra ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ SU (1,1) se skládá z matic

${ displaystyle { begin {pmatrix} ix & w { overline {w}} & - ix end {pmatrix}}, quad x in mathbf {R}.}$

Období 2 automorfismus σ z G_C

${ displaystyle sigma (g) = M { overline {g}} M ^ {- 1},}$

s

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0 end {pmatrix}},}$

má podskupinu s pevným bodem G od té doby

${ displaystyle sigma { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { overline {d}} & { overline {c}} { overline {b }} & { overline {a}} end {pmatrix}}.}$

Podobně stejný vzorec definuje období 2 automorfismu σ Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c}}$ z G_C, komplexní matice s nulovou stopou. Standardní základ ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c}}$ přes C darováno

${ displaystyle L_ {0} = { begin {pmatrix} {1 over 2} & 0 0 & - {1 over 2} end {pmatrix}}, quad L _ {- 1} = { begin { pmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {pmatrix}}, quad L_ {1} = { begin {pmatrix} 0 & 0 - 1 & 0 end {pmatrix}}.}$

Tedy pro −1 ≤ m, n ≤ 1

${ displaystyle [L_ {m}, L_ {n}] = (m-n) L_ {m + n}.}$

Tady je přímý součet rozklad

${ displaystyle { mathfrak {g}} _ {c} = { mathfrak {g}} oplus i { mathfrak {g}},}$

kde ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je +1 vlastní prostor σ a ${ displaystyle i { mathfrak {g}}}$ vlastní prostor –1.

Matice X v ${ displaystyle i { mathfrak {g}}}$ mít formu

${ displaystyle X = { begin {pmatrix} x & w - { overline {w}} & - x end {pmatrix}}.}$

Všimněte si, že

${ displaystyle - det X = x ^ {2} - | w | ^ {2}.}$

Kužel C v ${ displaystyle i { mathfrak {g}}}$ je definována dvěma podmínkami. První je ${ displaystyle det X <0.}$ Podle definice je tato podmínka zachována pod časování podle G. Od té doby G je připojen, ponechává obě komponenty s X > 0 a X <0 invariantní. Druhá podmínka je ${ displaystyle x <0.}$

Skupina G^C působí Möbiovy transformace na rozšířenou komplexní rovinu. Podskupina G působí jako automorfismy disku jednotky D. Poloskupina H z G^C, nejprve zvážil Olshanskii (1981), lze definovat geometrickou podmínkou:

${ displaystyle g ({ overline {D}}) podmnožina D.}$

Poloskupinu lze explicitně popsat pomocí kužele C:^[2]

${ displaystyle H = G cdot exp (C) = exp (C) cdot G.}$

Ve skutečnosti matice X lze konjugovat s prvkem G do matice

${ displaystyle Y = { begin {pmatrix} -y & 0 0 & y end {pmatrix}}}$

s

${ displaystyle y = { sqrt {x ^ {2} - | w | ^ {2}}}> 0.}$

Protože Möbiova transformace odpovídající exp Y posílá z na E^−2yz, z toho vyplývá, že pravá strana leží v poloskupině. Naopak pokud G leží v H nese uzavřený disk disku na menší uzavřený disk v jeho vnitřku. Konjugace s prvkem G, menší disk může být považován za střed 0. Ale pak pro vhodné yprvek ${ displaystyle e ^ {- Y} g}$ nese D na sobě tak spočívá G.

Podobný argument ukazuje, že uzavření H, také poloskupina, je dána

${ displaystyle { overline {H}} = {g in operatorname {SL} (2, mathbf {C}) | gD subseteq D } = G cdot exp { overline {C}} = exp { overline {C}} cdot G.}$

Z výše uvedeného tvrzení o konjugaci to vyplývá

${ displaystyle H = GA _ {+} G,}$

kde

${ displaystyle A _ {+} = left { left. { begin {pmatrix} e ^ {- y} & 0 0 & e ^ {y} end {pmatrix}} right | y> 0 right }.}$

Li

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} v H}$

pak

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {a}} & { overline {b}} { overline {c}} & { overline {d}} end {pmatrix}}, quad { begin {pmatrix} a & -c - b & d end {pmatrix}} v H,}$

protože toto se získá převzetím transpozice a konjugací diagonální matice se vstupy ± 1. Proto H také obsahuje

${ displaystyle { begin {pmatrix} { overline {a}} & - { overline {c}} - { overline {b}} & { overline {d}} end {pmatrix}}. }$

což dává inverzní matici, pokud původní matice leží v SU (1,1).

Další výsledek v konjugaci následuje konstatováním, že každý prvek H musí zafixovat bod D, který konjugací s prvkem G lze považovat za 0. Pak prvek H má formu

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}}, qquad | a | <1 quad { text {and}} quad | b | <| a | ^ {- 1} - | a |.}$

Sada takových nižších trojúhelníkových matic tvoří podskupinu H₀ z H.

Od té doby

${ displaystyle M { begin {pmatrix} x & 0 0 & x ^ {- 1} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} x & 0 ba ^ {- 1} (xx ^ {- 1}) & x ^ {- 1} end {pmatrix}} M,}$

v každé matici H₀ je konjugován s diagonální maticí maticí M v H₀.

Podobně každá jednoparametrická poloskupina S(t) v H opravuje stejný bod v D tak je konjugován s prvkem G do jednoparametrické poloskupiny v H₀.

Z toho vyplývá, že existuje matice M v H₀ takhle

${ displaystyle MS (t) = S_ {0} (t) M,}$

s S₀(t) úhlopříčka. Podobně existuje matice N v H₀ takhle

${ displaystyle S (t) N = NS_ {0} (t),}$

Poloskupina H₀ generuje podskupinu L komplexních dolních trojúhelníkových matic s determinantem 1 (daných výše uvedeným vzorcem s A ≠ 0). Jeho Lieova algebra se skládá z matic formuláře

${ displaystyle Z = { begin {pmatrix} z ​​& 0 w & -z end {pmatrix}}.}$

Zejména jeden parametr semigroup exp tZ leží v H₀ pro všechny t > 0, pokud a jen pokud ${ displaystyle Re z <0}$ a ${ displaystyle | Re z |> { tfrac {1} {2}} | w |.}$

To vyplývá z kritéria pro H nebo přímo ze vzorce

${ displaystyle exp Z = { begin {pmatrix} e ^ {z} & 0 f (z) w & e ^ {- z} end {pmatrix}}, qquad f (z) = { sinh z přes z}.}$

Je známo, že exponenciální mapa není surjektivní v tomto případě, i když je to surjektivní pro celou skupinu L. Toto následuje, protože operace kvadratury není surjektivní H. Protože čtverec prvku opravuje 0 pouze v případě, že původní prvek opravuje 0, stačí to dokázat H₀. Vezměte α s | α | <1 a

${ displaystyle left | alpha + alpha ^ {- 1} right | <| alpha | + | alpha ^ {- 1} |.}$

Li A = α² a

${ displaystyle b = (1- delta) (| a | ^ {- 1} - | a |),}$

s

${ displaystyle (1- delta) ^ {2} = {| alpha + alpha ^ {- 1} | over | alpha | + | alpha ^ {- 1} |},}$

pak matice

${ displaystyle { begin {pmatrix} a & 0 b & a ^ {- 1} end {pmatrix}}}$

nemá druhou odmocninu v H₀. Druhá odmocnina by měla formu

${ displaystyle { begin {pmatrix} alpha & 0 beta & alpha ^ {- 1} end {pmatrix}}.}$

Na druhou stranu,

${ displaystyle | beta | = {b over | alpha + alpha ^ {- 1} |} = {| alpha | ^ {- 1} - | alpha | přes 1- delta}> | alpha | ^ {- 1} - | alpha |.}$

Uzavřená poloskupina ${ displaystyle { overline {H}}}$ je maximální v SL (2,C): jakákoli větší poloskupina musí být celá SL (2,C).^{[3][4][5][6][7]}

Pomocí výpočtů motivovaných teoretickou fyzikou, Ferrara a kol. (1973) představil poloskupinu ${ displaystyle H}$, definovaný souborem nerovností. Bez identifikace ${ displaystyle H}$ jako kompresní poloskupina stanovili maximálnost ${ displaystyle { overline {H}}}$. Při použití definice jako kompresní poloskupiny se maximalita redukuje na kontrolu toho, co se stane při přidání nové frakční transformace ${ displaystyle g}$ na ${ displaystyle { overline {H}}}$. Myšlenka důkazu závisí na zvážení pozic obou disků ${ displaystyle g (D)}$ a ${ displaystyle D}$. V klíčových případech jeden disk obsahuje druhý nebo jsou disjunktní. V nejjednodušších případech ${ displaystyle g}$ je inverzní funkcí změny měřítka nebo ${ displaystyle g (z) = - 1 / z}$. V obou případech ${ displaystyle g}$ a ${ displaystyle H}$ generovat otevřené sousedství 1 a tedy celé SL (2, C)

Později Lawson (1998) dal další přímější způsob, jak dokázat maximalitu tím, že nejprve ukázal, že existuje G v S odesílání D na disk D^C, |z| > 1. Ve skutečnosti, pokud ${ displaystyle x in S setminus { overline {H}},}$ pak je tu malý disk D₁ v D takhle xD₁ leží v D^C. Pak pro některé h v H, D₁ = hD. Podobně yxD₁ = D^C pro některé y v H. Tak G = yxh leží v S a pošle D na D^C. Z toho vyplývá, že G² opravuje disk jednotky D tak leží v SU (1,1). Tak G⁻¹ leží v S. Li t leží v H pak tgD obsahuje gD. Proto ${ displaystyle g ^ {- 1} t ^ {- 1} g in { overline {H}}.}$ Tak t⁻¹ leží v S a proto S obsahuje otevřené sousedství 1. Proto S = SL (2,C).

Přesně stejný argument funguje i pro Möbiovy transformace Rⁿ a otevřená poloskupina s uzavřenou sférou jednotek ||X|| ≤ 1 do otevřené jednotkové koule ||X|| <1. Uzávěr je maximální správná poloskupina ve skupině všech Möbiových transformací. Když n = 1, uzávěr odpovídá Möbiově transformaci reálné linie, přičemž do sebe vezme uzavřený interval [–1,1].^[8]

Poloskupina H a jeho uzavření má další zděděnou strukturu G, jmenovitě inverze na G sahá až k antiautomorfismus z H a jeho uzavření, které opravuje prvky v exp C a jeho uzavření. Pro

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}},}$

antiautomorfismus je dán vztahem

${ displaystyle g ^ {+} = { begin {pmatrix} { overline {a}} & - { overline {c}} - { overline {b}} & { overline {d}} konec {pmatrix}}}$

a rozšiřuje se na antiautomorfismus SL (2,C).

Podobně antiautomorfismus

${ displaystyle g ^ { dagger} = { begin {pmatrix} { overline {d}} & - { overline {b}} - { overline {c}} & { overline {a}} end {pmatrix}}}$

listy G₁ invariantní a opraví prvky v exp C₁ a jeho uzavření, takže má analogické vlastnosti pro poloskupinu v G₁.

Komutační vztahy Heisenberga a Weyla

Nechat ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ být prostorem Schwartzovy funkce na R. Je hustý v Hilbertův prostor L²(R) z čtvercově integrovatelné funkce na R. Podle terminologie kvantová mechanika, operátor „hybnosti“ P a operátor „pozice“ Q jsou definovány na ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ podle

${ displaystyle Pf (x) = pokud '(x), qquad Qf (x) = xf (x).}$

Tam operátoři splňují Heisenbergův komutační vztah

${ displaystyle PQ-QP = iI.}$

Oba P a Q jsou samočinné pro vnitřní produkt na ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ zdědil od L²(R).

Dvě jednotkové skupiny parametrů U(s) a PROTI(t) lze definovat na ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ a L²(R) od

${ displaystyle U (s) f (x) = f (x-s), qquad V (t) f (x) = e ^ {ixt} f (x).}$

Podle definice

${ displaystyle {d over ds} U (s) f = iPU (s) f, qquad {d over dt} V (t) f = iQV (t) f}$

pro ${ displaystyle f in { mathcal {S}}}$, takže to formálně

${ displaystyle U (s) = e ^ {iPs}, qquad V (t) = e ^ {iQt}.}$

Z definice je bezprostřední, že se jeden parametr seskupuje U a PROTI uspokojit Weylův komutační vztah

${ displaystyle U (s) V (t) = e ^ {- ist} V (t) U (s).}$

Realizace U a PROTI na L²(R) se nazývá Schrödingerova reprezentace.

Fourierova transformace

The Fourierova transformace je definováno na ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ podle^[9]

${ displaystyle { widehat {f}} ( xi) = {1 nad { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ {- ix xi} , dx.}$

Definuje spojitou mapu ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ do sebe pro svou přirozenou topologii.

Integrace kontury ukazuje, že funkce

${ displaystyle H_ {0} (x) = {e ^ {- x ^ {2} / 2} nad { sqrt {2 pi}}}}$

je jeho vlastní Fourierova transformace.

Na druhou stranu integrace po částech nebo diferenciace pod integrálem,

${ displaystyle { widehat {Pf}} = - Q { widehat {f}}, qquad { widehat {Qf}} = P { widehat {f}}.}$

Z toho vyplývá, že provozovatel zapnut ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ definován

${ displaystyle Tf (x) = { widehat { widehat {f}}} (- x)}$

dojíždí s oběma Q (a P). Na druhou stranu,

${ displaystyle TH_ {0} = H_ {0}}$

a od té doby

${ displaystyle g (x) = {f (x) -f (a) H_ {0} (x) / H_ {0} (a) nad x-a}}$

leží v ${ displaystyle { mathcal {S}}}$, z toho vyplývá, že

${ displaystyle T (x-a) g | _ {x = a} = (x-a) Tg | _ {x = a} = 0}$

a tudíž

${ displaystyle Tf (a) = f (a).}$

To znamená Fourierův inverzní vzorec:

${ displaystyle f (x) = {1 nad { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} { widehat {f}} ( xi) e ^ {ix xi} , d xi}$

a ukazuje, že Fourierova transformace je izomorfismem ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ na sebe.

Podle Fubiniho věty

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { widehat {g}} (x) , dx = {1 over { sqrt {2 pi}}} iint f (x) g ( xi) e ^ {- ix xi} , dxd xi = int _ {- infty} ^ { infty} { widehat {f}} ( xi) g ( xi) , d xi.}$

V kombinaci s inverzním vzorcem to znamená, že Fourierova transformace zachovává vnitřní produkt

${ displaystyle left ({ widehat {f}}, { widehat {g}} right) = (f, g)}$

definuje tedy izometrii ${ displaystyle { mathcal {S}}}$ na sebe.

Hustotou se rozšiřuje na jednotný operátor L²(R), jak tvrdí Plancherelův teorém.

Stone – von Neumannova věta

Předpokládat U(s) a PROTI(t) jsou jedna parametrická jednotná skupina v Hilbertově prostoru ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ uspokojení Weylových komutačních vztahů

${ displaystyle U (s) V (t) = e ^ {- ist} V (t) U (s).}$

Pro ${ displaystyle F (s, t) v { mathcal {S}} ( mathbf {R} krát mathbf {R}),}$ nechat^[10][11]

${ displaystyle F ^ { vee} (x, y) = {1 nad { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} F (t, y) e ^ {-itx} , dt}$

a definovat omezený operátor na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ podle

${ displaystyle T (F) = iint F ^ { vee} (x, x + y) U (x) V (y) , dxdy.}$

Pak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T (F) T (G) & = T (F star G) T (F) ^ {*} & = T (F ^ {*}) end {zarovnáno }}}$

kde

${ displaystyle { begin {zarovnáno} (F hvězda G) (x, y) & = int F (x, z) G (z, y) , dz F ^ {*} (x, y ) & = { overline {F (y, x)}} end {aligned}}}$

Provozovatelé T(F) mají důležité nedegenerační majetek: lineární rozpětí všech vektorů T(F) ξ je hustá ${ displaystyle { mathcal {H}}}$.

Opravdu, pokud fds a gdt definovat míry pravděpodobnosti s kompaktní podporou, pak rozmazané operátory

${ Displaystyle U (f) = int U (s) f (s) , ds, qquad V (g) = int V (t) g (t) , dt}$

uspokojit

${ displaystyle | U (f) |, | V (g) | leq 1}$

a sbíhají se do silná topologie operátora operátorovi identity, pokud se podpora opatření sníží na 0.

Od té doby U(F)PROTI(G) má formu T(F), následuje nedegenerace.

Když ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ je Schrödingerovo zastoupení na L²(R), operátor T(F) darováno

${ displaystyle T (F) f (x) = int F (x, y) f (y) , dy.}$

Z tohoto vzorce vyplývá, že U a PROTI společně jednají neredukovatelně podle Schrödingerovy reprezentace, protože to platí pro operátory dané jádry, která jsou Schwartzovými funkcemi.

Naopak vzhledem k reprezentaci Weylových komutačních vztahů na ${ displaystyle { mathcal {H}}}$, vede k nedegenerované reprezentaci * -algebry operátorů jádra. Ale všechna taková znázornění jsou na ortogonálním přímém součtu kopií L²(R) s akcí na každé kopii, jak je uvedeno výše. Jedná se o přímé zobecnění elementárního faktu, že reprezentace N × N matice jsou na přímých součtech standardního zobrazení na C^N. Důkaz pomocí maticové jednotky funguje stejně dobře v nekonečných rozměrech.

Jednotné skupiny parametrů U a PROTI ponechat každou součást invariantní, což vyvolá standardní akci na Schrödingerově znázornění.

Z toho zejména vyplývá Stone – von Neumannova věta: Schrödingerova reprezentace je jedinečná neredukovatelná reprezentace Weylových komutačních vztahů v Hilbertově prostoru.

Reprezentace SL oscilátoru (2, R)

Dáno U a PROTI uspokojení Weylových komutačních vztahů, definujte

${ displaystyle W (x, y) = e ^ { frac {ixy} {2}} U (x) V (y).}$

Pak

${ displaystyle W (x_ {1}, y_ {1}) W (x_ {2}, y_ {2}) = e ^ {i (x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2} )} W (x_ {1} + x_ {2}, y_ {1} + y_ {2}),}$

aby Ž definuje projektivní jednotkové vyjádření R² s kocyklem daným

${ displaystyle omega (z_ {1}, z_ {2}) = e ^ {iB (z_ {1}, z_ {2})}}}$

kde ${ displaystyle z = x + iy = (x, y)}$ a B je symlektická forma na R² dána

${ displaystyle B (z_ {1}, z_ {2}) = x_ {1} y_ {2} -y_ {1} x_ {2} = Im z_ {1} { overline {z_ {2}}} .}$

Podle věty Stone – von Neumann existuje jedinečná neredukovatelná reprezentace odpovídající tomuto cyklu.

Z toho vyplývá, že pokud G je automorfismem R² zachování formy B, tj. prvek SL (2,R), pak existuje unitární π (G) zapnuto L²(R) splňující kovarianční vztah

${ displaystyle pi (g) W (z) pi (g) ^ {*} = W (g (z)).}$

Podle Schurovo lemma unitární π (G) je jedinečný až do násobení skalárem ζ s | ζ | = 1, takže π definuje projektivní jednotkovou reprezentaci SL (2,R).

To lze zjistit přímo pouze pomocí neredukovatelnosti Schrödingerovy reprezentace. Neredukovatelnost byla přímým důsledkem skutečnosti provozovatelů

${ displaystyle iint K (x, y) U (x) V (y) , dxdy,}$

s K. funkce Schwartz přesně odpovídá operátorům daným jádry s funkcemi Schwartz.

Jsou husté v prostoru Operátoři Hilbert – Schmidt, který, protože obsahuje operátory konečné pozice, jedná nesnížitelně.

Existenci π lze prokázat pouze pomocí neredukovatelnosti Schrödingerovy reprezentace. Provozovatelé jsou jedineční až po značku s

${ displaystyle pi (gh) = pm pi (g) pi (h),}$

takže 2kocyklus pro projektivní znázornění SL (2,R) nabývá hodnot ± 1.

Ve skutečnosti skupina SL (2,R) je generován maticemi formuláře

${ displaystyle g_ {1} = { begin {pmatrix} a & 0 0 & a ^ {- 1} end {pmatrix}}, , , g_ {2} = { begin {pmatrix} 1 & 0 b & 1 end {pmatrix}}, , , g_ {3} = { begin {pmatrix} 0 & 1 - 1 & 0 end {pmatrix}},}$

a lze přímo ověřit, že následující operátory splňují výše uvedené kovarianční vztahy:

${ displaystyle pi (g_ {1}) f (x) = pm a ^ {- { frac {1} {2}}} f (a ^ {- 1} x), , , pi (g_ {2}) f (x) = pm e ^ {- ibx ^ {2}} f (x), , , pi (g_ {3}) f (x) = pm e ^ { frac {i pi} {8}} { widehat {f}} (x).}$

Generátory G_i uspokojit následující Bruhatovy vztahy, které jednoznačně specifikují skupinu SL (2,R):^[12]

${ displaystyle g_ {3} ^ {2} = g_ {1} (- 1), , , g_ {3} g_ {1} (a) g_ {3} ^ {- 1} = g_ {1} (a ^ {- 1}), , , g_ {1} (a) g_ {2} (b) g_ {1} (a) ^ {- 1} = g_ {2} (a ^ {- 2 } b), , , g_ {1} (a) = g_ {3} g_ {2} (a ^ {- 1}) g_ {3} g_ {2} (a) g_ {3} g_ {2 } (a ^ {- 1}).}$

Přímým výpočtem lze ověřit, že tyto vztahy jsou splněny až do znaménka příslušných operátorů, které stanoví, že cyklus má hodnoty ± 1.

K dispozici je koncepčnější vysvětlení pomocí explicitní konstrukce metaplektická skupina jako dvojitý obal SL (2,R).^[13] SL (2,R) působí Möbiovy transformace na horní polovina roviny H. Navíc pokud

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}},}$

pak

${ displaystyle {dg (z) over dz} = {1 over (cz + d) ^ {2}}.}$

Funkce

${ displaystyle m (g, z) = cz + d}$

uspokojuje vztah 1 -cyklu

${ displaystyle m (gh, z) = m (g, hz) m (h, z).}$

Pro každého G, funkce m(G,z) nezmizí H a proto má dvě možné holomorfní druhé odmocniny. The metaplektická skupina je definována jako skupina

${ displaystyle operatorname {Mp} (2, mathbf {R}) = {(g, G) | G (z) ^ {2} = m (g, z) }.}$

Podle definice se jedná o dvojitý obal SL (2,R) a je připojen. Násobení je dáno

${ displaystyle (g, G) cdot (h, H) = (gh, K),}$

kde

${ displaystyle K (z) = G (hz) H (z).}$

Tedy pro prvek G metaplektické skupiny existuje jednoznačně určená funkce m(G,z)^1/2 uspokojení vztahu 1-cyklu.

Li ${ displaystyle Im z> 0}$, pak

${ displaystyle f_ {z} (x) = e ^ {izx ^ {2} / 2}}$

leží v L² a nazývá se a soudržný stav.

Tyto funkce leží na jedné oběžné dráze SL (2,R) generované

${ displaystyle f_ {i} (x) = e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}},}$

od G v SL (2,R)

${ displaystyle pi ((g ^ {t}) ^ {- 1}) f_ {z} (x) = pm m (g, z) ^ {- 1/2} f_ {gz} (x). }$

Přesněji, pokud G leží v Mp (2,R) pak

${ displaystyle pi ((g ^ {t}) ^ {- 1}) f_ {z} (x) = m (g, z) ^ {- 1/2} f_ {gz} (x).}$

Opravdu, pokud to platí pro G a h, platí také pro jejich produkt. Na druhou stranu je vzorec snadno zkontrolován, pokud G^t má formu G_i a to jsou generátory.

To definuje obyčejnou jednotnou reprezentaci metaplektické skupiny.

Prvek (1, –1) funguje jako násobení –1 zapnuto L²(R), z čehož vyplývá, že cocycle na SL (2,R) bere pouze hodnoty ± 1.

Maslov index

Jak je vysvětleno v Lion & Vergne (1980), 2-kolečko na SL (2,R) spojené s metaplektickou reprezentací, nabývající hodnoty ± 1, je určeno pomocí Maslov index.

Vzhledem k tomu, tři nenulové vektory u, proti, w v letadle, jejich Maslov index ${ displaystyle tau (u, v, w)}$ je definován jako podpis z kvadratická forma na R³ definován

${ displaystyle Q (a, b, c) = abB (u, v) + bcB (v, w) + caB (w, u).}$

Vlastnosti Maslovova indexu:

• záleží na jednorozměrných podprostorech překlenutých vektory
• je neměnný pod SL (2,R)
• střídá se ve svých argumentech, tj. jeho znaménko se mění, pokud jsou dva z argumentů zaměněny
• zmizí, pokud se shodují dva podprostory
• nabývá hodnot –1, 0 a +1: pokud u a proti uspokojit B(u,proti) = 1 a w = au + bv, pak Maslov index je nula, pokud ab = 0 a jinak se rovná mínus znaménko ab
• ${ displaystyle displaystyle { tau (v, w, z) - tau (u, w, z) + tau (u, v, z) - tau (u, v, w) = 0}}$

Výběr nenulového vektoru u₀, z toho vyplývá, že funkce

${ displaystyle Omega (g, h) = exp - { pi i nad 4} tau (u_ {0}, gu_ {0}, ghu_ {0})}$

definuje 2-kolečko na SL (2,R) s hodnotami v osmých kořenech jednoty.

Modifikací 2-cyklu lze definovat 2-cyklus s hodnotami v ± 1 spojenými s metaplektickým cyklem.^[14]

Ve skutečnosti dané nenulové vektory u, proti v rovině definovat F(u,proti) být

• i krát znamení B(u,proti) pokud u a proti nejsou proporcionální
• znaménko λ pokud u = λproti.

Li

${ displaystyle b (g) = f (u_ {0}, gu_ {0}),}$

pak

${ displaystyle Omega (g, h) ^ {2} = b (gh) b (g) ^ {- 1} b (h) ^ {- 1}.}$

Zástupci π (G) v metaplektické reprezentaci lze zvolit tak, že

${ displaystyle pi (gh) = omega (g, h) pi (g) pi (h)}$

kde 2-cyklus ω je dán vztahem

${ displaystyle omega (g, h) = Omega (g, h) beta (gh) ^ {- 1} beta (g) beta (h),}$

s

${ displaystyle beta (g) ^ {2} = b (g).}$

Holomorfní Fockův prostor

Holomorfní Fockův prostor (také známý jako Segal – Bargmannův prostor) je definován jako vektorový prostor ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ holomorfních funkcí F(z) zapnuto C s

${ displaystyle {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} | f (z) | ^ {2} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy}$

konečný. Má vnitřní produkt

${ displaystyle (f_ {1}, f_ {2}) = {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} f_ {1} (z) { overline {f_ {2} (z) }} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy.}$

${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je Hilbertův prostor s ortonormálním základem

${ displaystyle e_ {n} (z) = {z ^ {n} přes { sqrt {n!}}}, quad n geq 0.}$

Navíc rozšíření výkonové řady holomorfní funkce v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na tomto základě rozšiřuje.^[15] Tak pro z v C

${ displaystyle | f (z) | = levý | součet _ {n geq 0} a_ {n} z ^ {n} pravý | leq | f | e ^ {| z | ^ {2 } / 2},}$

takže hodnocení na z je dává spojitou lineární funkci na ${ displaystyle { mathcal {F}}.}$ Ve skutečnosti

${ displaystyle f (a) = (f, E_ {a})}$

kde^[16]

${ displaystyle E_ {a} (z) = součet _ {n geq 0} {(E_ {a}, e_ {n}) z ^ {n} přes { sqrt {n!}}} = součet _ {n geq 0} {z ^ {n} { overline {a}} ^ {n} over n!} = e ^ {z { overline {a}}}.}$

Tedy zejména ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je reprodukce jádra Hilbertova prostoru.

Pro F v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a z v C definovat

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (z) f (w) = e ^ {- | z | ^ {2} / 2} e ^ {w { overline {z}}} f (wz). }$

Pak

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (z_ {1}) W _ { mathcal {F}} (z_ {2}) = e ^ {- i Im z_ {1} { overline {z_ {2 }}}} W _ { mathcal {F}} (z_ {1} + z_ {2}),}$

takže toto dává jednotnou reprezentaci Weylových komutačních vztahů.^[17] Nyní

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (a) E_ {0} = e ^ {- | a | ^ {2} / 2} E_ {a}.}$

Z toho vyplývá, že reprezentace ${ displaystyle W _ { mathcal {F}}}$ je neredukovatelný.

Ve skutečnosti každá funkce ortogonální ke všem E_A musí zmizet, aby jejich lineární rozpětí bylo husté ${ displaystyle { mathcal {F}}}$.

Li P je ortogonální projekce dojíždějící s Ž(z), nechť F = PE₀. Pak

${ displaystyle f (z) = (PE_ {0}, E_ {z}) = e ^ {| z | ^ {2}} (PE_ {0}, W _ { mathcal {F}} (z) E_ { 0}) = (PE _ {- z}, E_ {0}) = { overline {f (-z)}}.}$

Jedinou holomorfní funkcí splňující tuto podmínku je konstantní funkce. Tak

${ displaystyle PE_ {0} = lambda E_ {0},}$

s λ = 0 nebo 1. Protože E₀ je cyklický, z toho vyplývá P = 0 nebo Já.

Podle Stone – von Neumannova věta existuje jednotný operátor ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ z L²(R) na ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, jedinečný až do násobení skalárem, prolíná dvě reprezentace Weylových komutačních vztahů. Podle Schurovo lemma a Stavba Gelfand – Naimark, maticový koeficient libovolného vektoru určuje vektor až do skalárního násobku. Protože maticové koeficienty F = E₀ a F = H₀ jsou stejné, z toho vyplývá, že unitární ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je jednoznačně určen vlastnostmi

${ displaystyle W _ { mathcal {F}} (a) { mathcal {U}} = { mathcal {U}} W (a)}$

a

${ displaystyle { mathcal {U}} H_ {0} = E_ {0}.}$

Proto pro F v L²(R)

${ displaystyle { mathcal {U}} f (z) = ({ mathcal {U}} f, E_ {z}) = (f, { mathcal {U}} ^ {*} E_ {z}) = e ^ {- | z | ^ {2}} (f, { mathcal {U}} ^ {*} W _ { mathcal {F}} (z) E_ {0}) = e ^ {- | z | ^ {2}} (W (-z) f, H_ {0}),}$

aby

${ displaystyle { mathcal {U}} f (z) = {1 nad { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (x ^ { 2} + y ^ {2})} e ^ {- 2ixy} f (t + x) e ^ {- t ^ {2} / 2} , dt = {1 nad { sqrt {2 pi} }} int _ {- infty} ^ { infty} B (z, t) f (t) , dt,}$

kde

${ displaystyle B (z, t) = exp [-z ^ {2} -t ^ {2} / 2 + zt].}$

Operátor ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ se nazývá Segal – Bargmannova transformace^[18] a B se nazývá Bargmannovo jádro.^[19]

Adjunkt z ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je dáno vzorcem:

${ displaystyle { mathcal {U}} ^ {*} F (t) = {1 over pi} iint _ { mathbf {C}} B ({ overline {z}}, t) F ( z) , dxdy.}$

Fock model

Působení SU (1,1) na holomorfní Fockův prostor popsal Bargmann (1970) a Itzykson (1967).

Metaplektický dvojitý obal SU (1,1) může být konstruován explicitně jako páry (G, γ) s

${ displaystyle g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}}}$

a

${ displaystyle gamma ^ {2} = alfa.}$

Li G = G₁G₂, pak

${ displaystyle gamma = gamma _ {1} gamma _ {2} left (1 + { beta _ {1} { overline { beta _ {2}}} over alpha _ {1} alpha _ {2}} right) ^ {1/2},}$

pomocí rozšíření výkonové řady o (1 + z)^1/2 pro |z| < 1.

Metaplektická reprezentace je jednotková reprezentace π (G, γ) této skupiny splňující kovarianční vztahy

${ displaystyle pi (g, gamma) W _ { mathcal {F}} (z) pi (g, gamma) ^ {*} = W _ { mathcal {F}} (g cdot z), }$

kde

${ displaystyle g cdot z = alpha z + beta { overline {z}}.}$

Od té doby ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je reprodukce jádra Hilbertova prostoru, jakýkoli omezený operátor T odpovídá jádru danému mocenskou řadou jejích dvou argumentů. Ve skutečnosti, pokud

${ displaystyle K_ {T} (a, b) = (TE _ { overline {b}}, E_ {a}),}$

a F v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$, pak

${ displaystyle TF (a) = (TF, E_ {a}) = (F, T ^ {*} E_ {a}) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C }} F (z) { overline {(T ^ {*} E_ {a}, E_ {z})}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} K_ {T} (a, { overline {z}}) F (z) e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy. }$

Z kovariančních vztahů a analytičnosti jádra to vyplývá S = π (G, γ),

${ displaystyle K_ {S} (a, z) = C cdot exp , {1 nad 2 alpha} ({ overline { beta}} z ^ {2} + 2az- beta a ^ { 2})}$

pro nějakou konstantu C. To ukazuje přímý výpočet

${ displaystyle C = gamma ^ {- 1}}$

vede k běžnému znázornění dvojitého krytu.^[20]

Koherentní stavy lze opět definovat jako oběžnou dráhu E₀ pod metaplektickou skupinou.

Pro w komplex, set

${ displaystyle F_ {w} (z) = e ^ {wz ^ {2} / 2}.}$

Pak ${ displaystyle F_ {w} v { mathcal {F}}}$ jen a jen pokud |w| <1. Zejména F₀ = 1 = E₀. Navíc,

${ displaystyle pi (g, gamma) F_ {w} = ({ overline { alpha}} + { overline { beta}} w) ^ {- { frac {1} {2}}} F_ {gw} = { frac {1} { overline { gamma}}} left (1 + {{ overline { beta}} over { overline { alpha}}} w right) ^ {-1/2} F_ {gw},}$

kde

${ displaystyle gw = { alpha w + beta over { overline { beta}} w + { overline { alpha}}}.}$

Podobně funkce zF_w ležet v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a tvoří oběžnou dráhu metaplektické skupiny:

${ displaystyle pi (g, gamma) [zF_ {w}] (z) = ({ overline { alpha}} + { overline { beta}} w) ^ {- 3/2} zF_ { gw} (z).}$

Od té doby (F_w, E₀) = 1, maticový koeficient funkce E₀ = 1 je dáno vztahem^[21]

${ displaystyle ( pi (g, gamma) 1,1) = gamma ^ {- 1}.}$

Model disku

Projektivní znázornění SL (2,R) zapnuto L²(R) nebo zapnuto ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ rozdělit jako přímý součet dvou neredukovatelných reprezentací, odpovídající sudým a lichým funkcím X nebo z. Dvě reprezentace lze realizovat na Hilbertově prostoru holomorfních funkcí na disku jednotky; nebo pomocí Cayleyovy transformace na horní polovině roviny.^[22][23]

Sudé funkce odpovídají holomorfním funkcím F₊ pro který

${ displaystyle {1 over 2 pi} iint | F _ {+} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {- 1/2} , dxdy + {2 přes pi} iint | F '_ {+} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ { frac {1} {2}} , dxdy}$

je konečný; a liché funkce na holomorfní funkce F_– pro který

${ displaystyle {1 over 2 pi} iint | F _ {-} (z) | ^ {2} (1- | z | ^ {2}) ^ {- 1/2} , dxdy}$

je konečný. Polarizované formy těchto výrazů definují vnitřní produkty.

Akce metaplektické skupiny je dána vztahem

${ displaystyle { begin {aligned} pi _ { pm} (g ^ {- 1}) F _ { pm} (z) & = left ({ overline { beta}} z + { overline { alpha}} right) ^ {- 1 pm { frac {1} {2}}} F _ { pm} (gz) & = left (- { overline { beta}} z + alpha right) ^ {- 1 pm { frac {1} {2}}} F _ { pm} left ({{ overline { alpha}} z- beta over - { overline { beta}} z + alpha} right) && g = { begin {pmatrix} alpha & beta { overline { beta}} & { overline { alpha}} end {pmatrix}} end {zarovnaný}}}$

Neredukovatelnost těchto zobrazení je stanovena standardním způsobem.^[24] Každá reprezentace se rozpadá jako přímý součet jednorozměrných vlastních prostorů rotační skupiny, z nichž každá je generována a C^∞ vektor pro celou skupinu. Z toho vyplývá, že jakýkoli uzavřený invariantní podprostor je generován algebraickým přímým součtem vlastních prostorů, který obsahuje, a že tento součet je invariantní pod nekonečně malou akcí Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$. Na druhou stranu je tato akce neredukovatelná.

Izomorfismus se sudými a lichými funkcemi v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ lze prokázat pomocí Stavba Gelfand – Naimark protože maticové koeficienty spojené s 1 a z v odpovídajících reprezentacích jsou proporcionální. Itzykson (1967) dal další metodu vycházející z map

${ displaystyle U _ {+} (F) (w) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} F (z) e ^ {{ frac {1} {2 }} w { overline {z}} ^ {2}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy,}$

${ displaystyle U _ {-} (F) (w) = { frac {1} { pi}} iint _ { mathbf {C}} F (z) { overline {z}} e ^ {{ frac {1} {2}} w { overline {z}} ^ {2}} e ^ {- | z | ^ {2}} , dxdy,}$

od sudých a lichých částí po funkce na disku jednotky. Tyto mapy proplétají akce metaplektické skupiny uvedené výše a odesílají zⁿ na násobek wⁿ. Stanovení toho U_± by mělo být jednotné určuje vnitřní produkty na funkcích na disku, které lze vyjádřit ve výše uvedené formě.^[25]

I když v těchto reprezentacích operátor L₀ má pozitivní spektrum - vlastnost, která odlišuje holomorfní diskrétní řady reprezentace SU (1,1) - reprezentace nespočívají v diskrétní řadě metaplektické skupiny. Vskutku, Kashiwara & Vergne (1978) poznamenal, že maticové koeficienty nejsou čtvercové integrovatelné, i když jejich třetí síla je.^[26]

Harmonický oscilátor a Hermitovy funkce

Zvažte následující podprostor o L²(R):

${ displaystyle { mathcal {H}} = vlevo {f v L ^ {2} ( mathbf {R}) vlevo | f (x) = p (x) e ^ {- { frac { x ^ {2}} {2}}}, p (x) in mathbf {R} [x] right. right }.}$

Provozovatelé

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X & = Q-iP = {d over dx} + x Y & = Q + iP = - {d over dx} + x end {zarovnáno}}}$

jednat podle ${ displaystyle { mathcal {H}}.}$ X se nazývá operátor vyhlazení a Y the operátor vytvoření. Uspokojují

${ displaystyle { begin {zarovnáno} X & = Y ^ {*} XY & = D + I && D = - {d ^ {2} over dx ^ {2}} + x ^ {2} XY-YX & = 2I XY ^ {n} -Y ^ {n} X & = 2nY ^ {n-1} && { text {podle indukce}} end {zarovnáno}}}$

Definujte funkce

${ displaystyle F_ {n} (x) = Y ^ {n} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {2}}}}$

Tvrdíme, že jsou vlastní funkce harmonického oscilátoru, D. Abychom to dokázali, použijeme výše uvedené komutační vztahy:

${ displaystyle { begin {aligned} DF_ {n} & = DY ^ {n} F_ {0} & = (XY-I) Y ^ {n} F_ {0} & = left (XY ^ {n + 1} -Y ^ {n} vpravo) F_ {0} & = left ( left ((2n + 2) Y ^ {n} + Y ^ {n + 1} X right ) -Y ^ {n} vpravo) F_ {0} & = vlevo ((2n + 1) Y ^ {n} + Y ^ {n + 1} X vpravo) F_ {0} & = (2n + 1) Y ^ {n} F_ {0} + Y ^ {n + 1} XF_ {0} & = (2n + 1) F_ {n} && XF_ {0} = 0 end {zarovnáno }}}$

Dále máme:

${ displaystyle | F_ {n} | _ {2} ^ {2} = 2 ^ {n} n! { sqrt { pi}}.}$