Cuspidal zastoupení - Cuspidal representation - Wikipedia

v teorie čísel, cuspidální reprezentace jsou si jistí reprezentace z algebraické skupiny které se vyskytují diskrétně v ${ displaystyle L ^ {2}}$ mezery. Termín cuspidální je odvozen v určité vzdálenosti od hrotové formy klasické modulární forma teorie. V současné formulaci automorfní reprezentace, nahrazují zastoupení holomorfní funkce; tato vyjádření mohou být z adelické algebraické skupiny.

Když je skupina obecná lineární skupina ${ displaystyle operatorname {GL} _ {2}}$ , cuspidální reprezentace přímo souvisejí s hrotovými formami a Masové formy. Pro případ hrotových forem každý Hecke vlastní forma (nová forma ) odpovídá cuspidální reprezentaci.

Formulace

Nechat G být redukční algebraická skupina nad a pole s číslem K. a nechte A označit adeles z K.. Skupina G(K.) vloží se do skupiny úhlopříčně G(A) zasláním G v G(K.) na n-tici (G_p)_p v G(A) s G = G_p pro všechna (konečná a nekonečná) prvočísla p. Nechat Z označit centrum z G a nechť ω je a kontinuální jednotný znak z Z(K.) Z (A)^× na C^×. Opravte a Haarovo opatření na G(A) a nechte L²₀(G(K.) \ G(A), ω) označují Hilbertův prostor z komplex -hodnota měřitelné funkce, F, na G(A) uspokojující

F(γG) = F(G) pro všechny γ ∈ G(K.)
F(gz) = F(G) ω (z) pro všechny z ∈ Z(A)
${ displaystyle int _ {Z ( mathbf {A}) G (K) , setminus , G ( mathbf {A})} | f (g) | ^ {2} , dg < infty }$
${ displaystyle int _ {U (K) , setminus , U ( mathbf {A})} f (ug) , du = 0}$ pro všechny unipotentní radikály, U, ze všeho správného parabolické podskupiny z G(A).

The vektorový prostor L²₀(G(K.) \ G(A), ω) se nazývá prostor hrotových forem s centrálním znakem ω na G(A). Funkce objevující se v takovém prostoru se nazývá a cuspidální funkce.

Cuspidální funkce generuje a jednotkové zastoupení skupiny G(A) na komplexním Hilbertově prostoru ${ displaystyle V_ {f}}$ generované správnými překlady z F. Tady akce z G ∈ G(A) zapnuto ${ displaystyle V_ {f}}$ darováno

{ displaystyle (g cdot u) (x) = u (xg), qquad u (x) = součet _ {j} c_ {j} f (xg_ {j}) ve V_ {f}}

.

Prostor hrotových forem s centrálním znakem ω se rozkládá na a přímý součet Hilbertových prostorů

{ displaystyle L_ {0} ^ {2} (G (K) setminus G ( mathbf {A}), omega) = { widehat { bigoplus}} _ {( pi, V _ { pi} )} m _ { pi} V _ { pi}}

kde součet skončil neredukovatelné subreprezentace z L²₀(G(K.) \ G(A), ω) a m_$π$ jsou pozitivní celá čísla (tj. ke každé neredukovatelné subreprezentaci dochází u konečný multiplicita). A cuspidální znázornění G(A) je takové subreprezentace ( $π$ , PROTI_$π$) pro některéω.

Skupiny, pro které je multiplicita m_$π$ všichni rovní mají prý vlastnost multiplicity-one.

Viz také

Jacquet modul

Reference

James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Přednášky o Automorphic L-funkcích (2004), kapitola 5.