Temperované zastoupení - Tempered representation

V matematice, a temperované zastoupení lineárního napůl jednoduchá Lieova skupina je zastoupení který má základ, jehož maticové koeficienty ležet v L^str prostor

L^{2 + ε}(G)

pro libovolné ε> 0.

Formulace

Tato podmínka, jak byla právě uvedena, je o něco slabší než podmínka, že jsou maticové koeficienty čtvercově integrovatelný jinými slovy leží v

L²(G),

což by byla definice a diskrétní reprezentace řady. Li G je lineární polojediná Lieova skupina s maximální kompaktní podskupinou K., an přípustné zastoupení ρ z G je temperován, pokud platí výše uvedená podmínka pro K.-konečný maticové koeficienty ρ.

Výše uvedená definice se používá také pro obecnější skupiny, jako např str-adické Lieovy skupiny a konečná centrální rozšíření polojednodušých skutečných algebraických skupin. Definice „temperovaného vyjádření“ má smysl pro svévolné unimodulární místně kompaktní skupiny, ale na skupinách s nekonečnými centry, jako jsou nekonečné centrální rozšíření polojediných Lieových skupin, se nechová dobře a je obvykle nahrazen mírně odlišnou definicí. Přesněji řečeno, neredukovatelné vyjádření se nazývá temperované, pokud je jednotné, když je omezeno na střed Za absolutní hodnoty maticových koeficientů jsou v L^{2 + ε}(G/Z).

Temperované reprezentace na polojednodušých Lieových skupinách byly nejprve definovány a studovány Harish-Chandra (s použitím jiné, ale ekvivalentní definice), který ukázal, že jsou to přesně reprezentace potřebné pro Plancherelův teorém. Byly klasifikovány Knappem a Zuckermanem a používány Langlands v USA Langlandsova klasifikace z neredukovatelné reprezentace a reduktivní Lieova skupina G pokud jde o temperované reprezentace menších skupin.

Dějiny

Neredukovatelné temperované reprezentace byly identifikovány pomocí Harish-Chandra ve své práci o harmonické analýze na a napůl jednoduchá Lieova skupina jako reprezentace, které přispívají k Plancherelův rozměr. Původní definice temperovaného zobrazení, která má určité technické výhody, je ta Postava Harish-Chandra by měla být „temperovaná distribuce“ (viz část níže). Z výsledků Harish-Chandry vyplývá, že je ekvivalentní s elementárnější definicí uvedenou výše. Zdá se, že temperované reprezentace také hrají zásadní roli v teorii automorfní formy. Toto spojení si pravděpodobně poprvé uvědomil Satake (v kontextu Ramanujan-Peterssonova domněnka ) a Robert Langlands a sloužil jako motivace pro Langlands, aby rozvinul svůj klasifikační schéma za neredukovatelné přípustné reprezentace skutečných a str-adické redukční algebraické skupiny, pokud jde o temperované reprezentace menších skupin. Přesné domněnky identifikující místo temperovaných reprezentací v automorfickém spektru byly formulovány později James Arthur a představují jednu z nejaktivněji se rozvíjejících částí moderní teorie automorfních forem.

Harmonická analýza

Temperované reprezentace hrají důležitou roli v harmonické analýze napůl jednoduché Lie skupiny. An neredukovatelné unitární reprezentace polojednoduché Lieovy skupiny G je zmírněn, pokud a pouze v případě, že je na podporu Plancherelův rozměr z G. Jinými slovy, temperované reprezentace jsou přesně třídou reprezentací G objevující se ve spektrálním rozkladu L² funkce ve skupině (zatímco reprezentace diskrétních řad mají silnější vlastnost, že individuální reprezentace má pozitivní spektrální míru). To je v kontrastu se situací pro abelianské a obecněji řešitelné Lieovy skupiny, kde je k odlišnému spektrálnímu rozkladu nutná jiná třída reprezentací. To lze vidět již v nejjednodušším příkladu skupiny aditiv R reálných čísel, u nichž maticové prvky neredukovatelných reprezentací neklesnou na 0 v nekonečnu.

V Langlandsův program, temperované reprezentace skutečných Lieových skupin jsou ty, které pocházejí z jednotných postav tori podle Langlandsovy funkcionality.

Příklady

• The Plancherelův teorém pro polojedinou Lieovu skupinu jsou reprezentace, které nejsou diskrétní řada. To je jasné již v případě skupiny SL₂(R). The reprezentace hlavních řad SL₂(R) jsou temperovány a představují spektrální rozklad funkcí podporovaných na hyperbolických prvcích skupiny. V pravidelném zobrazení SL se však nevyskytují diskrétně₂(R).
• Dva limit reprezentací diskrétních řad SL₂(R) jsou temperované, ale nikoli diskrétní řady (i když se v seznamu neredukovatelných jednotkových zobrazení vyskytují „diskrétně“).
• Pro nesemiplný Ležové skupiny, reprezentace s maticovými koeficienty v L^{2 + ε} ne vždy stačí pro Plancherelův teorém, jak ukazuje příklad skupiny aditiv R reálných čísel a Fourierův integrál; ve skutečnosti všechny neredukovatelné jednotné reprezentace R přispívají k opatření Plancherel, ale žádný z nich nemá maticové koeficienty L^{2 + ε}.
• The doplňkové reprezentace sérií SL₂(R) jsou neredukovatelné jednotné reprezentace, které nejsou temperovány.
• The triviální zastoupení skupiny G je neredukovatelné jednotné vyjádření, které není temperováno, pokud G je kompaktní.

Klasifikace

Neredukovatelné temperované reprezentace polojednoduché Lieovy skupiny byly klasifikovány podle Knapp a Zuckerman  (1976, 1982 ). Ve skutečnosti klasifikovali obecnější třídu reprezentací zvaných základní reprezentace. Li P = MUŽ je Langlandsův rozklad cuspidální parabolické podskupiny, pak je základní reprezentace definována jako parabolicky indukovaná reprezentace spojená s limit zastoupení diskrétní řady z M a jednotné zastoupení abelianské skupiny A. Pokud je limit reprezentace diskrétní řady ve skutečnosti reprezentace diskrétní řady, pak se základní reprezentace nazývá an indukovaná diskrétní řada reprezentace. Jakákoli neredukovatelná temperovaná reprezentace je základní reprezentací a naopak jakákoli základní reprezentace je součtem konečného počtu neredukovatelných temperovaných reprezentací. Přesněji řečeno, jedná se o přímý součet 2^r neredukovatelné temperované reprezentace indexované znaky základní abelianské skupiny R objednávky 2^r (volal R-skupina). Jakákoli základní reprezentace a následně jakákoli neredukovatelná temperovaná reprezentace je součtem indukované diskrétní reprezentace řady. Není však vždy možné reprezentovat neredukovatelné temperované zastoupení jako indukovanou diskrétní reprezentaci řady, a proto je třeba brát v úvahu obecnější třídu základních reprezentací.

Neredukovatelné temperované reprezentace jsou tedy pouze neredukovatelné základní reprezentace a lze je klasifikovat uvedením všech základních reprezentací a výběrem těch, které jsou neredukovatelné, jinými slovy ty, které mají triviální R-skupinu.

Temperované distribuce

Opravte polojedinou Lieovu skupinu G s maximální kompaktní podskupinou K.. Harish-Chandra (1966, oddíl 9) definoval distribuci na G být temperovaný pokud je definován na Schwartzův prostor z G. Schwartzův prostor je zase definován jako prostor plynulých funkcí F na G takové, že za jakékoli skutečné r a jakoukoli funkci G získáno od F působením vlevo nebo vpravo prvky univerzální obklopující algebry Lieovy algebry G, funkce

${displaystyle (1 + sigma) ^ {r} g / Xi}$

je omezený. Zde Ξ je určitá sférická funkce G, invariant pod levým a pravým násobením K., a σ je normou protokolu str, kde prvek G z G se píše jako: G=kppro k v K. a str v P.

Reference

• Cowling, M., Haagerup, U., Howe, R. Téměř L² maticové koeficienty J. Reine Angew. Matematika. 387 (1988), 97-110
• Harish-Chandra (1966), "Diskrétní řada pro polojednodušé Lieovy skupiny. II. Explicitní určení postav", Acta Mathematica, 116 (1): 1–111, doi:10.1007 / BF02392813, ISSN  0001-5962, PAN  0219666
• Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg (1976), „Klasifikace neredukovatelných temperovaných reprezentací semi-jednoduchých Lieových skupin“, Sborník Národní akademie věd Spojených států amerických, 73 (7): 2178–2180, doi:10.1073 / pnas.73.7.2178, ISSN  0027-8424, JSTOR  65732, PAN  0460545, PMC  430485, PMID  16592331
• Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1982), „Klasifikace neredukovatelných temperovaných reprezentací polojednodušých skupin. Pat I“, Annals of Mathematics, Druhá série, 116 (2): 389–455, doi:10.2307/2007066, ISSN  0003-486X, PAN  0672840 Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1982), „Klasifikace neredukovatelných temperovaných reprezentací polojednodušých skupin. Část II“, Annals of Mathematics, Druhá série, 116 (3): 457–501, doi:10.2307/2007019, ISSN  0003-486X, JSTOR  2007019, PAN  0672840 Knapp, Anthony W .; Zuckerman, Gregg J. (1984), „Oprava“, Annals of Mathematics, Druhá série, 119 (3): 639, doi:10.2307/2007089, ISSN  0003-486X, PAN  0744867
• Knapp, Teorie reprezentace poloskupinových skupin: Přehled založený na příkladech. ISBN  0-691-09089-0
• Wallach, Nolan. Skutečné redukční skupiny. Já. Pure and Applied Mathematics, 132. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988. xx + 412 pp.ISBN  0-12-732960-9