Schurovy vztahy ortogonality - Schur orthogonality relations

V matematice je Schurovy vztahy ortogonality, což dokazuje Issai Schur přes Schurovo lemma, vyjádřit ústřední skutečnost o reprezentace konečný skupiny. Připouštějí zobecnění případu kompaktní skupiny obecně a zejména kompaktní Lieovy skupiny, tak jako rotační skupina SO (3).

Konečné skupiny

Vnitřní prohlášení

Prostor komplexu třídní funkce konečné skupiny G má přirozenou vnitřní produkt:

${displaystyle leftlangle alpha, eta ightangle: = {frac {1} {left | Gight |}} součet _ {gin G} alpha (g) {overline {eta (g)}}}$

kde ${displaystyle {overline {eta (g)}}}$ znamená komplexní konjugát hodnoty ${displaystyle eta}$ na G. S ohledem na tento vnitřní produkt je neredukovatelný postavy tvoří ortonormální základ pro prostor třídních funkcí a tím se získá vztah ortogonality pro řádky charactertable:

${displaystyle leftlangle chi _ {i}, chi _ {j} ightangle = {egin {cases} 0 & {mbox {if}} ieq j, 1 & {mbox {if}} i = j.end {cases}}}$

Pro ${displaystyle g, hin G}$, použitím stejného vnitřního produktu na sloupce tabulky znaků se získá:

${displaystyle sum _ {chi _ {i}} chi _ {i} (g) {overline {chi _ {i} (h)}} = {egin {cases} left | C_ {G} (g) ight |, & {mbox {if}} g, h {mbox {jsou sdružené}} 0 & {mbox {jinak.}} konec {případů}}}$

kde součet přesahuje všechny neredukovatelné znaky ${displaystyle chi _ {i}}$ z G a symbol ${displaystyle left | C_ {G} (g) ight |}$ označuje pořadí centralizátor z ${displaystyle g}$. Všimněte si, že od té doby G a h jsou konjugované, pokud jsou ve stejném sloupci tabulky znaků, znamená to, že sloupce tabulky znaků jsou kolmé.

Vztahy ortogonality mohou pomoci mnoha výpočtům, včetně:

• rozložení neznámého znaku jako lineární kombinace neredukovatelných znaků;
• sestavení úplné tabulky znaků, když jsou známy pouze některé z neredukovatelných znaků;
• hledání příkazů centralizátorů zástupců tříd konjugace skupiny; a
• nalezení pořadí skupiny.

Prohlášení o souřadnicích

Nechat ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {mn}}$ být matice prvek neredukovatelné maticová reprezentace${displaystyle Gamma ^ {(lambda)}}$ konečné skupiny ${displaystyle G = {R}}$ objednávky |G|, tj. G má |G| elementy. Protože lze dokázat, že jakákoli maticová reprezentace jakékoli konečné skupiny je ekvivalentní a jednotkové zastoupení, Předpokládáme ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)}}$ je unitární:

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {l_ {lambda}}; Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}; Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nk} = delta _ {mk} quad {hbox {for all}} quad Rin G,}$

kde ${displaystyle l_ {lambda}}$ je (konečná) dimenze neredukovatelné reprezentace ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)}}$.^[1]

The vztahy ortogonality, platí pouze pro maticové prvky neredukovatelné reprezentace, jsou:

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |}; Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}; Gamma ^ {(mu)} (R) _ {n'm ' } = delta _ {lambda mu} delta _ {nn '} delta _ {mm'} {frac {| G |} {l_ {lambda}}}.}$

Tady ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}}$ je komplexní konjugát ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm},}$ a součet přesahuje všechny prvky G.v Kroneckerova delta ${displaystyle delta _ {lambda mu}}$ je jednota, pokud jsou matice ve stejné neredukovatelné reprezentaci ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} = Gamma ^ {(mu)}}$. Li ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)}}$ a ${displaystyle Gamma ^ {(mu)}}$ nejsou ekvivalentní, je nula. Stav dvou dalších delta Kronecker, že indexy řádků a sloupců musí být stejné (${displaystyle n = n '}$ a ${displaystyle m = m '}$) za účelem dosažení nemizejícího výsledku. Tato věta je také známá jako Velká (nebo Velká) věta o ortogonalitě.

Každá skupina má reprezentaci identity (všechny prvky skupiny mapované na reálné číslo 1). Jedná se o neredukovatelnou reprezentaci. Velké vztahy ortogonality to okamžitě naznačují

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |}; Gamma ^ {(mu)} (R) _ {nm} = 0}$

pro ${displaystyle n, m = 1, ldots, l_ {mu}}$ a jakékoli neredukovatelné zastoupení ${displaystyle Gamma ^ {(mu)},}$ nerovná se reprezentaci identity.

Příklad permutační skupiny na 3 objektech

3! permutace tří objektů tvoří skupinu řádu 6, běžně označovanou S₃ (symetrická skupina ). Tato skupina je isomorfní s bodová skupina ${displaystyle C_ {3v}}$, skládající se z trojnásobné osy otáčení a tří svislých rovin zrcadla. Skupiny mají dvojrozměrné neredukovatelné zastoupení (l = 2). V případě S₃ toto označení obvykle označí Mladé tablo ${displaystyle lambda = [2,1]}$ a v případě ${displaystyle C_ {3v}}$jeden obvykle píše ${displaystyle lambda = E}$. V obou případech se reprezentace skládá z následujících šesti reálných matic, z nichž každá představuje jeden prvek skupiny:^[2]

${displaystyle {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1 end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {1} {2}} end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & - {frac {sqrt {3}} {2}} - {frac {sqrt {3}} {2}} & {frac {1} {2}} end {pmatrix} } quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & {frac {sqrt {3}} {2}} - {frac {sqrt {3}} {2}} & - {frac {1 } {2}} end {pmatrix}} quad {egin {pmatrix} - {frac {1} {2}} & - {frac {sqrt {3}} {2}} {frac {sqrt {3}} {2}} & - {frac {1} {2}} end {pmatrix}}}$

Normalizace prvku (1,1):

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {6}; Gamma (R) _ {11} ^ {*}; Gamma (R) _ {11} = 1 ^ {2} + 1 ^ {2} + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + vlevo (- {frac {1} {2}} vpravo) ^ {2} + vlevo (- {frac {1} {2}} vpravo) ^ {2} = 3.}$

Stejným způsobem lze ukázat normalizaci dalších prvků matice: (2,2), (1,2) a (2,1). Ortogonalita prvků (1,1) a (2,2) :

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {6}; Gamma (R) _ {11} ^ {*}; Gamma (R) _ {22} = 1 ^ {2} + (1) (- 1) + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) vlevo ({frac {1} {2}} ight) + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) vlevo ({frac {1} {2 }} ight) + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} + vlevo (- {frac {1} {2}} ight) ^ {2} = 0.}$

Podobné vztahy platí pro ortogonalitu prvků (1,1) a (1,2) atd. V příkladu lze snadno ověřit, že všechny součty odpovídajících prvků matice zmizí z důvodu ortogonality dané neredukovatelné reprezentace k identitní reprezentaci.

Přímé důsledky

The stopa matice je součet prvků diagonální matice,

${displaystyle operatorname {Tr} {ig (} Gamma (R) {ig)} = součet _ {m = 1} ^ {l} Gamma (R) _ {mm}.}$

Sbírka stop je charakter ${displaystyle chi equiv {operatorname {Tr} {ig (} Gamma (R) {ig)}; |; Rin G}}$ reprezentace. Často se píše o stopě matice v neredukovatelném zobrazení se znakem ${displaystyle chi ^ {(lambda)}}$

${displaystyle chi ^ {(lambda)} (R) equiv operatorname {Tr} left (Gamma ^ {(lambda)} (R) ight).}$

V této notaci můžeme napsat několik vzorců znaků:

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |} chi ^ {(lambda)} (R) ^ {*}, chi ^ {(mu)} (R) = delta _ {lambda mu} | G |, }$

což nám umožňuje zkontrolovat, zda je reprezentace neredukovatelná. (Vzorec znamená, že řádky v libovolné tabulce znaků musí být ortogonální vektory.) And

${displaystyle sum _ {Rin G} ^ {| G |} chi ^ {(lambda)} (R) ^ {*}, chi (R) = n ^ {(lambda)} | G |,}$

což nám pomáhá určit, jak často je neredukovatelné zastoupení ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)}}$ je obsažen v redukovatelném zastoupení ${displaystyle Gamma,}$ s charakterem ${displaystyle chi (R)}$.

Například pokud

${displaystyle n ^ {(lambda)}, | G | = 96}$

a pořadí skupiny je

${displaystyle | G | = 24,}$

pak kolikrát ${displaystyle Gamma ^ {(lambda)},}$ je obsažen v danémredukovatelný zastoupení ${displaystyle Gamma,}$ je

${displaystyle n ^ {(lambda)} = 4 ,.}$

Vidět Teorie znaků pro více informací o skupinových postavách.

Kompaktní skupiny

Zobecnění vztahů ortogonality z konečných skupin na kompaktní skupiny (které zahrnují kompaktní Lieovy skupiny jako SO (3)) je v zásadě jednoduché: Nahraďte součet přes skupinu integrací přes skupinu.

Každá kompaktní skupina ${displaystyle G}$ má jedinečný bi-invariant Haarovo opatření, takže objem skupiny je 1. Označme toto měřítko ${displaystyle dg}$. Nechat ${displaystyle (pi ^ {alpha})}$ být úplnou sadou neredukovatelných reprezentací ${displaystyle G}$a nechte ${displaystyle phi _ {v, w} ^ {alpha} (g) = langle v, pi ^ {alpha} (g) wangle}$ být maticový koeficient reprezentace ${displaystyle pi ^ {alpha}}$. Vztahy ortogonality lze pak konstatovat ve dvou částech:

1) Pokud ${displaystyle pi ^ {alpha} cong pi ^ {eta}}$ pak

${displaystyle int _ {G} phi _ {v, w} ^ {alpha} (g) phi _ {v ', w'} ^ {eta} (g) dg = 0}$

2) Pokud ${displaystyle {e_ {i}}}$ je ortonormální základ reprezentačního prostoru ${displaystyle pi ^ {alpha}}$ pak

${displaystyle int _ {G} phi _ {e_ {i}, e_ {j}} ^ {alpha} (g) {overline {phi _ {e_ {m}, e_ {n}} ^ {alpha} (g) }} dg = delta _ {i, m} delta _ {j, n} {frac {1} {d ^ {alpha}}}}$

kde ${displaystyle d ^ {alpha}}$ je rozměr ${displaystyle pi ^ {alpha}}$. Tyto vztahy ortogonality a skutečnost, že všechny reprezentace mají konečné rozměry, jsou důsledky Peter – Weylova věta.

Příklad SO (3)

Příkladem skupiny parametrů r = 3 je skupina matic SO (3) sestávající ze všech 3 x 3 ortogonálních matic s jednotkovým determinantem. Možná parametrizace této skupiny je z hlediska Eulerových úhlů: ${displaystyle mathbf {x} = (alfa, eta, gama)}$ (explicitní forma prvku SO (3), pokud jde o Eulerovy úhly, viz tento článek). Hranice jsou ${displaystyle 0leq alpha, gamma leq 2pi}$ a ${displaystyle 0leq eta leq pi}$.

Nejen recept na výpočet objemového prvku ${displaystyle omega (mathbf {x}), dx_ {1} dx_ {2} cdots dx_ {r}}$ záleží na zvolených parametrech, ale také na konečném výsledku, tj. analytické formě váhové funkce (míry) ${displaystyle omega (mathbf {x})}$.

Váhou je například Eulerova parametrizace úhlu SO (3) ${displaystyle omega (alfa, eta, gama) = hřích! eta ,,}$ zatímco parametrizace n, gives dává váhu ${displaystyle omega (psi, heta, phi) = 2 (1-psi psi) hřích! heta,}$s ${displaystyle 0leq psi leq pi, ;; 0leq phi leq 2pi, ;; 0leq heta leq pi.}$

Je možné ukázat, že neredukovatelné maticové reprezentace kompaktních Lieových skupin jsou konečně-dimenzionální a lze je vybrat jako jednotné:

${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (R ^ {- 1}) = Gamma ^ {(lambda)} (R) ^ {- 1} = Gamma ^ {(lambda)} (R) ^ {dagger} quad { hbox {with}} quad Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {mn} ^ {dagger} equiv Gamma ^ {(lambda)} (R) _ {nm} ^ {*}.}$

Se zkratkovou notací

${displaystyle Gamma ^ {(lambda)} (mathbf {x}) = Gamma ^ {(lambda)} {Big (} R (mathbf {x}) {Big)}}$

vztahy ortogonality mají podobu

${displaystyle int _ {x_ {1} ^ {0}} ^ {x_ {1} ^ {1}} cdots int _ {x_ {r} ^ {0}} ^ {x_ {r} ^ {1}}; Gamma ^ {(lambda)} (mathbf {x}) _ {nm} ^ {*} Gamma ^ {(mu)} (mathbf {x}) _ {n'm '}; omega (mathbf {x}) dx_ {1} cdots dx_ {r}; = delta _ {lambda mu} delta _ {nn '} delta _ {mm'} {frac {| G |} {l_ {lambda}}},}$

s objemem skupiny:

${displaystyle | G | = int _ {x_ {1} ^ {0}} ^ {x_ {1} ^ {1}} cdots int _ {x_ {r} ^ {0}} ^ {x_ {r} ^ { 1}} omega (mathbf {x}) dx_ {1} cdots dx_ {r}.}$

Jako příklad si všimneme, že neredukovatelné reprezentace SO (3) jsou Wigner D-matice ${displaystyle D ^ {ell} (alfa eta gama)}$, které mají rozměr ${displaystyle 2ell +1}$. Od té doby

${displaystyle | mathrm {SO} (3) | = int _ {0} ^ {2pi} dalpha int _ {0} ^ {pi} hřích! eta, d eta int _ {0} ^ {2pi} dgamma = 8pi ^ {2},}$

uspokojují

${displaystyle int _ {0} ^ {2pi} int _ {0} ^ {pi} int _ {0} ^ {2pi} D ^ {ell} (alfa eta gamma) _ {nm} ^ {*}; D ^ {ell '} (alfa eta gama) _ {n'm'}; hřích! eta, dalpha, d eta, dgamma = delta _ {ell ell '} delta _ {nn'} delta _ {mm '} {frac {8pi ^ {2}} {2ell +1}}.}$

Poznámky

Reference

Každá fyzicky nebo chemicky zaměřená kniha o teorii skupin zmiňuje vztahy ortogonality. Důkazem jsou následující pokročilejší knihy:

• M. Hamermesh, Skupinová teorie a její aplikace na fyzikální problémy, Addison-Wesley, Reading (1962). (Dotisk Dover).
• W. Miller, Jr., Skupiny symetrie a jejich aplikace, Academic Press, New York (1972).
• J. F. Cornwell, Skupinová teorie ve fyzice, (Tři svazky), Svazek 1, Academic Press, New York (1997).

Následující matematicky zaměřená kniha poskytuje další důkaz:

• Serre, Jean-Pierre (1977). Lineární reprezentace konečných skupin. New York: Springer-Verlag. str.13-20. ISBN  0387901906. ISSN  0072-5285. OCLC  2202385.