Weylův integrační vzorec - Weyl integration formula

V matematice je Weylův integrační vzorec, představil Hermann Weyl, je integrace vzorec pro kompaktní připojení Lež skupina G pokud jde o maximální torus T. Přesně to říká^[1] existuje kontinuální funkce se skutečnou hodnotou u na T tak, že pro každého funkce třídy F na G:

${ displaystyle int _ {G} f (g) , dg = int _ {T} f (t) u (t) , dt.}$

Navíc, ${ displaystyle u}$ je výslovně uveden jako: ${ displaystyle u = | delta | ^ {2} / # W}$ kde ${ displaystyle W = N_ {G} (T) / T}$ je Weylova skupina určeno T a

${ displaystyle delta (t) = prod _ { alpha> 0} left (e ^ { alpha (t) / 2} -e ^ {- alpha (t) / 2} right),}$

produkt přejíždějící přes pozitivní kořeny G ve vztahu k T. Obecněji, pokud ${ displaystyle f}$ je tedy pouze spojitá funkce

${ displaystyle int _ {G} f (g) , dg = int _ {T} vlevo ( int _ {G} f (gtg ^ {- 1}) , dg vpravo) u (t ) , dt.}$

Vzorec lze použít k odvození Weylův vzorec znaků. (Teorie Verma moduly, na druhé straně, dává čistě algebraickou derivaci Weylského znakového vzorce.)

Derivace

Zvažte mapu

${ displaystyle q: G / T krát T až G, , (gT, t) mapsto gtg ^ {- 1}}$.

Weylova skupina Ž jedná T konjugací a dále ${ displaystyle G / T}$ zleva od: pro ${ displaystyle nT ve W}$,

${ displaystyle nT (gT) = gn ^ {- 1} T.}$

Nechat ${ displaystyle G / T krát _ {W} T}$ být kvocientovým prostorem Ž-akce. Poté, co Ž-akce zapnuta ${ displaystyle G / T}$ je zdarma, kvocientová mapa

${ displaystyle p: G / T krát T až G / T krát _ {W} T}$

je hladký povlak s vlákny Ž když je omezen na pravidelné body. Nyní, ${ displaystyle q}$ je ${ displaystyle p}$ následován ${ displaystyle G / T krát _ {W} T až G}$ a druhý je homeomorfismus v pravidelných bodech, a tak má stupeň jedna. Proto je stupeň ${ displaystyle q}$ je ${ displaystyle #W}$ a změnou proměnného vzorce dostaneme:

${ displaystyle #W int _ {G} f , dg = int _ {G / T krát T} q ^ {*} (f , dg).}$

Tady, ${ displaystyle q ^ {*} (f , dg) | _ {(gT, t)} = f (t) q ^ {*} (dg) | _ {(gT, t)}}$ od té doby ${ displaystyle f}$ je třídní funkce. Dále vypočítáme ${ displaystyle q ^ {*} (dg) | _ {(gT, t)}}$. Identifikujeme tečný prostor ${ displaystyle G / T krát T}$ tak jako ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {t}} oplus { mathfrak {t}}}$ kde ${ displaystyle { mathfrak {g}}, { mathfrak {t}}}$ jsou Lieovy algebry ${ displaystyle G, T}$. Pro každého ${ displaystyle v v T}$,

${ displaystyle q (gv, t) = gvtv ^ {- 1} g ^ {- 1}}$

a tedy dál ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}}$, my máme:

${ displaystyle d (gT mapsto q (gT, t)) ({ dot {v}}) = gtg ^ {- 1} (gt ^ {- 1} { dot {v}} tg ^ {- 1 } -g { dot {v}} g ^ {- 1}) = ( operatorname {Ad} (g) circ ( operatorname {Ad} (t ^ {- 1}) - I)) ({ tečka {v}}).}$

Podobně vidíme, na ${ displaystyle { mathfrak {t}}}$, ${ displaystyle d (t mapsto q (gT, t)) = operatorname {Ad} (g)}$. Nyní můžeme zobrazit G jako připojená podskupina ortogonální skupiny (protože je spojena kompaktně) a tedy ${ displaystyle det ( operatorname {Ad} (g)) = 1}$. Proto,

${ displaystyle q ^ {*} (dg) = det ( operatorname {Ad} _ {{ mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}} (t ^ {- 1}) - I _ {{ mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}}) , dg.}$

Pro výpočet determinantu si to připomínáme ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { mathbb {C}} = { mathfrak {t}} _ { mathbb {C}} oplus oplus _ { alpha} { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ kde ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { alpha} = {x v { mathfrak {g}} _ { mathbb {C}} mid operatorname {Ad} (t) x = e ^ { alpha (t)} x, t v T }}$ a každý ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { alpha}}$ má dimenzi jedna. Z tohoto důvodu, s ohledem na vlastní hodnoty ${ displaystyle operatorname {Ad} _ {{ mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}} (t ^ {- 1})}$, dostaneme:

${ displaystyle det ( operatorname {Ad} _ {{ mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}} (t ^ {- 1}) - já _ {{ mathfrak {g}} / { mathfrak {t}}}) = prod _ { alpha> 0} (e ^ {- alpha (t)} - ​​1) (e ^ { alpha (t)} - ​​1) = delta (t) { overline { delta (t)}},}$

jako každý kořen ${ displaystyle alpha}$ má čistou imaginární hodnotu.

Weylův vzorec znaků

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Duben 2020)

Weylův vzorec znaků je důsledkem Weylova integrálního vzorce následovně. Nejprve si to všimneme ${ displaystyle W}$ lze identifikovat podskupinou ${ displaystyle operatorname {GL} ({ mathfrak {t}} _ { mathbb {C}} ^ {*})}$; zejména působí na množinu kořenů, lineární funkcionály na ${ displaystyle { mathfrak {t}} _ { mathbb {C}}}$. Nechat

${ displaystyle A _ { mu} = součet _ {w in W} (- 1) ^ {l (w)} e ^ {w ( mu)}}$

kde ${ displaystyle l (w)}$ je délka z w. Nechat ${ displaystyle Lambda}$ být váhová mřížka z G ve vztahu k T. Weylův znakový vzorec pak říká, že: pro každý neredukovatelný znak ${ displaystyle chi}$ z ${ displaystyle G}$, existuje a ${ displaystyle mu in Lambda}$ takhle

${ displaystyle chi | T cdot delta = A _ { mu}}$.

Abychom to viděli, nejprve si všimneme

1. ${ displaystyle | chi | ^ {2} = int _ {G} | chi | ^ {2} dg = 1.}$
2. ${ displaystyle chi | T cdot delta in mathbb {Z} [ Lambda].}$

Vlastnost (1) je přesně (součástí) vztahy ortogonality na neredukovatelné znaky.

Reference

• Adams, J. F. (1969), Přednášky o Lieových skupinách, University of Chicago Press
• Theodor Bröcker a Tammo tom Dieck, Reprezentace kompaktních Lieových skupin, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer-Verlag, Berlin, 1995.