Coadjoint reprezentace - Coadjoint representation

v matematika, coadjoint reprezentace ${ displaystyle K}$ a Lež skupina ${ displaystyle G}$ je dvojí z adjunkční reprezentace. Li ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ označuje Lež algebra z ${ displaystyle G}$, odpovídající akce ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$, dvojí prostor na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, se nazývá společná akce. Geometrická interpretace je jako akce levého překladu v prostoru pravého invariantu 1-formy na ${ displaystyle G}$.

Důležitost reprezentace coadjoint byla zdůrazněna prací Alexandre Kirillov, který to ukázal pro nilpotentní Lie skupiny ${ displaystyle G}$ základní roli v jejich teorie reprezentace hraje společné oběžné dráhy.V Kirillovově metodě oběžných drah, reprezentace ${ displaystyle G}$ jsou konstruovány geometricky počínaje oběžnými drahami coadjoint. V určitém smyslu hrají roli třídy konjugace z ${ displaystyle G}$, což může být opět komplikované, zatímco oběžné dráhy jsou relativně přitažlivé.

Formální definice

Nechat ${ displaystyle G}$ být ležovou skupinou a ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ být jeho Lieova algebra. Nechat ${ displaystyle mathrm {Ad}: G rightarrow mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}})}$ označit adjunkční reprezentace z ${ displaystyle G}$. Pak coadjoint reprezentace ${ displaystyle mathrm {Ad} ^ {*}: G rightarrow mathrm {Aut} ({ mathfrak {g}} ^ {*})}$ je definováno

${ displaystyle langle mathrm {Ad} _ {g} ^ {*} , mu, Y rangle = langle mu, mathrm {Ad} _ {g ^ {- 1}} Y rangle}$ pro ${ displaystyle g v G, Y v { mathfrak {g}}, mu v { mathfrak {g}} ^ {*},}$

kde ${ displaystyle langle mu, Y rangle}$ označuje hodnotu lineárního funkcionálu ${ displaystyle mu}$ na vektoru ${ displaystyle Y}$.

Nechat ${ displaystyle mathrm {ad} ^ {*}}$ označit reprezentaci Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ na ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ vyvolané coadjoint reprezentací Lieovy skupiny ${ displaystyle G}$. Pak nekonečně malá verze určující rovnice pro ${ displaystyle mathrm {Ad} ^ {*}}$ zní:

${ displaystyle langle mathrm {ad} _ {X} ^ {*} mu, Y rangle = langle mu, - mathrm {ad} _ {X} Y rangle = - langle mu, [X, Y] rangle}$ pro ${ displaystyle X, Y in { mathfrak {g}}, mu in { mathfrak {g}} ^ {*}}$

kde ${ displaystyle mathrm {reklama}}$ je adjoint reprezentace Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$.

Coadjoint orbita

Společná oběžná dráha ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mu}}$ pro ${ displaystyle mu}$ v duálním prostoru ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ z ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ mohou být definovány buď zevně, jako skutečné obíhat ${ displaystyle mathrm {Ad} _ {G} ^ {*} mu}$ uvnitř ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$, nebo skutečně jako homogenní prostor ${ displaystyle G / G _ { mu}}$ kde ${ displaystyle G _ { mu}}$ je stabilizátor z ${ displaystyle mu}$ s ohledem na společnou akci; tento rozdíl stojí za to udělat, protože zakotvení oběžné dráhy může být komplikované.

Společné oběžné dráhy jsou submanifolds of ${ displaystyle { mathfrak {g}} ^ {*}}$ a mají přirozenou symplektickou strukturu. Na každé oběžné dráze ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mu}}$, existuje uzavřený nedegenerovaný ${ displaystyle G}$-invariantní 2-forma ${ displaystyle omega in Omega ^ {2} ({ mathcal {O}} _ { mu})}$ zdědil od ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ následujícím způsobem:

${ displaystyle omega _ { nu} ( mathrm {ad} _ {X} ^ {*} nu, mathrm {ad} _ {Y} ^ {*} nu): = langle nu, [X, Y] rangle, nu in { mathcal {O}} _ { mu}, X, Y in { mathfrak {g}}}$.

Dobře definovaná, nedegenerace a ${ displaystyle G}$-invariance z ${ displaystyle omega}$ vyplývá z následujících skutečností:

(i) Tečný prostor ${ displaystyle mathrm {T} _ { nu} { mathcal {O}} _ { mu} = {- mathrm {ad} _ {X} ^ {*} nu: X v { mathfrak {g}} }}$ lze identifikovat pomocí ${ displaystyle { mathfrak {g}} / { mathfrak {g}} _ { nu}}$, kde ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { nu}}$ je Lieova algebra ${ displaystyle G _ { nu}}$.

(ii) Jádro mapy ${ displaystyle X mapsto langle nu, [X, cdot] rangle}$ je přesně ${ displaystyle { mathfrak {g}} _ { nu}}$.

(iii) Bilineární forma ${ displaystyle langle nu, [ cdot, cdot] rangle}$ na ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je neměnný pod ${ displaystyle G _ { nu}}$.

${ displaystyle omega}$ je také Zavřeno. Kanonický 2-forma ${ displaystyle omega}$ se někdy označuje jako Kirillov-Kostant-Souriau symlektická forma nebo Formulář KKS na společné oběžné dráze.

Vlastnosti coadjointových drah

Akce coadjoint na oběžné dráze coadjoint ${ displaystyle ({ mathcal {O}} _ { mu}, omega)}$ je Hamiltonian ${ displaystyle G}$-akce s hybná mapa dané začleněním ${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mu} hookrightarrow { mathfrak {g}} ^ {*}}$.

Příklady

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Listopadu 2014)

Viz také

• Borel – Bott – Weilova věta, pro ${ displaystyle G}$ kompaktní skupina
• Vzorec Kirillovova znaku
• Kirillovova teorie oběžné dráhy

Reference

• Kirillov, A.A., Přednášky o orbitální metodě, Postgraduální studium matematiky, Sv. 64, American Mathematical Society, ISBN  0821835300, ISBN  978-0821835302

externí odkazy

• „Coadjoint zastoupení“. PlanetMath.