Kategorie zastoupení - Category of representations - Wikipedia

v teorie reprezentace, kategorie reprezentací některých algebraická struktura A má zastoupení uživatele A tak jako předměty a ekvivariantní mapy tak jako morfismy mezi nimi. Jedním ze základních tahů teorie reprezentace je porozumět podmínkám, za kterých je tato kategorie polojednoduchý; tj. zda se objekt rozloží na jednoduché objekty (vidět Maschkeova věta pro případ konečné skupiny ).

The Tannakovský formalismus dává podmínky, za kterých skupina G mohou být získány z kategorie zastoupení společnosti společně s zapomnětlivý funktor do kategorie vektorových prostorů.^[1]

The Grothendieckův prsten kategorie konečně-dimenzionálních reprezentací skupiny G se nazývá reprezentační prsten z G.

Definice

V závislosti na typech reprezentací, které chcete zvážit, je typické používat mírně odlišné definice.

Pro konečnou skupinu G a a pole F, kategorie zastoupení G přes F má

objekty: páry (PROTI, F) z vektorové prostory PROTI přes F a reprezentace F z G v tom vektorovém prostoru
morfismy: ekvivariační mapy
složení: složení ekvivariantních map
identity: funkce identity (což je mapa ekvivariantu).

Kategorie je označena ${ displaystyle operatorname {Rep} _ {F} (G)}$ nebo ${ displaystyle operatorname {Rep} (G)}$ .

Pro Lež skupina, jeden obvykle vyžaduje, aby reprezentace byly hladký nebo přípustný. Pro případ a Lež algebra viz Zastoupení algebry lži. Viz také: kategorie O.

Kategorie modulů přes skupinové vyzvánění

Tady je izomorfismus kategorií mezi kategorií zastoupení skupiny G přes pole F (popsáno výše) a kategorie modulů přes skupinové vyzvánění F[G], označeno F[G] -Mod.

Teoretická definice kategorie

Každá skupina G lze zobrazit jako kategorii s jediným objektem, kde morfismy v této kategorii jsou prvky G a složení je dáno skupinovou operací; tak G je automorfická skupina jedinečného objektu. Vzhledem k libovolné kategorii C, a zastoupení z G v C je funktor z G na C. Takový funktor pošle jedinečný objekt objektu, který řekne X v C a indukuje a skupinový homomorfismus ${ displaystyle G to operatorname {Aut} (X)}$ ; vidět Automorphism group # V kategorii teorie více. Například a G-soubor je ekvivalentní funktoru z G na Soubor, kategorie sad a lineární vyjádření je ekvivalentní funktoru Vect_F, kategorie vektorových prostorů přes pole F.^[2]

V tomto nastavení je kategorie lineárních reprezentací G přes F je kategorie funktorů G → Vect_F, který má přirozené transformace jako jeho morfismy.

Vlastnosti

Kategorie lineárních reprezentací skupiny má a monoidní struktura dané tenzorový produkt reprezentací, což je důležitá složka duality Tannaka-Kerin (viz níže).

Maschkeova věta uvádí, že když charakteristický z F nerozděluje objednat z G, kategorie zastoupení společnosti G přes F je polojednoduchý.

Omezení a indukce

Vzhledem ke skupině G s podskupina H, mezi kategoriemi reprezentací jsou dva základní funktory G a H (přes pevné pole): jeden je a zapomnětlivý funktor volal funktor omezení

{ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Res} _ {H} ^ {G}: operatorname {Rep} (G) & longrightarrow operatorname {Rep} (H) pi & longmapsto pi | _ {H} end {zarovnáno}}}

a druhý, indukční funktor

{ displaystyle operatorname {Ind} _ {H} ^ {G}: operatorname {Rep} (H) to operatorname {Rep} (G)}

.

Když G a H jsou konečné skupiny, jsou adjoint navzájem

{ displaystyle operatorname {Hom} _ {G} ( operatorname {Ind} _ {H} ^ {G} W, U) cong operatorname {Hom} _ {H} (W, operatorname {Res} _ {H} ^ {G} U)}

,

volala věta Frobeniova vzájemnost.

Základní otázkou je, zda se rozklad na neredukovatelné reprezentace (jednoduché objekty kategorie) chová za omezení nebo indukce. Otázka může být napadena například Mackeyova teorie.

Dualita Tannaka-Kerin

Dualita Tannaka – Kerin týká se interakce a kompaktní topologická skupina a jeho kategorie lineární reprezentace. Tannakova věta popisuje obrácený průchod z kategorie konečně-dimenzionálních reprezentací skupiny G zpět do skupiny G, což umožňuje jednomu získat skupinu z její kategorie zastoupení. Kreinova věta ve skutečnosti zcela charakterizuje všechny kategorie, které mohou vzniknout ze skupiny tímto způsobem. Tyto koncepty lze použít na reprezentace několika různých struktur, podrobnosti najdete v hlavním článku.

Poznámky

^ Jacob, Lurie (2004-12-14). "Tannaka dualita pro geometrické hromádky". arXiv:matematika / 0412266.
^ Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. p. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

Reference

André, Yves (2004), Jedinečné úvodní aux motivy (motivy purs, motivy mixy, periody), Panoramas et Synthèses, 17, Paříž: Société Mathématique de France, ISBN 978-2-85629-164-1, PAN 2115000

externí odkazy

https://ncatlab.org/nlab/show/category+of+reprezentations

[1] Jacob, Lurie (2004-12-14). "Tannaka dualita pro geometrické hromádky". arXiv:matematika / 0412266.

[2] Mac Lane, Saunders (1978). Kategorie pro Working Mathematician (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York. p. 41. ISBN 1441931236. OCLC 851741862.

[1]

[2]