Tensorový produkt reprezentací - Tensor product of representations

V matematice je tenzorový produkt reprezentací je tenzorový součin vektorových prostorů podkladové reprezentace společně s činitelem skupinové akce na produktu. Tuto konstrukci lze společně s Clebsch-Gordanovou procedurou použít ke generování dalších neredukovatelné reprezentace pokud už jich pár ví.

Definice

Skupinová zastoupení

Li ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ jsou lineární reprezentace skupiny ${ displaystyle G}$, pak jejich tenzorový produkt je tenzorový součin vektorových prostorů ${ displaystyle V_ {1} mnohokrát V_ {2}}$ s lineárním působením ${ displaystyle G}$ jednoznačně určeno podmínkou, že

${ displaystyle g cdot (v_ {1} otimes v_ {2}) = (g cdot v_ {1}) otimes (g cdot v_ {2})}$^[1][2]

pro všechny ${ displaystyle v_ {1} ve V_ {1}}$ a ${ displaystyle v_ {2} ve V_ {2}}$. I když ne každý prvek ${ displaystyle V_ {1} mnohokrát V_ {2}}$ je vyjádřitelný ve formě ${ displaystyle v_ {1} otimes v_ {2}}$, univerzální vlastnictví provozu tenzorového produktu zaručuje, že tato akce je dobře definována.

V jazyce homomorfismů, pokud akce ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle V_ {1}}$ a ${ displaystyle V_ {2}}$ jsou dány homomorfismy ${ displaystyle Pi _ {1}: G rightarrow operatorname {GL} (V_ {1})}$ a ${ displaystyle Pi _ {2}: G rightarrow operatorname {GL} (V_ {2})}$, pak je reprezentace tenzorového produktu dána homomorfismem ${ displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2}: G rightarrow operatorname {GL} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ dána

${ displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2} (g) = Pi _ {1} (g) otimes Pi _ {2} (g)}$,

kde ${ displaystyle Pi _ {1} (g) otimes Pi _ {2} (g)}$ je tenzorový produkt lineárních map.^[3]

Lze rozšířit pojem tenzorových produktů na libovolný konečný počet reprezentací. Li PROTI je lineární vyjádření skupiny G, pak s výše uvedenou lineární akcí, tenzorová algebra ${ displaystyle T (V)}$ je algebraická reprezentace z G; tj. každý prvek G působí jako algebra automorfismus.

Reprezentace lže algebry

Li ${ displaystyle (V_ {1}, pi _ {1})}$ a ${ displaystyle (V_ {2}, pi _ {2})}$ jsou reprezentace Lieovy algebry ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$, pak je tenzorový součin těchto reprezentací dán mapou ${ displaystyle pi _ {1} otimes pi _ {2}: { mathfrak {g}} rightarrow operatorname {End} (V_ {1} otimes V_ {2})}$ dána^[4]

${ displaystyle pi _ {1} otimes pi _ {2} (X) = pi _ {1} (X) otimes I + I otimes pi _ {2} (X)}$.

Motivace pro tuto definici vychází z případu, ve kterém ${ displaystyle pi _ {1}}$ a ${ displaystyle pi _ {2}}$ pocházejí z reprezentací ${ displaystyle Pi _ {1}}$ a ${ displaystyle Pi _ {2}}$ skupiny lži ${ displaystyle G}$. V takovém případě jednoduchý výpočet ukazuje, že reprezentace Lie algebry spojená s ${ displaystyle Pi _ {1} otimes Pi _ {2}}$ je dán předchozím vzorcem.^[5]

Akce na lineárních mapách

Li ${ displaystyle (V_ {1}, Pi _ {1})}$ a ${ displaystyle (V_ {2}, Pi _ {2})}$ jsou reprezentacemi skupiny ${ displaystyle G}$, nechť ${ displaystyle operatorname {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$ označuje prostor všech lineárních map z ${ displaystyle V_ {1}}$ na ${ displaystyle V_ {2}}$. Pak ${ displaystyle operatorname {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$ lze definovat strukturu reprezentace

${ displaystyle g cdot A = Pi _ {2} (g) A Pi _ {1} (g) ^ {- 1}}$

pro všechny ${ displaystyle A in operatorname {Hom} (V, W)}$. Nyní existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) cong V ^ {*} další W}$

jako vektorové prostory;^[2] tento izomorfismus vektorového prostoru je ve skutečnosti izomorfismem reprezentací.^[6]

The triviální subreprezentace ${ displaystyle operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}}$ skládá se z G-lineární mapy; tj.,

${ displaystyle operatorname {Hom} _ {G} (V, W) = operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}.}$

Nechat ${ displaystyle E = operatorname {End} (V)}$ označit algebru endomorfismu PROTI a nechte A označit subalgebru ${ displaystyle E ^ { otimes m}}$ skládající se ze symetrických tenzorů. The hlavní věta o invariantní teorii tvrdí, že A je polojednoduchý když je charakteristika základního pole nulová.

Clebsch – Gordanova teorie

Obecný problém

Tenzorový produkt dvou neredukovatelných reprezentací ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ skupiny nebo Lieovy algebry obvykle není neredukovatelná. Je proto zajímavé pokusit se rozložit ${ displaystyle V_ {1} mnohokrát V_ {2}}$ na neredukovatelné kousky. Tento problém rozkladu je znám jako Clebsch-Gordanův problém.

Případ SU (2)

The příklad prototypu tohoto problému je případ rotační skupina SO (3) —Nebo jeho dvojitý kryt, speciální unitární skupina SU (2). Neredukovatelné reprezentace SU (2) jsou popsány parametrem ${ displaystyle ell}$, jehož možné hodnoty jsou

${ displaystyle ell = 0,1 / 2,1,3 / 2, ldots.}$

(Dimenze reprezentace je tedy ${ displaystyle 2 ell +1}$.) Vezměme si dva parametry ${ displaystyle ell}$ a ${ displaystyle m}$ s ${ displaystyle ell geq m}$. Pak reprezentace produktu tensor ${ displaystyle V _ { ell} další V_ {m}}$ poté se rozloží následovně:^[7]

${ displaystyle V _ { ell} další časy V_ {m} cong V _ { ell + m} oplus V _ { ell + m-1} oplus cdots oplus V _ { ell -m + 1} oplus V _ { ell -m}.}$

Vezměme si jako příklad tenzorový součin čtyřrozměrné reprezentace ${ displaystyle V_ {3/2}}$ a trojrozměrné znázornění ${ displaystyle V_ {1}}$. Reprezentace produktu tensor ${ displaystyle V_ {3/2} další V_ {1}}$ má rozměr 12 a rozkládá se jako

${ displaystyle V_ {3/2} otimes V_ {1} cong V_ {5/2} oplus V_ {3/2} oplus V_ {1/2}}$,

kde vyobrazení na pravé straně mají rozměr 6, 4 a 2. Můžeme tento výsledek shrnout aritmeticky jako ${ displaystyle 4 krát 3 = 6 + 4 + 2}$.

Případ SU (3)

V případě skupiny SU (3) všechny neredukovatelné reprezentace lze generovat ze standardní trojrozměrné reprezentace a její duální, jak je uvedeno níže. Generování reprezentace se štítkem ${ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}$, vezmeme tenzorový součin ${ displaystyle m_ {1}}$ kopie standardního vyobrazení a ${ displaystyle m_ {2}}$ kopie duálu standardní reprezentace a poté vezme neměnný podprostor generovaný tenzorovým součinem vektorů s nejvyšší váhou.^[8]

Na rozdíl od situace pro SU (2), v Clebsch-Gordanově rozkladu pro SU (3), dané neredukovatelné zastoupení ${ displaystyle W}$ může dojít při rozkladu více než jednou ${ displaystyle U otimes V}$.

Síla tenzoru

Stejně jako u vektorových prostorů lze definovat k^th tenzorový výkon reprezentace PROTI být vektorovým prostorem ${ displaystyle V ^ { otimes k}}$ s výše uvedenou akcí.

Symetrický a střídavý čtverec

V poli charakteristické nuly jsou symetrické a střídavé čtverce subreprezentace druhého tenzorového výkonu. Mohou být použity k definování Indikátor Frobenius – Schur, což znamená, zda daný neredukovatelný charakter je nemovitý, komplex nebo kvartérní. Jsou to příklady Schurovy funktory Jsou definovány následovně.

Nechat PROTI být vektorový prostor. Definovat endomorfismus (vlastní mapa) T z ${ displaystyle V otimes V}$ jak následuje:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} T: V otimes V & longrightarrow V otimes V v otimes w & longmapsto w otimes v. end {zarovnáno}}}$^[9]

Je to involuce (je to jeho vlastní inverzní), a tak je automorfismus (já-izomorfismus ) z ${ displaystyle V otimes V}$.

Definujte dvě podmnožiny druhé tenzorový výkon z PROTI:

$${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Sym} ^ {2} (V) &: = {v in V otimes V mid T (v) = v } operatorname {Alt} ^ {2} (V) &: = {v ve V otimes V mid T (v) = - v } end {zarovnáno}}}$$

Tohle jsou symetrický čtverec PROTI a střídavý čtverec o PROTI, resp.^[10] Symetrické a střídavé čtverce jsou také známé jako symetrická část a antisymetrická část tenzorového produktu.^[11]

Vlastnosti

Druhý tenzorový výkon lineárního vyjádření PROTI skupiny G rozkládá se jako přímý součet symetrických a střídajících se čtverců:

$${ displaystyle V ^ { otimes 2} = V otimes V cong operatorname {Sym} ^ {2} (V) oplus operatorname {Alt} ^ {2} (V)}$$

jako reprezentace. Obzvláště oba jsou dílčí zastoupení druhého tenzorového výkonu. V jazyce moduly přes skupinové vyzvánění, jsou symetrické a střídavé čtverce ${ displaystyle mathbb {C} [G]}$-podmoduly z ${ displaystyle V otimes V}$.^[12]

Li PROTI má základ ${ displaystyle {v_ {1}, v_ {2}, ldots, v_ {n} }}$, pak má symetrický čtverec základ ${ displaystyle {v_ {i} otimes v_ {j} + v_ {j} otimes v_ {i} mid 1 leq i leq j leq n }}$ a střídavý čtverec má základ ${ displaystyle {v_ {i} otimes v_ {j} -v_ {j} otimes v_ {i} mid 1 leq i$. V souladu s tím

${ displaystyle { begin {zarovnaný} dim operatorname {Sym} ^ {2} (V) & = { frac { dim V ( dim V + 1)} {2}}, dim operatorname {Alt} ^ {2} (V) & = { frac { dim V ( dim V-1)} {2}}. end {zarovnáno}}}$^[13][10]

Nechat ${ displaystyle chi: G to mathbb {C}}$ být charakter z ${ displaystyle V}$. Potom můžeme vypočítat znaky symetrických a střídajících se čtverců následujícím způsobem: pro všechny G v G,

${ displaystyle { begin {seřazeno} chi _ { operatorname {Sym} ^ {2} (V)} (g) & = { frac {1} {2}} ( chi (g) ^ {2 } + chi (g ^ {2})), chi _ { operatorname {Alt} ^ {2} (V)} (g) & = { frac {1} {2}} ( chi (g) ^ {2} - chi (g ^ {2})). end {zarovnáno}}}$^[14]

Symetrické a vnější síly

Jako v multilineární algebra, nad polem charakteristické nuly lze obecně definovat k^th symetrická síla ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ a k^th vnější síla ${ displaystyle Lambda ^ {n} (V)}$, což jsou podprostory k^th tenzorový výkon (další podrobnosti o této konstrukci najdete na těchto stránkách). Jsou také subreprezentacemi, ale vyšší tenzorové síly se již nerozkládají jako jejich přímý součet.

The Schur – Weylova dualita počítá neredukovatelné reprezentace vyskytující se v tenzorových silách reprezentací obecná lineární skupina ${ displaystyle G = operatorname {GL} (V)}$. Přesně jako ${ displaystyle S_ {n} krát G}$-modul

${ displaystyle V ^ { otimes n} simeq bigoplus _ { lambda} M _ { lambda} otimes S ^ { lambda} (V)}$

kde

• ${ displaystyle M _ { lambda}}$ je neredukovatelné zastoupení symetrické skupiny ${ displaystyle S_ {n}}$ odpovídající oddílu ${ displaystyle lambda}$ z n (v sestupném pořadí),
• ${ displaystyle S ^ { lambda} (V)}$ je obraz Mladý symetrizer ${ displaystyle c _ { lambda}: V ^ { otimes n} až V ^ { otimes n}}$.

Mapování ${ displaystyle V mapsto S ^ { lambda} (V)}$ je funktor s názvem Schurův funktor. Zobecňuje konstrukce symetrických a vnějších sil:

${ displaystyle S ^ {(n)} (V) = operatorname {Sym} ^ {n} V, , , S ^ {(1,1, tečky, 1)} (V) = klín ^ {n} V.}$

Zejména jako G-module, výše se zjednodušuje na

${ displaystyle V ^ { otimes n} simeq bigoplus _ { lambda} S ^ { lambda} (V) ^ { oplus m _ { lambda}}}$

kde ${ displaystyle m _ { lambda} = dim M _ { lambda}}$. Navíc mnohost ${ displaystyle m _ { lambda}}$ může být vypočítán Frobeniův vzorec (nebo vzorec délky háku ). Například vezměte ${ displaystyle n = 3}$. Pak existují přesně tři oddíly: ${ displaystyle 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1}$ a jak se ukázalo, ${ displaystyle m _ {(3)} = m _ {(1,1,1)} = 1, , m _ {(2,1)} = 2}$. Proto,

${ displaystyle V ^ { otimes 3} simeq operatorname {Sym} ^ {3} V bigoplus wedge ^ {3} V bigoplus S ^ {(2,1)} (V) ^ { oplus 2 }.}$

Produkty Tensor zahrnující funktory Schur

Nechat ${ displaystyle S ^ { lambda}}$ označit Schurův funktor definováno podle oddílu ${ displaystyle lambda}$. Pak nastane následující rozklad:^[15]

${ displaystyle S ^ { lambda} V otimes S ^ { mu} V simeq bigoplus _ { nu} (S ^ { nu} V) ^ { oplus N _ { lambda mu nu} }}$

kde multiplicity ${ displaystyle N _ { lambda mu nu}}$ jsou dány Vláda Littlewood – Richardson.

Vzhledem k tomu, že jsou konečné vektorové prostory PROTI, Ž, Schurovy funktory S^λ dát rozklad

${ displaystyle operatorname {Sym} (W ^ {*} otimes V) simeq bigoplus _ { lambda} S ^ { lambda} (W ^ {*}) otimes S ^ { lambda} (V )}$

Levou stranu lze identifikovat pomocí prsten k[Hom (PROTI, Ž)] = k[PROTI ^* ⊗ Ž] polynomiálních funkcí na Hom (PROTI, Ž), a tak výše uvedené také dává rozklad k[Hom (PROTI, Ž)].

Reprezentace produktů Tensor jako reprezentace skupin produktů

Nechat G, H být dvě skupiny a nechat ${ displaystyle ( pi, V)}$ a ${ displaystyle ( rho, W)}$ být reprezentacemi G a H, resp. Pak můžeme nechat přímou skupinu produktů ${ displaystyle G krát H}$ působí na produktový prostor tensor ${ displaystyle V otimes W}$ podle vzorce

${ Displaystyle (g, h) cdot (v otimes w) = pi (g) v otimes rho (h) w.}$

I kdyby ${ displaystyle G = H}$, stále můžeme provést tuto konstrukci, takže tenzorový součin dvou reprezentací ${ displaystyle G}$ lze alternativně považovat za reprezentaci ${ displaystyle G krát G}$ spíše než reprezentace ${ displaystyle G}$. Je proto důležité objasnit, zda tenzorový součin dvou reprezentací ${ displaystyle G}$ je vnímána jako reprezentace ${ displaystyle G}$ nebo jako reprezentace ${ displaystyle G krát G}$.

Na rozdíl od výše popsaného problému Clebsch-Gordan, tenzorový součin dvou neredukovatelných reprezentací ${ displaystyle G}$ je neredukovatelný, je-li považován za zastoupení skupiny produktů ${ displaystyle G krát G}$.

Viz také

• Duální zastoupení
• Hermitská vzájemnost
• Clebsch – Gordanovy koeficienty
• Zastoupení skupiny lži
• Zastoupení algebry lži

Poznámky

Reference

• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• James, Gordon Douglas (2001). Zastoupení a znaky skupin. Liebeck, Martin W.. (2. vyd.). Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press. ISBN  978-0521003926. OCLC  52220683.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Claudio Procesi (2007) Lie Groups: přístup prostřednictvím invarianty a reprezentaceSpringer, ISBN  9780387260402 .
• Serre, Jean-Pierre (1977). Lineární reprezentace konečných skupin. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-90190-9. OCLC  2202385.CS1 maint: ref = harv (odkaz)