Zastoupení na souřadnicových kruzích - Representation on coordinate rings

V matematice, a reprezentace na souřadnicových prstencích je zastoupení skupiny o souřadnicových kruzích afinních odrůd.

Nechat X být afinní algebraická odrůda přes algebraicky uzavřené pole k charakteristické nuly působením a reduktivní algebraická skupina G.^[1] G pak působí na souřadný kruh ${ displaystyle k [X]}$ z X jako vlevo pravidelné zastoupení: ${ displaystyle (g cdot f) (x) = f (g ^ {- 1} x)}$. Toto je reprezentace G na souřadnicovém kruhu X.

Nejzákladnějším případem je, kdy X je afinní prostor (tj. X je konečně-dimenzionální reprezentace G) a souřadnicový kruh je polynomiální kruh. Nejdůležitějším případem je kdy X je symetrická rozmanitost; tj. kvocient G podle a podskupina s pevným bodem involuce.

Izotypový rozklad

Nechat ${ displaystyle k [X] _ {( lambda)}}$ být součtem všech G- podmodulů ${ displaystyle k [X]}$ které jsou izomorfní s jednoduchým modulem ${ displaystyle V ^ { lambda}}$; nazývá se to ${ displaystyle lambda}$-izotypová složka z ${ displaystyle k [X]}$. Pak existuje přímý rozklad součtu:

${ displaystyle k [X] = bigoplus _ { lambda} k [X] _ {( lambda)}}$

kde součet běží přes všechno jednoduché G- moduly ${ displaystyle V ^ { lambda}}$. Existence rozkladu vyplývá například ze skutečnosti, že grupová algebra G je od té doby poloviční G je redukční.

X je nazýván bez multiplicity (nebo sférická odrůda^[2]) pokud každé neredukovatelné zastoupení G objeví se maximálně jednou v souřadnicovém kruhu; tj., ${ displaystyle operatorname {dim} k [X] _ {( lambda)} leq operatorname {dim} V ^ { lambda}}$.Například, ${ displaystyle G}$ je multiplicita zdarma jako ${ displaystyle G krát G}$-modul. Přesněji řečeno, vzhledem k uzavřené podskupině H z G, definovat

${ displaystyle phi _ { lambda}: V ^ {{ lambda} *} další (V ^ { lambda}) ^ {H} až k [G / H] _ {( lambda)}}$

nastavením ${ displaystyle phi _ { lambda} ( alpha otimes v) (gH) = langle alpha, g cdot v rangle}$ a poté se prodlužuje ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ podle linearity. Funkce na obrázku ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ se obvykle volají maticové koeficienty. Pak dochází k přímému rozkladu součtu ${ displaystyle G krát N}$-moduly (N normalizátor H)

${ displaystyle k [G / H] = bigoplus _ { lambda} phi _ { lambda} (V ^ {{ lambda} *} otimes (V ^ { lambda}) ^ {H})}$,

což je algebraická verze Peter – Weylova věta (a analytická verze je ve skutečnosti bezprostředním důsledkem.) Důkaz: dovolte Ž být jednoduchý ${ displaystyle G krát N}$- podmodulů ${ displaystyle k [G / H] _ {( lambda)}}$. Můžeme předpokládat ${ displaystyle V ^ { lambda} = W}$. Nechat ${ displaystyle delta _ {1}}$ být lineární funkční z Ž takhle ${ displaystyle delta _ {1} (w) = w (1)}$. Pak ${ displaystyle w (gH) = phi _ { lambda} ( delta _ {1} mnohokrát w) (gH)}$To znamená, obraz ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ obsahuje ${ displaystyle k [G / H] _ {( lambda)}}$ a od té doby platí opačné začlenění ${ displaystyle phi _ { lambda}}$ je ekvivalentní.

Příklady

• Nechat ${ displaystyle v _ { lambda} ve V ^ { lambda}}$ být B-vlastní vektor a X uzavření oběžné dráhy ${ displaystyle G cdot v _ { lambda}}$. Jedná se o afinní odrůdu, kterou Vinberg – Popov nazývá odrůda s nejvyšší hmotností. Je bez multiplicity.

Situace Kostant – Rallis

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Červen 2014)

Viz také

• Reprezentace algebry

Poznámky

Reference

• Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symetrie, reprezentace a invarianty (2009)