Artin dirigent - Artin conductor
v matematika, Artin dirigent je číslo nebo ideál spojené s postavou a Galoisova skupina a místní nebo globální pole, představil Emil Artin (1930, 1931 ) jako výraz objevující se v funkční rovnice z Funkce Artin L..
Místní dirigenti Artinu
Předpokládejme to L je konečný Galoisovo rozšíření místního pole K.se skupinou Galois G. Li je postava G, pak Artinův dirigent je číslo
kde Gi je i-th rozvětvovací skupina (v nižší číslování ) objednávky Gi, a χ (Gi) je průměrná hodnota na Gi.[1] Výsledkem Artinu je místní vodič celé číslo.[2][3] Heuristicky Artinův dirigent měří, jak daleko je triviální působení skupin s větším rozvětvením. Zejména pokud χ není unramified, pak jeho Artinův vodič je nula. Tedy pokud L je unramified přes K., pak jsou Artinovy vodiče všech χ nulové.
The divoký invariant[3] nebo Labutí vodič[4] postavy je
jinými slovy, součet podmínek vyššího řádu s i > 0.
Globální dirigenti Artin
The globální dirigent Artin reprezentace skupiny Galois G konečného prodloužení L/K. globálních polí je ideál K., definované jako
kde je produkt nad prvočísly str z K., a F(χ,str) je místním dirigentem Artinu omezení do skupiny rozkladu nějakého vrcholu L ležet str.[2] Vzhledem k tomu, že místní Artinův vodič je nulový u neramifikovaných prvočísel, je třeba výše uvedený produkt převzít pouze u prvočísel, která se rozvětvují v L/K..
Artin zastoupení a Artin charakter
Předpokládejme to L je konečným Galoisovým rozšířením místního pole K.se skupinou GaloisG. The Artinová postava AG z G je postava
a Artin zastoupení AG je komplexní lineární reprezentace G s touto postavou. Weil (1946) požádal o přímou konstrukci zastoupení Artin. Serre (1960 ) ukázal, že Artinovu reprezentaci lze realizovat přes místní pole Ql, pro všechny prime l nerovná se charakteristice zbytku str. Fontaine (1971) ukázal, že jej lze realizovat přes odpovídající kruh Wittových vektorů. Nelze jej obecně realizovat nad racionálními rovinami nebo nad místním polem Qstr, což naznačuje, že neexistuje snadný způsob, jak explicitně zkonstruovat Artinovu reprezentaci.[5]
Reprezentace labutí
The Labutí postava swG darováno
kde rG je znak pravidelné reprezentace a 1 je charakter triviální reprezentace.[6] Postava Labutí je charakter reprezentace G. Labuť (1963 ) ukázal, že existuje jedinečný projektivní zastoupení G přes l-adická celá čísla s postavou labutí postavou.
Aplikace
Artinův vodič se objeví v vodič-diskriminační vzorec pro diskriminujícího globálního pole.[5]
Optimální úroveň v Domněnka o modularitě serre je vyjádřeno jako Artinův vodič.
Artinův vodič se objeví ve funkční rovnici Funkce Artin L..
K definici jsou použity reprezentace Artin a Swan vodič eliptické křivky nebo abelianská odrůda.
Poznámky
- ^ Serre (1967), str.158
- ^ A b Serre (1967) str. 159
- ^ A b Manin, Yu. I .; Panchishkin, A. A. (2007). Úvod do moderní teorie čísel. Encyklopedie matematických věd. 49 (Druhé vydání.). str. 329. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396.
- ^ Snaith (1994), s. 249
- ^ A b Serre (1967) str. 160
- ^ Snaith (1994), s. 248
Reference
- Artin, Emil (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (v němčině), 8: 292–306, doi:10.1007 / BF02941010, JFM 56.0173.02
- Artin, Emil (1931), „Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (v němčině), 164: 1–11, doi:10.1515 / crll.1931.164.1, ISSN 0075-4102, Zbl 0001.00801
- Fontaine, Jean-Marc (1971), „Sur les représentations d'Artin“, Colloque de Théorie des Nombres (Univ. Bordeaux, Bordeaux, 1969), Mémoires de la Société Mathématique de France, 25, Paříž: Société Mathématique de France, str. 71–81, PAN 0374106
- Serre, Jean-Pierre (1960), „Sur la rationalité des représentations d'Artin“, Annals of Mathematics, Druhá série, 72: 405–420, doi:10.2307/1970142, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970142, PAN 0171775
- Serre, Jean-Pierre (1967), "VI. Místní teorie polního pole", in Cassels, J.W.S.; Fröhlich, A. (eds.), Algebraická teorie čísel. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (NATO Advanced Study Institute) s podporou Mezinárodní matematické unie, London: Academic Press, s. 128–161, Zbl 0153.07403
- Snaith, V. P. (1994), Explicitní Brauerova indukce: S aplikacemi v algebře a teorii čísel, Cambridge studia pokročilé matematiky, 40, Cambridge University Press, ISBN 0-521-46015-8, Zbl 0991.20005
- Swan, Richard G. (1963), „Grothendieckův prsten konečné skupiny“, Topologie. International Journal of Mathematics, 2: 85–110, doi:10.1016/0040-9383(63)90025-9, ISSN 0040-9383, PAN 0153722
- Weil, André (1946), „L'avenir des mathématiques“, Bol. Soc. Rohož. Sao Paulo, 1: 55–68, PAN 0020961