Mladý symetrizer - Young symmetrizer

v matematika, a Mladý symetrizer je prvkem skupinová algebra z symetrická skupina, konstruované takovým způsobem, že pro homomorfismus od skupinové algebry k endomorfismům vektorového prostoru ${ displaystyle V ^ { další krát}}$ získané z akce ${ displaystyle S_ {n}}$ na ${ displaystyle V ^ { další krát}}$ permutací indexů odpovídá obraz endomorfismu určený tímto prvkem an neredukovatelné zastoupení symetrické skupiny nad komplexní čísla. Podobná konstrukce funguje na jakémkoli poli a výsledné reprezentace se nazývají Moduly Specht. Young symmetrizer je pojmenován po britském matematikovi Alfred Young.

Definice

Vzhledem k konečné symetrické skupině S_n a konkrétní Mladé tablo λ odpovídající číslovanému oddílu o n, definovat dva permutační podskupiny ${ displaystyle P _ { lambda}}$ a ${ displaystyle Q _ { lambda}}$ z S_n jak následuje:^{[je zapotřebí objasnění ]}

${ displaystyle P _ { lambda} = {g v S_ {n}: g { text {zachovává každý řádek}} lambda }}$

a

${ displaystyle Q _ { lambda} = {g v S_ {n}: g { text {zachová každý sloupec}} lambda }.}$

Odpovídající těmto dvěma podskupinám definujte dva vektory v skupinová algebra ${ displaystyle mathbb {C} S_ {n}}$ tak jako

${ displaystyle a _ { lambda} = součet _ {g v P _ { lambda}} e_ {g}}$

a

${ displaystyle b _ { lambda} = součet _ {g v Q _ { lambda}} operatorname {sgn} (g) e_ {g}}$

kde ${ displaystyle e_ {g}}$ je jednotkový vektor odpovídající G, a ${ displaystyle operatorname {sgn} (g)}$ je znamením permutace. Produkt

${ displaystyle c _ { lambda}: = a _ { lambda} b _ { lambda} = součet _ {g v P _ { lambda}, h v Q _ { lambda}} operatorname {sgn} (h ) e_ {gh}}$

je Mladý symetrizer odpovídající Mladé tablo λ. Každý Youngův symetrický analyzátor odpovídá neredukovatelné reprezentaci symetrické skupiny a každé neredukovatelné vyjádření lze získat z odpovídajícího Youngova symetrizeru. (Pokud vyměníme komplexní čísla obecněji pole odpovídající vyjádření nebudou obecně neredukovatelná.)

Konstrukce

Nechat PROTI být kdokoli vektorový prostor přes komplexní čísla. Zvažte tedy tenzorový produkt vektorový prostor ${ displaystyle V ^ { otimes n} = V otimes V otimes cdots otimes V}$ (n krát). Nechat S_n působte na tento tenzorový produktový prostor permutací indexů. Jeden pak má přirozený skupinová algebra zastoupení ${ displaystyle mathbb {C} S_ {n} to operatorname {End} (V ^ { otimes n})}$ na ${ displaystyle V ^ { další krát}}$.

Vzhledem k rozdělení λ o n, aby ${ displaystyle n = lambda _ {1} + lambda _ {2} + cdots + lambda _ {j}}$, pak obraz z ${ displaystyle a _ { lambda}}$ je

${ displaystyle operatorname {Im} (a _ { lambda}): = a _ { lambda} V ^ { otimes n} cong operatorname {Sym} ^ { lambda _ {1}} V otimes operatorname {Sym} ^ { lambda _ {2}} V otimes cdots otimes operatorname {Sym} ^ { lambda _ {j}} V.}$

Například pokud ${ displaystyle n = 4}$, a ${ displaystyle lambda = (2,2)}$s kanonickým Youngovým tablem ${ displaystyle { {1,2 }, {3,4 } }}$. Pak odpovídající ${ displaystyle a _ { lambda}}$ darováno

${ displaystyle a _ { lambda} = e _ { text {id}} + e _ {(1,2)} + e _ {(3,4)} + e _ {(1,2) (3,4)}. }$

Pusťte prvek dovnitř ${ displaystyle V ^ { otimes 4}}$ být dán ${ displaystyle v_ {1,2,3,4}: = v_ {1} otimes v_ {2} otimes v_ {3} otimes v_ {4}}$. Pak

${ displaystyle a _ { lambda} v_ {1,2,3,4} = v_ {1,2,3,4} + v_ {2,1,3,4} + v_ {1,2,4,3 } + v_ {2,1,4,3} = (v_ {1} otimes v_ {2} + v_ {2} otimes v_ {1}) otimes (v_ {3} otimes v_ {4} + v_ {4} často v_ {3}).}$

Druhé jasně pokrývají ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {2} V otimes operatorname {Sym} ^ {2} V.}$

Obrázek uživatele ${ displaystyle b _ { lambda}}$ je

${ displaystyle operatorname {Im} (b _ { lambda}) cong bigwedge ^ { mu _ {1}} V otimes bigwedge ^ { mu _ {2}} V otimes cdots otimes bigwedge ^ { mu _ {k}} V}$

kde μ je konjugovaný oddíl k λ. Tady, ${ displaystyle operatorname {Sym} ^ {i} V}$ a ${ displaystyle bigwedge ^ {j} V}$ jsou symetrický a střídavé tenzorové produktové prostory.

Obrázek ${ displaystyle mathbb {C} S_ {n} c _ { lambda}}$ z ${ displaystyle c _ { lambda} = a _ { lambda} cdot b _ { lambda}}$ v ${ displaystyle mathbb {C} S_ {n}}$ je neredukovatelné zastoupení S_n, nazvaný a Specht modul. Píšeme

${ displaystyle operatorname {Im} (c _ { lambda}) = V _ { lambda}}$

pro neredukovatelné zastoupení.

Nějaký skalární násobek ${ displaystyle c _ { lambda}}$ je idempotentní,^[1] to je ${ displaystyle c _ { lambda} ^ {2} = alpha _ { lambda} c _ { lambda}}$ pro nějaké racionální číslo ${ displaystyle alpha _ { lambda} v mathbb {Q}.}$ Konkrétně jeden najde ${ displaystyle alpha _ { lambda} = n! / dim V _ { lambda}}$. Z toho zejména vyplývá, že reprezentace symetrické skupiny lze definovat přes racionální čísla; tj. nad racionální skupinovou algebrou ${ displaystyle mathbb {Q} S_ {n}}$.

Zvažte například S₃ a přepážka (2,1). Pak jeden má

${ displaystyle c _ {(2,1)} = e_ {123} + e_ {213} -e_ {321} -e_ {312}.}$

Li PROTI je komplexní vektorový prostor, pak obrazy ${ displaystyle c _ { lambda}}$ na mezerách ${ displaystyle V ^ { otimes d}}$ poskytuje v podstatě všechny konečně-dimenzionální neredukovatelné reprezentace GL (V).

Viz také

• Teorie reprezentace symetrické skupiny

Poznámky

Reference

• William Fulton. Young Tableaux, s aplikacemi na teorii a geometrii reprezentace. Cambridge University Press, 1997.
• Přednáška 4 z Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. PAN  1153249. OCLC  246650103.
• Bruce E. Sagan. Symetrická skupina. Springer, 2001.