Schur – Weylova dualita - Schur–Weyl duality

Schur – Weylova dualita je matematická věta v teorie reprezentace , který se týká neredukovatelných konečně-dimenzionálních reprezentací obecně lineární a symetrický skupiny. Je pojmenována po dvou průkopnících teorie reprezentace Lež skupiny, Issai Schur, který objevil tento jev, a Hermann Weyl, který ji popularizoval ve svých knihách o kvantová mechanika a klasické skupiny jako způsob klasifikace reprezentací unitární a obecné lineární skupiny.

Dualitu Schur-Weyl lze prokázat pomocí věta o dvojitém centralizátoru.^[1]

Popis

Schur – Weylova dualita vytváří v teorii reprezentace archetypální situaci zahrnující dva druhy symetrie které se navzájem určují. Zvažte tenzor prostor

{displaystyle mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {n} otimes cdots otimes mathbb {C} ^ {n}}

s k faktory.

The symetrická skupina S_k na k písmena činy v tomto prostoru (vlevo) permutací faktorů,

{displaystyle sigma (v_ {1} otimes v_ {2} otimes cdots otimes v_ {k}) = v_ {sigma ^ {- 1} (1)} otimes v_ {sigma ^ {- 1} (2)} otimes cdots otimes v_ {sigma ^ {- 1} (k)}.}

Obecná lineární skupina GL_n invertible n×n matice na ni působí simultánně násobení matic,

{displaystyle g (v_ {1} otimes v_ {2} otimes cdots otimes v_ {k}) = gv_ {1} otimes gv_ {2} otimes cdots otimes gv_ {k}, quin gin GL_ {n}.}

Tyto dvě akce dojíždět a ve své konkrétní podobě tvrdí Schur – Weylova dualita, že v rámci společné akce skupin S_k a GL_n, tenzorový prostor se rozloží na přímý součet tenzorových produktů neredukovatelných modulů (pro tyto dvě skupiny), které se ve skutečnosti navzájem určují,

{displaystyle mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {n} otimes cdots otimes mathbb {C} ^ {n} = součet _ {D} pi _ {k} ^ {D} otimes ho _ {n } ^ {D}.}

Summandy jsou indexovány pomocí Mladé diagramy D s k krabice a nanejvýš n řádky a reprezentace ${displaystyle pi _ {k} ^ {D}}$ z S_k s různými D jsou vzájemně neizomorfní a totéž platí pro reprezentace ${displaystyle ho _ {n} ^ {D}}$ z GL_n.

Abstraktní forma Schur-Weylova duality tvrdí, že dvě algebry operátorů v tenzorovém prostoru generované akcemi GL_n a S_k jsou plně vzájemné centralizátory v algebře endomorfismů ${displaystyle mathrm {End} _ {mathbb {C}} (mathbb {C} ^ {n} otimes mathbb {C} ^ {n} otimes cdots otimes mathbb {C} ^ {n}).}$

Příklad

Předpokládejme to k = 2 a n je větší než jedna. Pak je Schur-Weylova dualita výrokem, že prostor dvou tenzorů se rozkládá na symetrické a antisymetrické části, z nichž každá je neredukovatelným modulem pro GL_n:

{displaystyle mathbb {C} ^ {n} často mathbb {C} ^ {n} = S ^ {2} mathbb {C} ^ {n} oplus Lambda ^ {2} mathbb {C} ^ {n}.}

Symetrická skupina S₂ se skládá ze dvou prvků a má dvě neredukovatelné reprezentace, triviální zastoupení a znaková reprezentace. Triviální znázornění S₂ vede k symetrickým tenzorům, které jsou neměnné (tj. se nemění) pod permutací faktorů a reprezentace znaménka odpovídá šikmým symetrickým tenzorům, které znaménko převracejí.

Důkaz

Nejprve zvažte následující nastavení:

G A konečná skupina,
${displaystyle A = mathbb {C} [G]}$ skupinová algebra G,
${displaystyle U}$ konečně-rozměrné právo A-modul a
${displaystyle B = operatorname {End} _ {G} (U)}$ , na které působí U zleva a dojíždí pravou akcí G (nebo z A). Jinými slovy, ${displaystyle B}$ je centralizátor ${displaystyle A}$ v kruhu endomorfismu ${displaystyle operatorname {End} (U)}$ .

Důkaz používá dva algebraické lemy.

Lemma 1 — ^[2] Li ${displaystyle W}$ je jednoduchá levice A- tedy modul ${displaystyle Uotimes _ {A} W}$ je jednoduchá levice B-modul.

Důkaz: Od té doby U je polojednoduchý podle Maschkeova věta, dochází k rozkladu ${displaystyle U = igoplus _ {i} U_ {i} ^ {oplus m_ {i}}}$ na jednoduché A- moduly. Pak ${displaystyle Uotimes _ {A} W = igoplus _ {i} (U_ {i} otimes _ {A} W) ^ {oplus m_ {i}}}$ . Od té doby A je vlevo pravidelné zastoupení z G, každý jednoduchý G-modul se objeví v A a to máme ${displaystyle U_ {i} další _ {A} W = mathbb {C}}$ (respektive nula) právě tehdy ${displaystyle U_ {i}, W}$ odpovídají stejnému jednoduchému faktoru A (v opačném případě). Proto máme: ${displaystyle Uotimes _ {A} W = (U_ {i_ {0}} otimes _ {A} W) ^ {oplus m_ {i_ {0}}} = mathbb {C} ^ {oplus m_ {i_ {0}} }.}$ Nyní je snadné vidět, že každý nenulový vektor je v ${displaystyle mathbb {C} ^ {oplus m_ {i_ {0}}}}$ generuje celý prostor jako a B-modul a tak ${displaystyle Uotimes _ {A} W}$ je jednoduchý. (Obecně platí, že nenulový modul je jednoduchý právě tehdy, když se každý jeho nenulový cyklický submodul shoduje s modulem.) ${squarestyle square}$

Lemma 2 — ^[3] Když ${displaystyle U = V ^ {otimes d}}$ a G je symetrická skupina ${displaystyle {mathfrak {S}} _ {d}}$ , podprostor o ${displaystyle U}$ je B-submodule právě tehdy, pokud je neměnný pod ${displaystyle operatorname {GL} (V)}$ ; jinými slovy, a B-submodule je stejný jako a ${displaystyle operatorname {GL} (V)}$ -podmodul.

Důkaz: Nechte ${displaystyle W = operatorname {End} (V)}$ . The ${displaystyle Whookrightarrow operatorname {End} (U), wmapsto w ^ {d} = d! wotimes cdots otimes w}$ . Také obrázek Ž překlenuje podprostor symetrických tenzorů ${displaystyle operatorname {Sym} ^ {d} (W)}$ . Od té doby ${displaystyle B = operatorname {Sym} ^ {d} (W)}$ , obraz uživatele ${displaystyle W}$ rozpětí ${displaystyle B}$ . Od té doby ${displaystyle operatorname {GL} (V)}$ je hustá v Ž následuje tvrzení buď v euklidovské topologii, nebo v Zariskiho topologii. ${squarestyle square}$

Nyní následuje dualita Schur-Weyl. Bereme ${displaystyle G = {mathfrak {S}} _ {d}}$ být symetrickou skupinou a ${displaystyle U = V ^ {otimes d}}$ the d-tý tenzorový výkon konečného trojrozměrného komplexního vektorového prostoru PROTI.

Nechat ${displaystyle V ^ {lambda}}$ označit neredukovatelné ${displaystyle {mathfrak {S}} _ {d}}$ -reprezentace odpovídající oddílu ${displaystyle lambda}$ a ${displaystyle m_ {lambda} = ztlumit V ^ {lambda}}$ . Pak Lemma 1

{displaystyle S ^ {lambda} (V): = V ^ {otimes d} otimes _ {{mathfrak {S}} _ {d}} V ^ {lambda}}

je neredukovatelná jako a ${displaystyle operatorname {GL} (V)}$ -modul. Navíc, když ${displaystyle A = igoplus _ {lambda} (V ^ {lambda}) ^ {oplus m_ {lambda}}}$ je levý polojediný rozklad, máme:^[4]

{displaystyle V ^ {otimes d} = V ^ {otimes d} otimes _ {A} A = igoplus _ {lambda} (V ^ {otimes d} otimes _ {{mathfrak {S}} _ {d}} V ^ {lambda}) ^ {oplus m_ {lambda}}}

,

což je polojediný rozklad jako a ${displaystyle operatorname {GL} (V)}$ -modul.

Poznámky

^ Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (2011), Úvod do teorie reprezentace. S historickými mezihry od Slavy Gerovitch, Zbl 1242.20001, Věta 5.18.4
^ Fulton a Harris, Lemma 6.22.
^ Fulton a Harris, Lemma 6.23.
^ Fulton a Harris Věta 6.3. (2), (4)

Reference

Fulton, William; Harris, Joe (1991). Teorie reprezentace. První kurz. Postgraduální texty z matematiky, Čtení z matematiky. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. PAN 1153249. OCLC 246650103.
Roger Howe, Pohledy na invariantní teorii: Schurova dualita, akce bez multiplicity a další. Schur přednášky (1992) (Tel Aviv), 1–182, Israel Math. Konf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1995. PAN1321638
Issai Schur, Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. Disertační práce. Berlín. 76 S (1901) JMF 32.0165.04
Issai Schur, Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe. Sitzungsberichte Akad. Berlin 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
Hermann Weyl, Klasické skupiny. Jejich invarianty a zastoupení. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1939. xii + 302 stran PAN0000255

externí odkazy

Jak konstruktivně / kombinatoricky dokázat Schur-Weylovu dualitu?

[1] Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (2011), Úvod do teorie reprezentace. S historickými mezihry od Slavy Gerovitch, Zbl 1242.20001, Věta 5.18.4

[2] Fulton a Harris, Lemma 6.22.

[3] Fulton a Harris, Lemma 6.23.

[4] Fulton a Harris Věta 6.3. (2), (4)

[1]

[2]

[3]

[4]