Holonomický základ - Holonomic basis - Wikipedia

v matematika a matematická fyzika, a souřadnicový základ nebo holonomický základ pro diferencovatelné potrubí $M$ je sada základ vektorová pole ${E 1, ..., E n}$ definované v každém bodě $P$ a kraj potrubí jako

{ displaystyle mathbf {e} _ { alpha} = lim _ { delta x ^ { alpha} až 0} { frac { delta mathbf {s}} { delta x ^ { alpha }}},}

kde $δ s$ je nekonečně malý vektor posunutí mezi bodem $P$ a blízký bod $Q$ jehož souřadnicové oddělení od $P$ je $δx α$ podél souřadnicové křivky $X α$ (tj. křivka na potrubí skrz $P$ pro které místní souřadnice $X α$ se mění a všechny ostatní souřadnice jsou konstantní).^[1]

Je možné vytvořit asociaci mezi takovým základem a směrovými derivačními operátory. Vzhledem k parametrizované křivce $C$ na potrubí definovaném $X α (λ)$ s tečným vektorem $u = u α E α$ , kde $u α = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} dx α / dλ$ a funkce $F (X α)$ definované v sousedství $C$ , variace $F$ podél $C$ lze psát jako

{ displaystyle { frac {df} {d lambda}} = { frac {dx ^ { alpha}} {d lambda}} { frac { parciální f} { parciální x ^ { alfa} }} = u ^ { alpha} { frac { částečné} { částečné x ^ { alfa}}} f.}

Protože to máme $u = u α E α$ , identifikace se často provádí mezi vektorem základny souřadnic $E α$ a operátor částečné derivace $\partial / \partial X α$ , pod interpretací vektorů jako operátorů působících na skalární veličiny.^[2]

Místní podmínka ${E 1, ..., E n}$ být holonomický, to je vše vzájemné Lživé deriváty zmizet:^[3]

{ displaystyle left [ mathbf {e} _ { alpha}, mathbf {e} _ { beta} right] = { mathcal {L}} _ { mathbf {e} _ { alpha} } mathbf {e} _ { beta} = 0.}

Základ, který není holonomický, se nazývá neholonomický nebo nekoordinovaný základ.

Vzhledem k tomu, metrický tenzor $G$ na potrubí $M$ , obecně není možné najít základnu souřadnic, která by byla ortonormální v jakékoli otevřené oblasti $U$ z $M$ .^[4] Zjevnou výjimkou je, kdy $M$ je nemovitý souřadnicový prostor $R n$ považováno za potrubí s $G$ být euklidovskou metrikou $δ ij E i \otimes E j$ v každém bodě.

Reference

^ M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006), Obecná relativita: Úvod pro fyziky, Cambridge University Press, str. 57
^ T. Padmanabhan (2010), Gravitace: Základy a hranice, Cambridge University Press, str. 25
^ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space – Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus a relativistická pole, Cambridge University Press, str. 197–199
^ Bernard F. Schutz (1980), Geometrické metody matematické fyziky, Cambridge University Press, str. 47–49, ISBN 9780521298872

Viz také

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] M. P. Hobson; G. P. Efstathiou; A. N. Lasenby (2006), Obecná relativita: Úvod pro fyziky, Cambridge University Press, str. 57

[2] T. Padmanabhan (2010), Gravitace: Základy a hranice, Cambridge University Press, str. 25

[3] Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space – Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus a relativistická pole, Cambridge University Press, str. 197–199

[4] Bernard F. Schutz (1980), Geometrické metody matematické fyziky, Cambridge University Press, str. 47–49, ISBN 9780521298872

[1]

[2]

[3]

[4]