Vektorově oceněná diferenciální forma - Vector-valued differential form

v matematika, a vektorová diferenciální forma na potrubí M je diferenciální forma na M s hodnotami v a vektorový prostor PROTI. Obecněji je to diferenciální forma s hodnotami v některých vektorový svazek E přes M. Obyčejné diferenciální formy lze zobrazit jako R-hodnotové diferenciální formy.

Důležitým případem diferenciálních forem s vektorovou hodnotou jsou Formy s hodnotou lži algebry. (A formulář připojení je příkladem takové formy.)

Definice

Nechat M být hladké potrubí a E → M být hladký vektorový svazek přes M. Označujeme prostor hladké sekce svazku E od Γ (E). An E-hodnotící diferenciální forma stupně p je hladký úsek svazek produktu tensor z E s Λ^p(T^∗M), p-th vnější síla z kotangenský svazek z M. Prostor takových forem je označen

{displaystyle Omega ^ {p} (M, E) = Gamma (Eotimes Lambda ^ {p} T ^ {*} M).}

Protože Γ je silný monoidální funktor,^[1] to lze také interpretovat jako

{displaystyle Gamma (Eotimes Lambda ^ {p} T ^ {*} M) = Gamma (E) otimes _ {Omega ^ {0} (M)} Gamma (Lambda ^ {p} T ^ {*} M) = Gamma (E) další _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M),}

kde poslední dva tenzorové produkty jsou tenzorový produkt modulů přes prsten Ω⁰(M) hladké R-hodnotené funkce na M (viz sedmý příklad tady ). Podle dohody, an E-hodnota 0-form je jen část svazku E. To znamená

{displaystyle Omega ^ {0} (M, E) = Gamma (E).,}

Ekvivalentně, an E-hodnocenou diferenciální formu lze definovat jako a morfismus svazku

{displaystyle TMotimes cdots otimes TM o E}

což je naprosto šikmo symetrický.

Nechat PROTI být opraven vektorový prostor. A PROTI-hodnotící diferenciální forma stupně p je diferenciální forma titulu p s hodnotami v triviální svazek M × PROTI. Prostor takových forem je označen Ω^p(M, PROTI). Když PROTI = R jeden obnoví definici obyčejné diferenciální formy. Li PROTI je konečně-dimenzionální, pak lze ukázat, že přirozený homomorfismus

{displaystyle Omega ^ {p} (M) často _ {mathbb {R}} V o Omega ^ {p} (M, V),}

kde první tenzorový produkt je ve vektorových prostorech R, je izomorfismus.^[2]

Operace na formulářích s vektorovou hodnotou

Zarazit

Lze definovat zarazit vektorových hodnot formulářů hladké mapy stejně jako u běžných forem. Zpětný ráz an E-hodnotící formulář na N hladkou mapou φ: M → N je (φ *E) - hodnotný formulář na M, kde φ *E je stahovací balíček z E o φ.

Vzorec je uveden stejně jako v běžném případě. Pro všechny E-hodnota p-forma ω zapnuta N zpětný ráz φ * ω je dán vztahem

{displaystyle (varphi ^ {*} omega) _ {x} (v_ {1}, cdots, v_ {p}) = omega _ {varphi (x)} (mathrm {d} varphi _ {x} (v_ {1 }), cdots, mathrm {d} varphi _ {x} (v_ {p})).}

Klínový produkt

Stejně jako u běžných diferenciálních forem lze definovat a klínový produkt vektorových forem. Klínový produkt z E₁-hodnota p-forma s E₂-hodnota q-forma je přirozeně (E₁⊗E₂) -hodnota (p+q)-formulář:

{displaystyle wedge: Omega ^ {p} (M, E_ {1}) je Omega ^ {q} (M, E_ {2}) o Omega ^ {p + q} (M, E_ {1} mnohokrát E_ {2 }).}

Definice je stejná jako u běžných forem s výjimkou, že skutečné násobení je nahrazeno tenzorový produkt:

{displaystyle (omega wedge eta) (v_ {1}, cdots, v_ {p + q}) = {frac {1} {p! q!}} součet _ {sigma v S_ {p + q}} operatorname {sgn } (sigma) omega (v_ {sigma (1)}, cdots, v_ {sigma (p)}) často eta (v_ {sigma (p + 1)}, cdots, v_ {sigma (p + q)}). }

Zejména klínový produkt obyčejného (R-hodnota) p-forma s E-hodnota q-forma je přirozeně E-hodnota (p+q) -forma (od tenzorového součinu E s triviálním svazkem M × R je přirozeně izomorfní na E). Pro ω ∈ Ω^p(M) a η ∈ Ω^q(M, E) jeden má obvyklý komutativní vztah:

{displaystyle omega wedge eta = (- 1) ^ {pq} eta wedge omega.}

Obecně platí, že klínový produkt dvou E-hodnotící formuláře je ne další E- hodnotná forma, ale spíše (E⊗E) - hodnotná forma. Pokud však E je svazek algebry (tj. svazek algebry spíše než jen vektorové prostory) lze skládat s násobením v E získat E- hodnotná forma. Li E je balíček komutativní, asociativní algebry pak s tímto upraveným klínovým produktem sada všech E-hodnotové diferenciální formy

{displaystyle Omega (M, E) = igoplus _ {p = 0} ^ {dim M} Omega ^ {p} (M, E)}

se stává odstupňované-komutativní asociativní algebra. Pokud vlákna z E nejsou komutativní než Ω (M,E) nebude hodnoceno komutativní.

Vnější derivát

Pro jakýkoli vektorový prostor PROTI existuje přírodní vnější derivace v prostoru PROTI- hodnotné formuláře. Toto je jen obyčejný vnější derivát, který působí ve vztahu ke každému základ z PROTI. Výslovně, pokud {E_α} je základem pro PROTI pak diferenciál a PROTI-hodnota p-forma ω = ω^αE_α darováno

{displaystyle domega = (domega ^ {alpha}) e_ {alpha}.,}

Vnější derivace zapnuta PROTI- hodnotné formy se zcela vyznačují obvyklými vztahy:

{displaystyle {egin {zarovnáno} & d (omega + eta) = domega + deta & d (omega klín eta) = domega klín eta + (- 1) ^ {p}, omega klín podrobně qquad (p = deg omega) & d (domega) = 0.end {zarovnáno}}}

Obecněji platí výše uvedené poznámky k E- hodnotné formuláře, kde E je jakýkoli plochý vektor svazek přes M (tj. vektorový svazek, jehož přechodové funkce jsou konstantní). Vnější derivát je u jakýchkoli definován výše lokální bagatelizace z E.

Li E není plochá, pak neexistuje přirozená představa, že by působila vnější derivace E- hodnotné formuláře. Je třeba si vybrat spojení na E. Připojení zapnuto E je lineární operátor diferenciálu přičemž části E na E- hodnotí jeden formulář:

{displaystyle abla: Omega ^ {0} (M, E) o Omega ^ {1} (M, E).}

Li E je vybaven připojením ∇ pak existuje jedinečný kovarianční vnější derivace

{displaystyle d_ {abla}: Omega ^ {p} (M, E) o Omega ^ {p + 1} (M, E)}

prodloužení ∇. Kovarianční vnější derivace je charakterizována linearita a rovnice

{displaystyle d_ {abla} (omega klín eta) = d_ {abla} omega klín eta + (- 1) ^ {p}, omega klín podrobně}

kde ω je a E-hodnota p-form a η je obyčejný q-formulář. Obecně to člověk nemusí mít d_∇² = 0. Ve skutečnosti k tomu dochází tehdy a jen tehdy, je-li spojení flat ploché (tj. Mizí zakřivení ).

Základní nebo tenzorové formy na hlavních svazcích

Nechat E → M být hladký vektorový svazek hodnosti k přes M a nechte π : F (E) → M být (spojené ) svazek rámů z E, což je ředitel školy GL_k(R) svazek přes M. The zarazit z E podle π je kanonicky izomorfní s F (E) ×_ρ R^k pomocí inverzní funkce [u, proti] →u(proti), kde ρ je standardní reprezentace. Proto zpětný chod π z E-hodnotící formulář na M určuje R^k-hodnotící formulář na F (E). Není těžké zkontrolovat, zda je tento stažený formulář pravý ekvivariant s ohledem na přírodní akce GL_k(R) na F (E) × R^k a zmizí dál vertikální vektory (tečné vektory k F (E) které leží v jádře dπ). Takovéto vektorové formy na F (E) jsou natolik důležité, že vyžadují zvláštní terminologii: nazývají se základní nebo tenzorové formy na F (E).

Nechat π : P → M být (hladký) ředitel školy G- svazek a nechte PROTI být pevným vektorovým prostorem společně s a zastoupení ρ : G → GL (PROTI). A základní nebo tenzorová forma na P typu ρ je a PROTI-hodnota ω zapnuta P který je ekvivariant a horizontální V tom smyslu, že

${displaystyle (R_ {g}) ^ {*} omega = ho (g ^ {- 1}) omega,}$ pro všechny G ∈ G, a
${displaystyle omega (v_ {1}, ldots, v_ {p}) = 0}$ kdykoli alespoň jeden z proti_i jsou vertikální (tj. dπ(proti_i) = 0).

Tady R_G označuje správnou akci G na P pro některé G ∈ G. U formulářů 0 je druhou podmínkou prázdně pravda.

Příklad: Pokud ρ je adjunkční reprezentace z G na Lieově algebře pak spojovací forma ω splňuje první podmínku (ale ne druhou). Přidružené zakřivená forma Ω splňuje obojí; tedy Ω je tenzorová forma adjointového typu. „Rozdíl“ dvou forem připojení je tenzorový.

Dáno P a ρ jak je uvedeno výše, lze sestrojit přidružený vektorový svazek E = P ×_ρ PROTI. Tensorial q-formuje se P jsou v přirozené osobní korespondenci s E-hodnota q-formuje se M. Stejně jako v případě hlavního svazku F (E) výše, vzhledem k a q-formulář ${displaystyle {overline {phi}}}$ na M s hodnotami v E, definovat φ na P po vláknech, řekněme v u,

{displaystyle phi = u ^ {- 1} pi ^ {*} {overline {phi}}}

kde u je považován za lineární izomorfismus ${displaystyle V {overset {simeq} {o}} E_ {pi (u)} = (pi ^ {*} E) _ {u}, vmapsto [u, v]}$ . φ je pak tenzorová forma typu ρ. Naopak, vzhledem k tenzorové formě φ typu ρ, stejný vzorec definuje an E- hodnotná forma ${displaystyle {overline {phi}}}$ na M (srov Chern – Weilův homomorfismus.) Zejména existuje přirozený izomorfismus vektorových prostorů

{displaystyle Gamma (M, E) simeq {f: P o V | f (ug) = ho (g) ^ {- 1} f (u)} ,, {overline {f}} leftrightarrow f}

.

Příklad: Let E být tečným svazkem M. Pak ID mapy svazku identity_E: E →E je E- ohodnocen jeden formulář na M. The tautologická jedna forma je jedinečný jeden formulář na svazku rámců E který odpovídá id_E. Označeno θ, je to tenzorová forma standardního typu.

Nyní předpokládejme, že existuje připojení P takže existuje vnější kovariantní diferenciace D na (různých) vektorových formulářích P. Prostřednictvím výše uvedené korespondence D také působí na E-hodnotící formuláře: definovat ∇ pomocí

{displaystyle abla {overline {phi}} = {overline {Dphi}}.}

Zejména pro nulové formy,

{displaystyle abla: Gamma (M, E) o Gamma (M, T ^ {*} Motimes E)}

.

To je přesně to kovarianční derivace pro připojení na vektorovém svazku E.^[3]

Příklady

Modulární formy Siegel vznikají jako diferenciální formy s vektorovou hodnotou Modulární odrůdy Siegel.^[4]

Poznámky

^ „Globální úseky tenzorového produktu vektorových svazků na hladkém potrubí“. math.stackexchange.com. Citováno 27. října 2014.
^ Důkaz: Lze to ověřit pro p= 0 otočením základu pro PROTI do sady konstantních funkcí do PROTI, což umožňuje konstrukci inverze k výše uvedenému homomorfismu. Obecný případ lze dokázat konstatováním
${displaystyle Omega ^ {p} (M, V) = Omega ^ {0} (M, V) další _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M),}$
a to protože ${displaystyle mathbb {R}}$ je dílčí kroužek o Ω⁰(M) prostřednictvím konstantních funkcí,
${displaystyle Omega ^ {0} (M, V) otimes _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M) = (Votimes _ {mathbb {R}} Omega ^ {0} (M) ) otimes _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M) = Votimes _ {mathbb {R}} (Omega ^ {0} (M) otimes _ {Omega ^ {0} (M) } Omega ^ {p} (M)) = Votimes _ {mathbb {R}} Omega ^ {p} (M).}$
^ Důkaz: ${displaystyle D (fphi) = Dfotimes phi + fDphi}$ pro libovolnou tenzorovou nulovou formu se skalární hodnotou F a libovolná tenzorová nulová forma φ typu ρ a Df = df od té doby F sestupuje k funkci na M; srov. tento Lemma 2.
^ Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "Geometrie modulárních odrůd Siegel". Pokročilá studia čisté matematiky. 35: 89–156.

Reference

Shoshichi Kobayashi a Katsumi Nomizu (1963) Základy diferenciální geometrie, Sv. 1, Wiley Interscience.

[gamma_monoidal-1] „Globální úseky tenzorového produktu vektorových svazků na hladkém potrubí“. math.stackexchange.com. Citováno 27. října 2014.

[2] Důkaz: Lze to ověřit pro p= 0 otočením základu pro PROTI do sady konstantních funkcí do PROTI, což umožňuje konstrukci inverze k výše uvedenému homomorfismu. Obecný případ lze dokázat konstatováním
${displaystyle Omega ^ {p} (M, V) = Omega ^ {0} (M, V) další _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M),}$
a to protože ${displaystyle mathbb {R}}$ je dílčí kroužek o Ω⁰(M) prostřednictvím konstantních funkcí,
${displaystyle Omega ^ {0} (M, V) otimes _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M) = (Votimes _ {mathbb {R}} Omega ^ {0} (M) ) otimes _ {Omega ^ {0} (M)} Omega ^ {p} (M) = Votimes _ {mathbb {R}} (Omega ^ {0} (M) otimes _ {Omega ^ {0} (M) } Omega ^ {p} (M)) = Votimes _ {mathbb {R}} Omega ^ {p} (M).}$

[3] Důkaz: ${displaystyle D (fphi) = Dfotimes phi + fDphi}$ pro libovolnou tenzorovou nulovou formu se skalární hodnotou F a libovolná tenzorová nulová forma φ typu ρ a Df = df od té doby F sestupuje k funkci na M; srov. tento Lemma 2.

[4] Hulek, Klaus; Sankaran, G. K. (2002). "Geometrie modulárních odrůd Siegel". Pokročilá studia čisté matematiky. 35: 89–156.

[1]

[2]

[3]

[4]