Pájecí forma - Solder form - Wikipedia

v matematika, přesněji v diferenciální geometrie, a pájení (nebo někdy pájecí forma) a svazek vláken do a hladké potrubí je způsob připojení vláken k potrubí takovým způsobem, že je lze považovat za tečnu. Pájení intuitivně vyjadřuje abstraktně myšlenku, že potrubí může mít smysl Kontakt s určitým modelem Kleinova geometrie v každém bodě. Ve vnější diferenciální geometrii je pájení jednoduše vyjádřeno tečností modelového prostoru k potrubí. Ve vnitřní geometrii jsou k vyjádření potřebné další techniky. Pájení zavedla v této obecné podobě společnost Charles Ehresmann v roce 1950.^[1]

Pájení svazku vláken

Nechat M být plynulým potrubím a G A Lež skupina a nechte E být hladký svazek vláken M se strukturní skupinou G. Předpokládejme to G jedná přechodně na typické vlákno F z E, a ten temný F = dim M. A pájení z E na M skládá se z následujících údajů:

1. Význačný sekce Ó : M → E.
2. Lineární izomorfismus vektorových svazků θ: TM → Ó^*PROTIE z tečný svazek z M do zarazit z svislý svazek z E podél význačného úseku.

Zejména lze tuto druhou podmínku interpretovat tak, že říká, že θ určuje lineární izomorfismus

${ displaystyle theta _ {x}: T_ {x} M rightarrow V_ {o (x)} E}$

z tečného prostoru M na X k (svislému) tečnému prostoru vlákna v bodě určeném rozlišujícím řezem. Forma θ se nazývá pájecí forma pro pájení.

Speciální případy

Podle konvence, kdykoli je výběr pájení jedinečný nebo kanonicky určen, pájecí forma se nazývá kanonická forma nebo tautologická forma.

Afinní svazky a vektorové svazky

Předpokládejme to E je afinita vektorový svazek (vektorový svazek bez volby nulové sekce). Pak pájení E určuje první a význačná část: tj. výběr nulové sekce Ó, aby E může být identifikován jako vektorový svazek. Pájecí forma je pak lineární izomorfismus

${ displaystyle theta colon TM až V_ {o} E,}$

Pro vektorový svazek však existuje kanonický izomorfismus mezi svislým prostorem v počátku a vláknem V_ÓE ≈ E. Při této identifikaci je forma pájky specifikována lineárním izomorfismem

${ displaystyle TM až E.}$

Jinými slovy, pájení na afinní svazek E je výběr izomorfismu E s tečným svazkem M.

Často se mluví o a pájecí forma na vektorovém svazku, kde je to chápáno a priori že rozlišující část pájení je nulová část svazku. V tomto případě je skupina struktur vektorového svazku často implicitně zvětšena pomocí polopřímý produkt z GL(n) s typickým vláknem z E (což je reprezentace GL(n)).^[2]

Příklady

• Jako zvláštní případ má například tangenciální svazek samotný kanonický tvar pájky, konkrétně identitu.
• Li M má Riemannova metrika (nebo pseudoriemanianská metrika ), poté kovarianční metrický tenzor dává izomorfismus ${ displaystyle g colon TM to T ^ {*} M}$ od tečného svazku k kotangenský svazek, což je pájecí forma.
• v Hamiltoniánská mechanika, pájecí forma je známá jako tautologická jedna forma, nebo střídavě jako Liouville jedna forma, Poincaré v jedné formě, kanonický jeden formulář, nebo symplektický potenciál.

Aplikace

• Pájecí forma na vektorovém svazku umožňuje definovat kroucení a kontorzní tenzory a spojení.

• Pájecí formy se vyskytují v sigma model, kde lepí dohromady tečný prostor časoprostorového potrubí k tečnému prostoru polního potrubí.

• Vielbeins nebo tetrady obecně relativita vypadá jako pájecí formy v tom, že lepí dohromady souřadnicové grafy na časoprostorovém potrubí, na upřednostňovaný, obvykle ortonormální základ na tečném prostoru, kde lze výpočty značně zjednodušit. To znamená, že souřadnicové grafy jsou ${ displaystyle TM}$ ve výše uvedených definicích a pole rámce je svislý svazek ${ displaystyle VE}$. V modelu sigma jsou vielbeins výslovně pájecí formy.

Hlavní balíčky

V jazyce hlavních svazků, a pájecí forma hladce ředitel školy G- svazek P přes hladké potrubí M je horizontální a G-ekvivariantní diferenciální 1-forma na P s hodnotami v a lineární reprezentace PROTI z G takové, že přidružené mapa svazku z tečný svazek TM do přidružený balíček P×_G PROTI je izomorfismus svazku. (Zejména, PROTI a M musí mít stejnou dimenzi.)

Motivujícím příkladem pájecí formy je tautologická nebo základní forma na svazek rámů potrubí.

Důvodem pro název je, že pájka tvoří pájku (nebo připojení) abstraktního hlavního svazku k potrubí M identifikováním přidruženého svazku s tangenciálním svazkem. Pájecí formy poskytují metodu studia G-struktury a jsou důležité v teorii Kartanová spojení. Terminologie a přístup jsou obzvláště populární ve fyzikální literatuře.

Poznámky

Reference

• Ehresmann, C. (1950). "Lesconnexions infinitésimales dans un espace fibré différentiel". Colloque de Topologie, Bruxelles: 29–55.
• Kobayashi, Shoshichi (1957). "Teorie spojení". Ann. Rohož. Pura Appl. 43 (1): 119–194. doi:10.1007 / BF02411907.
• Kobayashi, Shoshichi & Nomizu, Katsumi (1996). Základy diferenciální geometrie, Sv. 1 a 2 (New ed.). Wiley Interscience. ISBN  0-471-15733-3.