Plní a věrní funktory - Full and faithful functors

v teorie kategorií, a věrný funktor (respektive a plný funktor) je funktor to je injekční (příslušně) surjektivní ) pokud je omezen na každou sadu morfismy které mají daný zdroj a cíl.

Formální definice

Výslovně, pojďme C a D být (místně malý ) Kategorie a nechte F : C → D být funktorem z C na D. Funktor F indukuje funkci

${ displaystyle F_ {X, Y} colon mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, Y) rightarrow mathrm {Hom} _ { mathcal {D}} (F (X), F (Y))}$

pro každou dvojici předmětů X a Y v C. Funktor F se říká, že je

• věřící -li F_X,Y je injekční^[1][2]
• plný -li F_X,Y je surjektivní^[2][3]
• plně věrný (= plný a věrný) pokud F_X,Y je bijektivní

pro každého X a Y v C.

Vlastnosti

Věrný funktor nemusí být injektivní na objektech nebo morfismech. To znamená dva objekty X a X′ Může mapovat na stejný objekt v D (což je důvod, proč rozsah plného a věrného funktoru nemusí být nutně izomorfní C) a dva morfismy F : X → Y a F′ : X′ → Y′ (S různými doménami / codomains) může mapovat na stejný morfismus v D. Stejně tak nemusí být úplný funktor surjektivní na objektech nebo morfismech. V něm mohou být předměty D není ve formě FX pro některé X v C. Morfismy mezi takovými objekty zjevně nemohou pocházet z morfismů v C.

Plný a věrný funktor je nezbytně injektivní u předmětů až po izomorfismus. To je, pokud F : C → D je plný a věrný funktor a ${ displaystyle F (X) cong F (Y)}$ pak ${ displaystyle X cong Y}$.

Příklady

• The zapomnětlivý funktor U : Grp → Soubor je věrný, protože dva skupinové homomorfismy se stejnými doménami a codomainy jsou stejné, pokud jsou dány stejnými funkcemi na základních sadách. Tento funktor není plný, protože mezi základními sadami jsou funkce skupiny to nejsou skupinové homomorfismy. Kategorie s věrným funktorem Soubor je (podle definice) a konkrétní kategorie; ten zapomnětlivý funktor obecně není plný.
• Funktor začlenění Ab → Grp je plně věrný, protože Ab je podle definice celá podkategorie z Grp vyvolané abelianskými skupinami.

Zevšeobecnění na (∞, 1) -kategorie

Pojem „funktor“ je „plný“ nebo „věrný“ nepředstavuje pojem „ (∞, 1) -kategorie. V kategorii (∞, 1) jsou mapy mezi libovolnými dvěma objekty dány mezerou až po homotopii. Jelikož pojem injekce a surjekce není homotopickým invariantním pojmem (zvažte interval vložený do reálných čísel vs. mapování intervalu do bodu), nemáme představu, že by funktor byl „plný“ nebo „věrný“. Můžeme však definovat funktor kvazi kategorií, který má být plně věrný pokud pro každého X a Y v C, mapa ${ displaystyle F_ {X, Y}}$je slabá rovnocennost.

Viz také

• Celá podkategorie
• Rovnocennost kategorií

Poznámky

Reference

• Mac Lane, Saunders (Září 1998). Kategorie pro Working Mathematician (druhé vydání). Springer. ISBN  0-387-98403-8.
• Jacobson, Nathan (2009). Základní algebra. 2 (2. vyd.). Doveru. ISBN  978-0-486-47187-7.