Reflexní podkategorie - Reflective subcategory - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a celá podkategorie A a kategorie B se říká, že je reflexní v B když funktor začlenění z A na B má vlevo adjoint.^[1]:91 Tento adjoint se někdy nazývá a reflektornebo lokalizace.^[2] Duálně A se říká, že je základní odraz v B když má funktor začlenění a pravý adjoint.

Neformálně funguje reflektor jako druh operace dokončení. Přidává jakékoli „chybějící“ části struktury takovým způsobem, že její opětovné odražení nemá žádný další účinek.

Definice

Celá podkategorie A kategorie B se říká, že je reflexní v B pokud pro každého B-objekt B existuje A-objekt ${ displaystyle A_ {B}}$ a a B-morfismus ${ displaystyle r_ {B} dvojtečka B až A_ {B}}$ takové, že pro každého B-morfismus ${ displaystyle f tlustého střeva B do A}$ do A-objekt ${ displaystyle A}$ existuje jedinečný A-morfismus ${ displaystyle { overline {f}} dvojtečka A_ {B} na A}$ s ${ displaystyle { overline {f}} circ r_ {B} = f}$.

Dvojice ${ displaystyle (A_ {B}, r_ {B})}$ se nazývá A-reflexe z B. Morfismus ${ displaystyle r_ {B}}$ se nazývá A-reflexní šipka. (I když často, kvůli stručnosti, mluvíme o ${ displaystyle A_ {B}}$ jen jako A-reflexe B).

To je ekvivalentní tvrzení, že funktor vkládání ${ displaystyle E colon mathbf {A} hookrightarrow mathbf {B}}$ je pravý adjoint. Levý adjoint funktor ${ displaystyle R colon mathbf {B} do mathbf {A}}$ se nazývá reflektor. Mapa ${ displaystyle r_ {B}}$ je jednotka tohoto přídavku.

Reflektor přiřadí ${ displaystyle B}$ the A-objekt ${ displaystyle A_ {B}}$ a ${ displaystyle Rf}$ pro B-morfismus ${ displaystyle f}$ je určeno dojíždějící diagram

Padám A-reflexní šipky jsou (extrémní) epimorfismus, pak podkategorie A se říká, že je (extrémní) epireflektivní. Podobně to je bireflexní pokud jsou všechny odrazové šipky bimorfismus.

Všechny tyto pojmy jsou zvláštním případem společného zobecnění -${ displaystyle E}$-reflexní podkategorie, kde ${ displaystyle E}$ je třída morfismů.

The ${ displaystyle E}$-reflexní trup třídy A objektů je definován jako nejmenší ${ displaystyle E}$-reflexní podkategorie obsahující A. Můžeme tedy mluvit o reflexním trupu, epireflektivním trupu, extrémním epireflektivním trupu atd.

An antireflexní podkategorie je úplná podkategorie A takové, že jediné objekty B které mají A-reflexní šipka jsou ty, které jsou již v A.^{[Citace je zapotřebí ]}

Dvojí pojmy k výše uvedeným pojmům jsou coreflection, coreflection šipka, (mono) coreflective podkategorie, coreflective trup, anti-coreflective podkategorie.

Příklady

Algebra

• The kategorie abelianských skupin Ab je reflexní podkategorií kategorie skupin, Grp. Reflektor je funktor, který posílá každou skupinu do své abelianizace. Kategorie skupin je zase reflexivní podkategorií kategorie inverzní poloskupiny.^[3]
• Podobně kategorie komutativní asociativní algebry je reflexní podkategorií všech asociativních algeber, kde je reflektor kvocient komutátorem ideál. To se používá při stavbě symetrická algebra z tenzorová algebra.
• Duální kategorie antikomutativní asociativní algebry jsou reflexní podkategorií všech asociativních algeber, kde je reflektor kvocientem podle ideálu anti-komutátoru. To se používá při stavbě vnější algebra z tenzorové algebry.
• Kategorie pole je reflexní podkategorií kategorie integrální domény (s injekční kruhové homomorfismy jako morfismy). Reflektor je funktor, který odesílá každou integrální doménu do jeho pole zlomků.
• Kategorie abelian torzní skupiny je základní reflexní podkategorií kategorie abelianských skupin. Coreflector je funktor, který posílá každou skupinu do své torzní podskupina.
• Kategorie základní abelianské skupiny, abelian str-skupiny, a str-skupiny jsou všechny reflexní podkategorie kategorie skupin a jádra reflexních map jsou důležitými studijními objekty; vidět fokální podskupinová věta.
• Kategorie skupin je a coreflexní podkategorie kategorie monoidy: pravý adjoint mapuje monoid na jeho skupina jednotek.^[4]

Topologie

• Kategorie Kolmogorovovy prostory (T.₀ mezery) je reflexní podkategorií Horní, kategorie topologických prostorů a Kolmogorovův kvocient je reflektor.
• Kategorie zcela pravidelné prostory CReg je reflexní podkategorií Horní. Když vezmeme Kolmogorovovy kvocienty, uvidíme, že podkategorie Tychonoffovy mezery je také reflexní.
• Kategorie všech kompaktní Hausdorffovy prostory je reflexní podkategorií kategorie všech prostorů Tychonoff (a kategorie všech topologických prostorů)^[2]:140). Reflektor je dán Zhutnění Stone – Čech.
• Kategorie všech kompletní metrické prostory s rovnoměrně spojité mapování je reflexní podkategorií kategorie metrických prostorů. Reflektor je dokončení metrického prostoru na objektech a rozšíření o hustotu na šipkách.^[1]:90

Funkční analýza

• Kategorie Banachovy prostory je reflexní podkategorií kategorie normované prostory a ohraničené lineární operátory. Reflektor je funktor dokončení normy.

Teorie kategorií

• Pro všechny Grothendieck stránky (C, J), topos z snopy na (C, J) je reflexní podkategorií toposů předvádí na C, se speciální další vlastností, kterou je funktor reflektoru vlevo přesně. Reflektor je funktor sheafifikace A : Presh (C) → Sh (C, J) a adjunktový pár (A, i) je důležitým příkladem a geometrický morfismus v teorii topos.

Vlastnosti

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2019)

• Součásti počítat jsou izomorfismy.^[2]:140[1]
• Li D je reflexní podkategorií C, pak funktor zařazení D → C vytváří vše limity které jsou přítomny v C.^[2]:141
• Reflexní podkategorie má vše kolimity které jsou přítomny v kategorii prostředí.^[2]:141
• The monad indukované přídavným zařízením reflektor / lokalizace je idempotentní.^[2]:158

Poznámky

Reference

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). New York: John Wiley & Sons.
• Peter Freyd, Andre Scedrov (1990). Kategorie, Alegorie. Mathematical Library Vol 39. Severní Holandsko. ISBN  978-0-444-70368-2.
• Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Poznámky k přednášce v matematice. 78. Berlín: Springer.
• Mark V. Lawson (1998). Inverzní poloskupiny: teorie parciálních symetrií. World Scientific. ISBN  978-981-02-3316-7.