Výjimečný izomorfismus - Exceptional isomorphism - Wikipedia

v matematika, an výjimečný izomorfismus, nazývaný také náhodný izomorfismus, je izomorfismus mezi členy A_i a b_j dvou rodin, obvykle nekonečných, matematických objektů, to není příklad vzoru takových izomorfismů.^{[poznámka 1]} Tyto náhody jsou občas považovány za maličkost,^[1] ale v jiných ohledech mohou vést k dalším jevům, zejména výjimečné předměty.^[1] V následujícím textu jsou uvedeny náhody, ať se vyskytnou kdekoli.

Skupiny

Konečné jednoduché skupiny

Výjimečné izomorfismy mezi řadou konečné jednoduché skupiny většinou zapojit projektivní speciální lineární skupiny a střídavé skupiny, a jsou:^[1]

• ${ displaystyle operatorname {PSL} _ {2} (4) cong operatorname {PSL} _ {2} (5) cong A_ {5},}$ nejmenší neabelovská jednoduchá skupina (řád 60) - ikosahedrální symetrie;
• ${ displaystyle operatorname {PSL} _ {2} (7) cong operatorname {PSL} _ {3} (2),}$ druhá nejmenší neabelovská jednoduchá skupina (řád 168) - PSL (2,7);
• ${ displaystyle operatorname {PSL} _ {2} (9) cong A_ {6},}$
• ${ displaystyle operatorname {PSL} _ {4} (2) cong A_ {8},}$
• ${ displaystyle operatorname {PSU} _ {4} (2) cong operatorname {PSp} _ {4} (3),}$ mezi a projektivní speciální ortogonální skupina a a projektivní symplektická skupina.

Střídavé skupiny a symetrické skupiny

The sloučenina pěti čtyřstěnů vyjadřuje výjimečný izomorfismus mezi ikosahedrickou skupinou a střídavou skupinou na pět písmen.

Existují shody mezi symetrickými / střídajícími se skupinami a malými skupinami typu Lie /polyedrické skupiny:^[2]

• ${ displaystyle S_ {3} cong operatorname {PSL} _ {2} (2),}$
• ${ displaystyle A_ {4} cong operatorname {PSL} _ {2} (3) cong}$ čtyřboká skupina,
• ${ displaystyle S_ {4} cong}$ plná čtyřboká skupina ${ displaystyle cong}$ oktaedrická skupina,
• ${ displaystyle A_ {5} cong operatorname {PSL} _ {2} (4) cong operatorname {PSL} _ {2} (5) cong}$ ikosahedrální skupina,
• ${ displaystyle A_ {6} cong operatorname {PSL} _ {2} (9) cong operatorname {Sp} _ {4} (2) ',}$
• ${ displaystyle S_ {6} cong operatorname {Sp} _ {4} (2),}$
• ${ displaystyle A_ {8} cong operatorname {PSL} _ {4} (2) cong operatorname {O} _ {6} ^ {+} (2) ',}$
• ${ displaystyle S_ {8} cong operatorname {O} _ {6} ^ {+} (2).}$

To vše lze vysvětlit systematicky pomocí lineární algebry (a působením ${ displaystyle S_ {n}}$ na afinní ${ displaystyle n}$-space) k definování izomorfismu směřujícího z pravé strany na levou stranu. (Výše uvedené izomorfismy pro ${ displaystyle A_ {8}}$ a ${ displaystyle S_ {8}}$ jsou spojeny prostřednictvím výjimečného izomorfismu ${ displaystyle operatorname {SL} _ {4} / mu _ {2} cong operatorname {SO} _ {6}}$.) Existují také některé náhody se symetrií pravidelný mnohostěn: střídavá skupina A₅ souhlasí s ikosahedrální skupina (sám o sobě výjimečný objekt) a dvojitý kryt střídavé skupiny A₅ je binární ikosaedrální skupina.

Triviální skupina

The triviální skupina vzniká mnoha způsoby. Triviální skupina je od začátku klasické rodiny často vynechána. Například:

• ${ displaystyle C_ {1}}$, cyklická skupina řádu 1;
• ${ displaystyle A_ {0} cong A_ {1} cong A_ {2}}$, střídavá skupina na 0, 1 nebo 2 písmech;
• ${ displaystyle S_ {0} cong S_ {1}}$, symetrická skupina na 0 nebo 1 písmenu;
• ${ displaystyle operatorname {GL} (0, mathbb {K}) cong operatorname {SL} (0, mathbb {K}) cong operatorname {PGL} (0, mathbb {K}) cong operatorname {PSL} (0, mathbb {K})}$, lineární skupiny 0-rozměrného vektorového prostoru;
• ${ displaystyle operatorname {SL} (1, mathbb {K}) cong operatorname {PGL} (1, mathbb {K}) cong operatorname {PSL} (1, mathbb {K})}$, lineární skupiny 1-rozměrného vektorového prostoru
• a mnoho dalších.

Koule

Koule S⁰, S¹, a S³ připustit skupinové struktury, které lze popsat mnoha způsoby:

• ${ displaystyle S ^ {0} cong operatorname {Spin} (1) cong operatorname {O} (1) cong mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} cong mathbb {Z} ^ { times}}$, poslední je skupina jednotek celých čísel,
• ${ displaystyle S ^ {1} cong operatorname {Spin} (2) cong operatorname {SO} (2) cong operatorname {U} (1) cong mathbb {R} / mathbb {Z } cong}$ kruhová skupina
• ${ displaystyle S ^ {3} cong operatorname {Spin} (3) cong operatorname {SU} (2) cong operatorname {Sp} (1) cong}$ jednotkové čtveřice.

Skupiny odstřeďování

Navíc ${ displaystyle operatorname {točení} (1)}$, ${ displaystyle operatorname {točit} (2)}$ a ${ displaystyle operatorname {točit} (3)}$ nahoře existují izomorfismy pro skupiny vyšších dimenzionálních spinů:

• ${ displaystyle operatorname {Spin} (4) cong operatorname {Sp} (1) times operatorname {Sp} (1) cong operatorname {SU} (2) times operatorname {SU} (2 )}$
• ${ displaystyle operatorname {Spin} (5) cong operatorname {Sp} (2)}$
• ${ displaystyle operatorname {Spin} (6) cong operatorname {SU} (4)}$

Taky, Spin (8) má výjimečnou objednávku 3 soudnost automorfismus

Coxeter – Dynkinovy ​​diagramy

Existuje několik výjimečných izomorfismů Dynkinovy ​​diagramy, poskytující izomorfismy odpovídajících Coxeterových skupin a polytopů realizujících symetrie, stejně jako izomorfismy ležových algeber, jejichž kořenové systémy jsou popsány stejnými diagramy. Tyto jsou:

Diagram	Dynkinova klasifikace	Lež algebra	Polytop
	A1 = B1 = C1	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} cong { mathfrak {so}} _ {3} cong { mathfrak {sp}} _ {1}}$	-
${ displaystyle cong}$	A2 = Já2(2)	-	2-simplexní je pravidelné 3-gon (rovnostranný trojúhelník )
	před naším letopočtem2 = Já2(4)	${ displaystyle { mathfrak {so}} _ {5} cong { mathfrak {sp}} _ {2}}$	2 kostky je 2-křížový mnohostěn je pravidelné 4-gon (náměstí )
${ displaystyle cong}$	A1 × A1 = D2	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} oplus { mathfrak {sl}} _ {2} cong { mathfrak {so}} _ {4}}$	-
${ displaystyle cong}$	A3 = D3	${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {4} cong { mathfrak {so}} _ {6}}$	3-simplexní je 3-demihypercube (pravidelný čtyřstěn )

Viz také

• Výjimečný objekt
• Matematická náhoda, pro numerické náhody

Poznámky

Reference