Skupina Zassenhaus - Zassenhaus group

v matematika, a Skupina Zassenhaus, pojmenoval podle Hans Zassenhaus, je určitý druh dvojnásobně tranzitivní permutační skupina velmi úzce souvisí s hodností 1 skupiny typu Lie.

Definice

A Skupina Zassenhaus je permutační skupina G na konečné sadě X s následujícími třemi vlastnostmi:

• G je dvojnásobně tranzitivní.
• Netriviální prvky G opravit maximálně dva body.
• G nemá žádné pravidelné normální podskupina. („Normální“ znamená, že netriviální prvky neopravují žádné body X; porovnat akce zdarma.)

The stupeň skupiny Zassenhaus je počet prvků X.

Někteří autoři tuto třetí podmínku vynechávají G nemá žádnou normální normální podskupinu. Tato podmínka je zavedena k vyloučení některých „zvrhlých“ případů. Další příklady, které člověk získá vynecháním, jsou buď Skupiny Frobenius nebo určité skupiny stupně 2^p a objednávka2^p(2^p − 1)p pro nejlepšího p, které jsou generovány všemi semilineární mapování a Galoisovy automorfismy z řádu 2^p.

Příklady

Nechali jsme q = p^F být mocným prvkem p, a piš F_q pro konečné pole řádu q. Suzuki prokázalo, že jakákoli skupina Zassenhaus je jedním z následujících čtyř typů:

• The projektivní speciální lineární skupina PSL₂(F_q) pro q > 3 liché, působící na q + 1 body projektivní linie. Má pořádek (q + 1)q(q − 1)/2.
• The projektivní obecná lineární skupina PGL₂(F_q) pro q > 3. Má pořádek (q + 1)q(q − 1).
• Určitá skupina obsahující PSL₂(F_q) s index 2, pro q lichý čtverec. Má pořádek (q + 1)q(q − 1).
• The Suzuki skupina Suz(F_q) pro q síla 2, která je nejméně 8, a nikoli čtverec. Objednávka je (q² + 1)q²(q − 1)

Míra těchto skupin je q + 1 v prvních třech případech, q² + 1 v posledním případě.

Další čtení

• Konečné skupiny III (Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften Series, sv. 243) B. Hupperta, N. Blackburna, ISBN  0-387-10633-2