Hyperbolický 3-potrubí - Hyperbolic 3-manifold

v matematika, přesněji v topologie a diferenciální geometrie, a hyperbolický 3 – potrubí je potrubí o rozměru 3 vybavené a hyperbolická metrika, to je a Riemannova metrika který má všechny své řezové zakřivení rovná se -1. Obecně se vyžaduje, aby byla i tato metrika kompletní: v tomto případě lze potrubí realizovat jako kvocient trojrozměrného hyperbolický prostor podle a diskrétní skupina izometrií (a Kleinianova skupina ).

Hyperbolické 3-potrubí konečného objemu mají zvláštní význam v Trojrozměrná topologie jak vyplývá z Thurstona domněnka o geometrizaci prokázáno Perelmanem. Studium Kleinianových skupin je také důležitým tématem v teorie geometrických skupin.

Důležitost v topologii

Hyperbolická geometrie je nejbohatší a nejméně chápaná z osmi geometrií v dimenzi 3 (například pro všechny ostatní geometrie není těžké poskytnout s touto geometrií explicitní výčet konečných objemů potrubí, zatímco to zdaleka není případ pro hyperbolické rozdělovače ). Po prokázání domněnky Geometrisation je tedy porozumění topologickým vlastnostem hyperbolických 3-variet více hlavním cílem trojrozměrné topologie. Nedávné objevy Kahna – Markoviče, Wiseho, Agola a dalších odpověděli na většinu dlouhodobých otevřených otázek k tomuto tématu, ale stále existuje mnoho méně významných otázek, které nebyly vyřešeny.^[1]

V dimenzi 2 jsou téměř všechny uzavřené povrchy hyperbolické (všechny kromě koule, projektivní roviny, torusu a Kleinovy ​​láhve). V dimenzi 3 to zdaleka není pravda: existuje mnoho způsobů, jak postavit nekonečně mnoho nehyperbolických uzavřených potrubí. Na druhou stranu heuristické tvrzení, že „generický 3-variátor má tendenci být hyperbolický“, je ověřeno v mnoha kontextech. Například jakýkoli uzel, který není ani a satelitní uzel nebo a uzel torus je hyperbolický.^[2] Navíc téměř všechny Dehnovy operace na hyperbolickém uzlu přinášejí hyperbolický varietu. Podobný výsledek platí pro odkazy (Thurston's hyperbolická Dehnova operace věta), a protože všechny 3-variety jsou získány jako operace na spojení ve 3-sféře, dává to neformálnímu prohlášení přesnější smysl. Dalším smyslem, ve kterém jsou „téměř všechna“ potrubí v dimenzi 3 hyperbolická, je význam náhodných modelů. Například náhodné Heegaardské štípání rodu alespoň 2 jsou téměř jistě hyperbolické (když složitost lepicí mapy jde do nekonečna).^[3]

Význam hyperbolické geometrie 3-variátoru pro jeho topologii také pochází z Věta věty o rigiditě, který uvádí, že hyperbolická struktura hyperbolického 3 – potrubí konečného objemu je jednoznačně určena jeho homotopickým typem. Zejména geometrický invariant, jako je objem lze použít k definování nových topologických invariantů.

Struktura

Rozdělovače konečného objemu

V tomto případě je jedním z důležitých nástrojů pro pochopení geometrie potrubí rozdělovač hustý-tenký rozklad. Uvádí, že hyperbolický 3-variet konečného objemu má rozklad na dvě části:

• the tlustý část, kde je poloměr injektivity větší než absolutní konstanta;
• a jeho doplněk tenký část, což je disjunktní spojení pevných tori a vrcholy.

Geometricky konečné rozdělovače

Tlustý-tenký rozklad je platný pro všechny hyperbolické 3-varietá, ačkoli obecně tenká část není taková, jak je popsáno výše. Říká se, že hyperbolický 3-potrubí geometricky konečný pokud obsahuje konvexní dílčí potrubí (jeho konvexní jádro), na který se zasouvá a jehož tlustá část je kompaktní (všimněte si, že všechna potrubí mají konvexní jádro, ale obecně to není kompaktní).^[4] Nejjednodušší případ je, když potrubí nemá „hrbolky“ (tj. Základní skupina neobsahuje parabolické prvky), v takovém případě je potrubí geometricky konečné právě tehdy, pokud jde o kvocient uzavřené, konvexní podmnožiny hyperbolického prostoru skupinou jednající souběžně s touto podmnožinou.

Rozdělovače s konečně generovanou základní skupinou

Toto je větší třída hyperbolických 3-variet, pro které existuje uspokojivá teorie struktury. Spočívá na dvou větách:

• The věta o krotkosti který uvádí, že takové potrubí je homeomorfní s vnitřkem kompaktního potrubí s hranicí;
• The koncová věta o laminaci který poskytuje klasifikaci hyperbolické struktury na vnitřku kompaktního potrubí podle jeho „koncových invariantů“.

Konstrukce hyperbolických 3-potrubí konečného objemu

Hyperbolická mnohostěna, reflexní skupiny

Nejstarší konstrukce hyperbolických variet, která sahá přinejmenším do Poincarého, zní následovně: začněte s konečnou sbírkou trojrozměrné hyperbolické konečné polytopes. Předpokládejme, že mezi dvojrozměrnými plochami těchto mnohostěnů je boční párování (tj. Každá taková plocha je spárována s jinou, odlišnou, takovou, aby byly navzájem izometrické jako dvourozměrné hyperbolické polygony), a zvažte prostor získáno slepením spárovaných obličejů dohromady (formálně se to získá jako a kvocientový prostor ). Nese hyperbolickou metriku, která je dobře definována mimo obraz 1-kostry mnohostěnu. Tato metrika se rozšíří na hyperbolickou metriku v celém prostoru, pokud jsou splněny dvě následující podmínky:^[5]

• pro každý (neideální) vrchol při lepení součet plné úhly mnohostěnů, ke kterým patří, se rovná ${ displaystyle 4 pi}$;
• pro každou hranu v lepení součet vzepětí mnohostěnů, ke kterým patří, se rovná ${ displaystyle 2 pi}$.

Pozoruhodným příkladem této konstrukce je Seifert – Weberův prostor který se získá lepením protilehlých ploch pravidelného dvanáctistěn.

Variací na tuto konstrukci je použití hyperbolických Coxeterových polytopů (polytopů, jejichž úhly jsou ve tvaru ${ displaystyle pi / m, m in mathbb {N}}$). Z takového mnohostěnu vzniká Kleinian reflexní skupina, což je diskrétní podskupina izometrií hyperbolického prostoru. Vezmeme-li podskupinu konečných indexů bez zkroucení, získáme hyperbolické potrubí (které lze obnovit předchozí konstrukcí, lepením kopií původního Coxeterova polytopu způsobem předepsaným příslušným Schreierův cosetový graf ).

Lepení ideálních čtyřstěnů a hyperbolické Dehnovy operace

V předchozí konstrukci jsou získaná potrubí vždy kompaktní. K získání potrubí s hrbolky je třeba použít polytopes, které mají ideální vrcholy (tj. vrcholy, které leží na kouli v nekonečnu). V tomto nastavení nemusí lepicí konstrukce vždy přinést úplné potrubí. Úplnost je detekována systémem rovnic zahrnujících vzepjaté úhly kolem okrajů sousedících s ideálním vrcholem, které se běžně nazývají Thurstonovy rovnice lepení. V případě, že je lepení hotové, stanou se ideální vrcholy vrcholy v potrubí. Příkladem takto získaného nekompaktního hyperbolického potrubí s konečným objemem je Gieseking potrubí který je konstruován lepením ploch pravidelného ideálního hyperbolického čtyřstěn spolu.

Je také možné zkonstruovat kompletní hyperbolický potrubí konečného objemu, když lepení není kompletní. V tomto případě je dokončením získaného metrického prostoru potrubí s hranicí torusu a za určitých (ne obecných) podmínek je možné na každou hraniční složku přilepit hyperbolický pevný torus, takže výsledný prostor má úplnou hyperbolickou metriku. Topologicky je potrubí získáno hyperbolickým Dehnovým chirurgickým zákrokem na úplném hyperbolickém potrubí, který by byl výsledkem úplného slepení.

Není známo, zda lze takto konstruovat všechna hyperbolická 3-potrubí konečného objemu.^[6] V praxi to je ale způsob, jakým výpočetní software (např SnapPea nebo Regina ) ukládá hyperbolické rozdělovače.^[7]

Aritmetické konstrukce

Konstrukce aritmetických Kleinianových skupin z čtveřice algeber vede k obzvláště zajímavým hyperbolickým varietám. Na druhou stranu jsou v určitém smyslu „vzácné“ mezi hyperbolickými 3-varietami (například hyperbolická Dehnova operace na pevném varietě vede k aritmetickému varietě pro téměř všechny parametry).

Věta o hyperbolisaci

Na rozdíl od výše uvedených explicitních konstrukcí lze čistě z topologické informace odvodit existenci úplné hyperbolické struktury na 3-varietě. Toto je důsledek domněnky Geometrisation a lze jej uvést následovně (tvrzení někdy označované jako „věta o hyperbolisaci“, kterou Thurston dokázal ve zvláštním případě Hakenových variet):

Pokud je kompaktní 3-rozdělovač s torickou hranicí neredukovatelné a algebraicky atoroidní (což znamená, že každý ${ displaystyle pi _ {1}}$-injektivně ponořený torus je homotopický k hraniční složce), pak jeho vnitřek nese úplnou hyperbolickou metriku konečného objemu.

Konkrétním případem je případ a povrchový svazek přes kruh: taková potrubí jsou vždy neredukovatelná a nesou úplnou hyperbolickou metriku právě tehdy, je-li monodromy mapa pseudo-Anosov.

Dalším důsledkem domněnky Geometrisation je, že každé uzavřené 3-potrubí, které připouští Riemannovu metriku se zápornými průřezovými křivkami, připouští ve skutečnosti Riemannovu metriku s konstantní průřezovou křivkou -1. To neplatí ve vyšších dimenzích.^[8]

Virtuální vlastnosti

Topologické vlastnosti 3-potrubí jsou dostatečně složité, že v mnoha případech je zajímavé vědět, že vlastnost platí prakticky pro třídu potrubí, to znamená, že pro každé potrubí ve třídě existuje konečný krycí prostor potrubí s vlastností . Virtuální vlastnosti hyperbolických 3-variet jsou objekty řady dohadů od Waldhausena a Thurstona, které nedávno prokázal Ian Agol po díle Jeremyho Kahna, Vlada Markoviče, Frédérica Haglunda, Daniho Wise a dalších. První část domněnek logicky souvisela s prakticky Hakenova domněnka. V pořadí podle síly jsou:^[9]

1. (dále jen domněnka povrchové podskupiny ) Základní skupina jakéhokoli hyperbolického potrubí konečného objemu obsahuje (nesvobodnou) povrchovou skupinu (základní skupina uzavřený povrch ).
2. (dále jen Prakticky Hakenova domněnka ) Jakýkoli hyperbolický 3-potrubí konečného objemu je prakticky Haken; to znamená, že obsahuje vložený uzavřený povrch tak, že vložení indukuje injektivní mapu mezi základními skupinami.
3. Jakékoli hyperbolické 3-potrubí konečného objemu má konečné pokrytí s nenulovou první Betti číslo.
4. Jakýkoli hyperbolický 3 –násobek konečného objemu má konečné pokrytí, jehož základní skupina se předpokládá na neabelovském volná skupina (takové skupiny se obvykle nazývají velký).

Další domněnka (také prokázaná Agolem), která implikuje 1-3 výše, ale a priori nemá žádný vztah k 4, je následující:

5. ( prakticky vláknitá domněnka ) Libovolný hyperbolický 3 – potrubí konečného objemu má konečné pokrytí, což je povrchový svazek přes kruh.

Prostor všech hyperbolických 3-variet

Geometrická konvergence

Řada Kleinianových skupin se říká, že je geometricky konvergentní pokud konverguje do Chabauty topologie. U potrubí získaných jako kvocienty to znamená, že jsou konvergentní ve špičaté Gromov-Hausdorffova metrika.

Teorie Jørgensen – Thurston

Hyperbolický objem lze použít k uspořádání prostoru celého hyperbolického potrubí. Sada potrubí odpovídající danému objemu je nanejvýš konečná a sada objemů ano dobře objednané a ze dne typ objednávky ${ displaystyle omega ^ { omega}}$. Přesněji řečeno, Thurstonova hyperbolická Dehnova chirurgická věta naznačuje, že s ${ displaystyle m}$ cusps je limit posloupnosti potrubí s ${ displaystyle l}$ vrcholy pro všechny ${ displaystyle 0 leq l$, takže izolované body jsou objemy kompaktních rozdělovačů, rozdělovače s přesně jedním hrotem jsou limity kompaktních rozdělovačů atd. Spolu s výsledky Jørgensenovy věty také dokazuje, že jakákoli konvergentní sekvence musí být získána Dehnovými operacemi na mezním potrubí.^[10]

Kvazi-fuchsijské skupiny

Sekvence kvazi-fuchsiová povrchové skupiny daného rodu se mohou sbíhat do dvojnásobně zdegenerované povrchové skupiny, jako v věta o dvojnásobném limitu.

Poznámky

Reference

• Aschenbrenner, Matthias; Friedl, Stefan; Wilton, Henry (2015). Skupiny 3-potrubí. Série přednášek z matematiky EMS. Evropská matematika. Soc.
• Callahan, Patrick J .; Hildebrand, Martin V .; Weeks, Jeffrey R. (1999). „Sčítání hyperbolických 3-variet. Matematika. Comp. 68 (225): 321–332. doi:10.1090 / s0025-5718-99-01036-4. PAN  1620219.
• Gromov, Michael (1981). „Hyperbolické rozdělovače podle Thurstona a Jørgensena“. Séminaire N. Bourbaki, 1979-1980. Přednášky z matematiky. 842. Springer. 40–53. PAN  0636516. Archivovány od originál dne 2016-01-10.
• Gromov, Michail; Thurston, William (1987). "Sevření konstant pro hyperbolické potrubí". Inventiones Mathematicae. 89: 1–12. Bibcode:1987InMat..89 .... 1G. doi:10.1007 / bf01404671.
• Maher, Joseph (2010). "Náhodné rozdělení Heegaardů". J. Topol. 3 (4): 997–1025. arXiv:0809.4881. doi:10.1112 / jtopol / jtq031.
• Neumann, Walter; Zagier, Don (1985). "Objemy hyperbolických tří variet". Topologie. 24 (3): 307–332. doi:10.1016/0040-9383(85)90004-7.
• Petronio, Carlo; Porti, Joan (2000). „Negativně orientované ideální triangulace a důkaz Thurstonovy hyperbolické věty o naplnění Dehna“. Expo. Matematika. 18: 1–35. arXiv:matematika / 9901045. Bibcode:1999math ...... 1045P.
• Ratcliffe, John G. (2006) [1994]. Základy hyperbolických variet. Postgraduální texty z matematiky. 149 (2. vyd.). Berlín, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-47322-2. ISBN  978-0-387-33197-3. PAN  2249478.
• Thurston, William (1980). Geometrie a topologie tří potrubí. Poznámky k přednášce Princeton - prostřednictvím MSRI [1].
• Thurston, William (1982). „Trojrozměrná potrubí, Kleinianovy skupiny a hyperbolická geometrie“. Bulletin of the American Mathematical Society (New Series). 6 (3): 357–381. doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15003-0. ISSN  0002-9904. PAN  0648524.
• Thurston, William (1997). 3-dimenzionální geometrie a topologie. Princeton University Press.