Centrum (teorie kategorií) - Center (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, centrum (nebo Drinfeldovo centrum, po sovětsko-americkém matematikovi Vladimír Drinfeld ) je variantou pojmu střed monoidu, skupiny nebo kruhu do kategorie.

Definice

Centrum a monoidní kategorie ${displaystyle {mathcal {C}} = ({mathcal {C}}, otimes, I)}$, označeno ${displaystyle {mathcal {Z (C)}}}$, je kategorie, jejíž objekty jsou páry (A, u) skládající se z objektu A z ${displaystyle {mathcal {C}}}$ a izomorfismus ${displaystyle u_ {X}: Aotimes Xightarrow Xotimes A}$ který je přírodní v ${displaystyle X}$ uspokojující

${displaystyle u_ {Xotimes Y} = (1krát u_ {Y}) (u_ {X} další 1)}$

a

${displaystyle u_ {I} = 1_ {A}}$ (je to vlastně důsledek prvního axiomu).^[1]

Šipka z (A, u) na (B, v) v ${displaystyle {mathcal {Z (C)}}}$ sestává ze šipky ${displaystyle f: Aightarrow B}$ v ${displaystyle {mathcal {C}}}$ takhle

${displaystyle v_ {X} (fotimes 1_ {X}) = (1_ {X} mnohokrát f) u_ {X}}$.

Tato definice středu se objeví v Joyal & Street (1991). Ekvivalentně může být střed definován jako

${displaystyle {mathcal {Z}} ({mathcal {C}}) = mathrm {End} _ {{mathcal {C}} další {mathcal {C}} ^ {op}} ({mathcal {C}}), }$

tj. endofunktory z C které jsou kompatibilní s levou a pravou akcí C sám o sobě daný tenzorovým součinem.

Pletení

Kategorie ${displaystyle {mathcal {Z (C)}}}$ se stává pletená monoidní kategorie s tenzorovým produktem na objektech definovaných jako

${displaystyle (A, u) otimes (B, v) = (Aotimes B, w)}$

kde ${displaystyle w_ {X} = (u_ {X} vícekrát 1) (1krát v_ {X})}$a zjevné opletení.

Vyšší kategorická verze

Kategorické centrum je užitečné zejména v kontextu vyšších kategorií. Ilustruje to následující příklad: střed (abelian ) kategorie ${displaystyle mathrm {Mod} _ {R}}$ z R-moduly, pro a komutativní prsten R, je ${displaystyle mathrm {Mod} _ {R}}$ znovu. Střed monoidu ∞-kategorie C lze definovat, analogicky k výše uvedenému, jako

${displaystyle Z ({mathcal {C}}): = mathrm {End} _ {{mathcal {C}} další {mathcal {C}} ^ {op}} ({mathcal {C}})}$.

Nyní, na rozdíl od výše uvedeného, ​​střed odvozené kategorie R-modulů (považovaných za ∞-kategorii) je dána odvozenou kategorií modulů přes komplex řetězců kódujících Hochschildova kohomologie, komplex, jehož stupeň 0 je R (jako v abelianské situaci výše), ale zahrnuje vyšší výrazy jako např ${displaystyle Hom (R, R)}$ (odvozený Hom).^[2]

Pojem centrum v této obecnosti rozvíjí Lurie (2017, §5.3.1). Rozšířením výše uvedeného opletení na střed běžné monoidní kategorie se střed monoidní ∞ kategorie stane ${displaystyle E_ {2}}$-monoidní kategorie. Obecněji řečeno, střed a ${displaystyle E_ {k}}$-monoidal category je algebraický objekt v ${displaystyle E_ {k}}$-monoidní kategorie, a proto do Dunnova aditivita, an ${displaystyle E_ {k + 1}}$-monoidní kategorie.

Příklady

Hinich (2007) ukázal, že středisko Drinfeld kategorie snopy na orbifold X je kategorie snopů na setrvačnost orbifold z X. Pro X být třídicí prostor konečné skupiny G, setrvačnost orbifold je kvocient zásobníku G/G, kde G působí na sebe konjugací. V tomto zvláštním případě se Hinichův výsledek specializuje na tvrzení, že střed kategorie G-reprezentace (s ohledem na nějaké pozemní pole k) odpovídá kategorii sestávající z G- hodnoceno k-vektorové mezery, tj. objekty formuláře

${displaystyle igoplus _ {gin G} V_ {g}}$

pro některé k-vektorové prostory, spolu s G- ekvivariační morfismy, kde G působí na sebe konjugací.

Ve stejném duchu, Ben-Zvi, Francis & Nadler (2010) ukázaly, že Drinfeld je centrem odvozené kategorie kvazi-koherentních snopů na perfektním zásobníku X je odvozená kategorie svazků na zásobníku smyček X.

Související pojmy

Středy monoidních objektů

The střed monoidu a Drinfeldovo centrum monoidní kategorie jsou oba příklady následujícího obecnějšího konceptu. Vzhledem k monoidní kategorii C a a monoidní objekt A v C, centrum města A je definován jako

${displaystyle Z (A) = End_ {Aotimes A ^ {op}} (A).}$

Pro C jako kategorie množin (s obvyklým kartézským součinem) je monoidní objekt jednoduše monoid a Z(A) je středem monoidu. Podobně, pokud C je kategorie abelianských skupin, monoidní objekty jsou prsteny a výše uvedené obnovuje střed prstenu. Nakonec, pokud C je kategorie kategorií, s produktem jako monoidní operací, monoidní objekty v C jsou monoidní kategorie a výše uvedené obnovuje centrum Drinfeld.

Kategorická stopa

Kategorická stopa monoidní kategorie (nebo monoidní category-kategorie) je definována jako

${displaystyle Tr (C): = Cotimes _ {Cotimes C ^ {op}} C.}$

Koncept je široce používán, například v Zhu (2018).

Reference

• Ben-Zvi, David; Francis, John; Nadler, David (2010), „Integrální transformace a Drinfeldova centra v odvozené algebraické geometrii“, Journal of the American Mathematical Society, 23 (4): 909–966, arXiv:0805.0157, doi:10.1090 / S0894-0347-10-00669-7, PAN  2669705
• Hinich, Vladimir (2007), „Drinfeld double for orbifolds“, Sborník z matematické konference v Izraeli. Kvantové skupiny. Sborník z konference na památku Josepha Donina, Haifa, Izrael, 5. - 12. července 2004, AMS, s. 251–265, arXiv:matematika / 0511476, ISBN  978-0-8218-3713-9, Zbl  1142.18004
• Joyal, André; Ulice, Ross (1991), "Tortile Yang-Baxter operátoři v tenzorových kategoriích", Journal of Pure and Applied Algebra, 71 (1): 43–51, doi:10.1016/0022-4049(91)90039-5, PAN  1107651.
• Lurie, Jacob (2017), Vyšší algebra
• Majid, Shahn (1991). „Reprezentace, duály a kvantové zdvojnásobení monoidních kategorií“. Sborník Zimní školy geometrie a fyziky (Srní, 1990). Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Série II. Dodatek (26). 197–206. PAN  1151906.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Zhu, Xinwen (2018), „Geometric Satake, kategorické stopy a aritmetika odrůd Shimura“, Aktuální vývoj v matematice 2016, Int. Press, Somerville, MA, str. 145–206, PAN  3837875

externí odkazy

• Drinfeldovo centrum v nLab