Vláda Littlewood – Richardson - Littlewood–Richardson rule - Wikipedia

v matematika, Vláda Littlewood – Richardson je kombinatorický popis koeficientů, které vznikají při rozkladu součinu dvou Schurovy funkce jako lineární kombinace dalších Schurových funkcí. Tyto koeficienty jsou přirozená čísla, která pravidlo Littlewood – Richardson popisuje jako určité zkosená tabla. Vyskytují se v mnoha dalších matematických kontextech, například jako multiplicita v rozkladu tenzorové výrobky z neredukovatelné reprezentace z obecné lineární skupiny (nebo příbuzné skupiny jako speciální lineární a speciální unitární skupiny ), nebo při rozkladu určitých indukované reprezentace v teorie reprezentace symetrické skupiny, nebo v oblasti algebraická kombinatorika jednat s Mladé obrazy a symetrické polynomy.

Koeficienty Littlewood – Richardson závisí na třech oddíly, řekněme ${ displaystyle lambda, mu, nu}$, z toho ${ displaystyle lambda}$ a ${ displaystyle mu}$ popsat vynásobené Schurovy funkce a ${ displaystyle nu}$ udává Schurovu funkci, jejíž koeficient je v lineární kombinaci; jinými slovy, jsou to koeficienty ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ takhle

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = součet _ { nu} c _ { lambda, mu} ^ { nu} s _ { nu}.}$

Pravidlo Littlewood – Richardson to říká ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ se rovná počtu obrazů Littlewood – Richardson zkosený tvar ${ displaystyle nu / lambda}$ a hmotnosti ${ displaystyle mu}$.

Dějiny

Pravidlo Littlewood – Richardson poprvé uvedlo D. E. Littlewood a A. R. Richardson  (1934 věta III str. 119), ale ačkoli to tvrdili jako větu, dokázali to pouze v některých poměrně jednoduchých zvláštních případech. Robinson  (1938 ) tvrdil, že vyplnil svůj důkaz, ale jeho argument měl mezery, i když byl napsán tak temně, že tyto mezery nebyly po nějakou dobu zaznamenány, a jeho argument je uveden v knize (Littlewood 1950 ). Některé mezery byly později vyplněny Macdonald (1995). První důkladné důkazy o pravidle podal Schützenberger (čtyři desetiletí poté, co bylo nalezeno) (1977 ) a Thomas (1974), poté, co potřebná kombinatorická teorie byla vyvinuta C. Schensted  (1961 ), Schützenberger (1963 ), a Knuth  (1970 ) při své práci na internetu Korespondence Robinson – Schensted. Nyní existuje několik krátkých důkazů o pravidle, například (Gasharov 1998 ), a (Stembridge 2002 ) použitím Bender-Knuth involuce.Littelmann (1994) použil Littelmannův model cesty zobecnit pravidlo Littlewood – Richardson na další poloprosté Lieovy skupiny.

Pravidlo Littlewood – Richardson je proslulé množstvím chyb, které se objevily před úplným publikovaným důkazem. Několik publikovaných pokusů dokázat, že je neúplné, je obzvláště obtížné vyhnout se chybám při provádění ručních výpočtů: dokonce i původní příklad v D. E. Littlewood a A. R. Richardson (1934 ) obsahuje chybu.

Littlewood – Richardson výjevy

Tablo Littlewood – Richardson

Tablo Littlewood – Richardson je pokřivené polostandardní tablo s další vlastností, že posloupnost získaná zřetězením jejích obrácených řádků je a mříž slovo (nebo mřížková permutace), což znamená, že v každé počáteční části posloupnosti libovolné číslo ${ displaystyle i}$ se vyskytuje alespoň tak často jako počet ${ displaystyle i + 1}$. Další ekvivalentní (i když ne zcela zjevnou) charakteristikou je, že samotné tablo a jakékoli tablo z něj získané odstraněním určitého počtu sloupců zcela vlevo má slabě klesající váhu. Bylo nalezeno mnoho dalších kombinatorických pojmů, které se ukázaly být v bijekci s výjevy Littlewood – Richardson, a lze je tedy také použít k definování koeficientů Littlewood – Richardson.

Další tablo Littlewood – Richardson

Příklad

Zvažte případ ${ displaystyle lambda = (2,1)}$, ${ displaystyle mu = (3,2,1)}$ a ${ displaystyle nu = (4,3,2)}$. Pak skutečnost, že ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu} = 2}$ lze odvodit ze skutečnosti, že dvě tabla znázorněná vpravo jsou jedinými dvěma tvarovými tabulemi Littlewood – Richardson ${ displaystyle nu / lambda}$ a hmotnost ${ displaystyle mu}$. Jelikož poslední pole na prvním neprázdném řádku zešikmeného diagramu může obsahovat pouze položku 1, musí být celý první řádek vyplněn položkami 1 (to platí pro jakékoli tablo Littlewood – Richardson); v posledním poli druhého řádku můžeme umístit pouze 2 podle přísnosti sloupců a skutečnost, že naše mřížkové slovo nemůže obsahovat žádnou větší položku dříve, než obsahuje 2. Pro první pole druhého řádku nyní můžeme použít buď 1 nebo 2. Jakmile je tato položka vybrána, třetí řádek musí obsahovat zbývající položky, aby váha (3,2,1) byla ve slabě rostoucím pořadí, takže nám už nezbývá žádná volba; v obou případech se ukázalo, že najdeme tablo Littlewood – Richardson.

Více geometrický popis

Podmínku, že posloupnost záznamů načtených z tabla v poněkud zvláštním pořadí tvoří mřížové slovo, lze nahradit místnější a geometrickější podmínkou. Protože v polostandardním tablo se stejné položky nikdy nevyskytují ve stejném sloupci, lze číslovat kopie libovolné hodnoty zprava doleva, což je jejich pořadí výskytu v sekvenci, která by měla být mřížkovým slovem. Zavolejte na číslo, které je tak přidružené ke každé položce, do jejího indexu a napište položku i s indexem j tak jako i[j]. Nyní, pokud nějaké tablo Littlewood – Richardson obsahuje záznam ${ displaystyle i> 1}$ s indexem j, pak ten záznam i[j] by se mělo vyskytovat v řadě přesně pod ${ displaystyle (i-1) [j]}$ (což jistě také nastane, od vstupu i - 1 se vyskytuje nejméně tak často jako záznam i dělá). Ve skutečnosti záznam i[j] by se měl vyskytovat také ve sloupci ne napravo od téže položky ${ displaystyle (i-1) [j]}$ (což se na první pohled jeví jako přísnější podmínka). Pokud je váha tabla Littlewood – Richardson předem stanovena, pak lze vytvořit pevnou sbírku indexovaných záznamů, a pokud jsou umístěny způsobem respektujícím tato geometrická omezení, kromě těch z polostandardní tablo a podmínka, že indexované kopie stejných položek by měly respektovat pořadí indexů zprava doleva, pak jsou výsledná tabla zaručeně tabulatury Littlewood – Richardson.

Algoritmická forma pravidla

Littlewood – Richardson, jak je uvedeno výše, poskytuje kombinatorický výraz pro jednotlivé koeficienty Littlewood – Richardson, ale neposkytuje žádné indikace o praktické metodě výčtu tablo Littlewood – Richardson za účelem zjištění hodnot těchto koeficientů. Opravdu, za dané ${ displaystyle lambda, mu, nu}$ neexistuje jednoduché kritérium pro určení, zda jsou nějaké obrazce tvaru Littlewood – Richardson ${ displaystyle nu / lambda}$ a hmotnosti ${ displaystyle mu}$ vůbec existují (i když existuje řada nezbytných podmínek, z nichž nejjednodušší je ${ displaystyle | lambda | + | mu | = | nu |}$); proto se zdá nevyhnutelné, že v některých případech je třeba projít složitým hledáním, jen aby zjistil, že neexistují žádná řešení.

Pravidlo nicméně vede k poměrně efektivnímu postupu k určení úplného rozkladu produktu Schurových funkcí, jinými slovy k určení všech koeficientů ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ pro pevné λ a μ, ale měnící se ν. Tím se opraví váha obrazů Littlewood – Richardson, které mají být zkonstruovány, a „vnitřní část“ λ jejich tvaru, ale ponechá se „vnější část“ ν volná. Protože je známa váha, je sada indexovaných záznamů v geometrickém popisu pevná. Nyní pro po sobě jdoucí indexované položky lze vyzkoušet všechny možné polohy povolené geometrickými omezeními v a ustoupit Vyhledávání. Položky lze vyzkoušet v rostoucím pořadí, zatímco mezi stejnými položkami je lze vyzkoušet klesající index. Druhý bod je klíčem k efektivnosti postupu vyhledávání: záznam i[j] je poté omezeno na umístění ve sloupci napravo od ${ displaystyle i [j + 1]}$, ale ne dále doprava než ${ displaystyle i-1 [j]}$ (pokud takové položky existují). To silně omezuje množinu možných pozic, ale vždy ponechává alespoň jednu platnou pozici pro ${ displaystyle i [j]}$; tedy každé umístění záznamu povede k alespoň jednomu úplnému malému a Richardsonovu tablo a vyhledávací strom neobsahuje žádné slepé uličky.

Podobnou metodu lze použít k vyhledání všech koeficientů ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ pro pevné λ a ν, ale měnící se μ.

Koeficienty Littlewood – Richardson

Koeficienty Littlewood – Richardson C^ν
_λμ se objeví v následujících vzájemně souvisejících způsobech:

• Jsou to strukturní konstanty pro produkt v kruh symetrických funkcí s ohledem na základ Schurových funkcí

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu} = součet c _ { lambda mu} ^ { nu} s _ { nu}}$

nebo ekvivalentně C^ν
_λμ je vnitřní produkt s_ν a s_λs_μ.

• Vyjadřují vychýlit Schurovy funkce pokud jde o Schurovy funkce

${ displaystyle s _ { nu / lambda} = součet _ { mu} c _ { lambda mu} ^ { nu} s _ { mu}.}$

• The C^ν
  _λμ se zobrazí jako čísla křižovatky na a Grassmannian:

${ displaystyle sigma _ { lambda} sigma _ { mu} = součet c _ { lambda mu} ^ { nu} sigma _ { nu}}$

kde σ_μ je třída Odrůda Schubert Grassmannian odpovídajícíμ.

• C^ν
  _λμ je počet opakování neredukovatelné reprezentace PROTI_λ ⊗ PROTI_μ součinu symetrických skupin S_|λ| × S_|μ| se objevuje v omezení zastoupení PROTI_ν z S_|ν| na S_|λ| × S_|μ|. Podle Frobeniova vzájemnost to je také tolikrát, kolikrát PROTI_ν se vyskytuje v reprezentaci S_|ν| vyvolané z PROTI_λ ⊗ PROTI_μ.
• The C^ν
  _λμ se objevují při rozkladu tenzorového produktu (Fulton 1997 ) ze dvou Schurovy moduly (neredukovatelné reprezentace speciálních lineárních skupin)

${ displaystyle E ^ { lambda} další E ^ { mu} = bigoplus _ { nu} (E ^ { nu}) ^ { oplus c _ { lambda mu} ^ { nu}} .}$

• C^ν
  _λμ je počet standardních mladých obrazců tvaru ν/μ to jsou jeu de taquin ekvivalent nějakého fixního standardního Youngova obrazce tvaruλ.
• C^ν
  _λμ je počet obrazců ve tvaru Littlewood – Richardson ν/λ a hmotnostiμ.
• C^ν
  _λμ je počet obrázky mezi μ a ν / λ.

Zobecnění a zvláštní případy

The snížený Kroneckerův koeficient symetrické skupiny ${ displaystyle { bar {C}} _ ​​{ lambda, mu, nu}}$ je zobecněním ${ displaystyle c _ { lambda, mu} ^ { nu}}$ na tři libovolné Youngovy diagramy ${ displaystyle lambda, mu, nu}$, který je symetrický pod permutacemi tří diagramů.

Zelevinsky (1981) rozšířil pravidlo Littlewood – Richardson na zkosení Schurových funkcí takto:

${ displaystyle s _ { lambda} s _ { mu / nu} = součet _ { lambda + omega (T _ { geq j}) v P} s _ { lambda + omega (T)}}$

kde součet přesahuje všechny obrazy T na μ / ν takové, že pro všechny jposloupnost celých čísel λ + ω (T_≥j) se nezvyšuje a ω je váha.

Pieriho vzorec, což je zvláštní případ pravidla Littlewood – Richardson v případě, že jeden z oddílů má pouze jedna část, tvrdí, že

• ${ displaystyle displaystyle S _ { mu} S_ {n} = součet _ { lambda} S _ { lambda}}$

kde S_n je Schurova funkce oddílu s jedním řádkem a součet je přes všechny oddíly λ získané z μ přidáním n prvky k jeho Ferrersův diagram, žádné dva ve stejném sloupci.

Pokud jsou oba oddíly obdélníkový ve tvaru je součet také zdarma multiplicita (Okada 1998 ). Opravit A, b, p, a q kladná celá čísla s p ${ displaystyle geq}$ q. Označit podle ${ displaystyle (a ^ {p})}$ oddíl s p části délky A. Oddíly indexující netriviální komponenty ${ displaystyle s _ {(a ^ {p})} s _ {(b ^ {q})}}$ jsou ty oddíly ${ displaystyle lambda}$ s délkou ${ displaystyle leq p + q}$ takhle

• ${ displaystyle lambda _ {q + 1} = lambda _ {q + 2} = cdots = lambda _ {p} = a,}$
• ${ displaystyle lambda _ {q} geq mathrm {max} (a, b)}$
• ${ displaystyle lambda _ {i} + lambda _ {p + q-i + 1} = a + b, quad {i = 1, tečky, q}.}$

Například,

.

Příklady

Níže uvedené příklady Littlewood-Richardsonových koeficientů jsou uvedeny ve vztahu k produktům Schurových polynomů S_π, indexované oddíly π, pomocí vzorce

${ displaystyle S _ { lambda} S _ { mu} = součet c _ { lambda mu} ^ { nu} S _ { nu}.}$

Všechny koeficienty s ν nejvýše 4 jsou dány vztahem:

• S₀S_π = S_π pro libovolné π. kde S₀= 1 je Schurův polynom prázdného oddílu
• S₁S₁ = S₂ + S₁₁
• S₂S₁ = S₃ + S₂₁
• S₁₁S₁ = S₁₁₁ + S₂₁
• S₃S₁ = S₄ + S₃₁
• S₂₁S₁ = S₃₁ + S₂₂ + S₂₁₁
• S₂S₂ = S₄ + S₃₁ + S₂₂
• S₂S₁₁ = S₃₁ + S₂₁₁
• S₁₁₁S₁ = S₁₁₁₁ + S₂₁₁
• S₁₁S₁₁ = S₁₁₁₁ + S₂₁₁ + S₂₂

Většina koeficientů pro malé oddíly je 0 nebo 1, což se stává zejména vždy, když má jeden z faktorů tvar S_n nebo S_11...1, kvůli Pieriho vzorec a jeho transponovaný protějšek. Nejjednodušší příklad s koeficientem větším než 1 se stane, když žádný z faktorů nemá tuto formu:

• S₂₁S₂₁ = S₄₂ + S₄₁₁ + S₃₃ + 2S₃₂₁ + S₃₁₁₁ + S₂₂₂ + S₂₂₁₁.

U větších oddílů se koeficienty komplikují. Například,

• S₃₂₁S₃₂₁ = S₆₄₂ +S₆₄₁₁ +S₆₃₃ +2S₆₃₂₁ +S₆₃₁₁₁ +S₆₂₂₂ +S₆₂₂₁₁ +S₅₅₂ +S₅₅₁₁ +2S₅₄₃ +4S₅₄₂₁ +2S₅₄₁₁₁ +3S₅₃₃₁ +3S₅₃₂₂ +4S₅₃₂₁₁ +S₅₃₁₁₁₁ +2S₅₂₂₂₁ +S₅₂₂₁₁₁ +S₄₄₄ +3S₄₄₃₁ +2S₄₄₂₂ +3S₄₄₂₁₁ +S₄₄₁₁₁₁ +3S₄₃₃₂ +3S₄₃₃₁₁ +4S₄₃₂₂₁ +2S₄₃₂₁₁₁ +S₄₂₂₂₂ +S₄₂₂₂₁₁ +S₃₃₃₃ +2S₃₃₃₂₁ +S₃₃₃₁₁₁ +S₃₃₂₂₂ +S₃₃₂₂₁₁ s 34 členy a celkovou multiplicitou 62 a největší koeficient je 4
• S₄₃₂₁S₄₃₂₁ je součet 206 výrazů s celkovou multiplicitou 930 a největší koeficient je 18.
• S₅₄₃₂₁S₅₄₃₂₁ je součet 1433 výrazů s celkovou multiplicitou 26704 a největším koeficientem (koeficient S_86543211) je 176.
• S₆₅₄₃₂₁S₆₅₄₃₂₁ je součet 10873 výrazů s celkovou multiplicitou 1458444 (průměrná hodnota koeficientů je tedy více než 100 a mohou být i 2064).

Původní příklad uvedený uživatelem Littlewood & Richardson (1934, str. 122-124) bylo (po opravě 3 obrazů, které našli, ale zapomněli zahrnout do konečné částky)

• S₄₃₁S₂₂₁ = S₆₅₂ + S₆₅₁₁ + S₆₄₃ + 2S₆₄₂₁ + S₆₄₁₁₁ + S₆₃₃₁ + S₆₃₂₂ + S₆₃₂₁₁ + S₅₅₃ + 2S₅₅₂₁ + S₅₅₁₁₁ + 2S₅₄₃₁ + 2S₅₄₂₂ + 3S₅₄₂₁₁ + S₅₄₁₁₁₁ + S₅₃₃₂ + S₅₃₃₁₁ + 2S₅₃₂₂₁ + S₅₃₂₁₁₁ + S₄₄₃₂ + S₄₄₃₁₁ + 2S₄₄₂₂₁ + S₄₄₂₁₁₁ + S₄₃₃₂₁ + S₄₃₂₂₂ + S₄₃₂₂₁₁

s 26 pojmy pocházejícími z následujících 34 výjevů:

....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11 ....11    ...22  ...22  ...2   ...2   ...2   ...2   ...    ...    ....3     .      .23    .2     .3     .      .22    .2     .2            3             3      2      2      3      23     2                                         3                    3....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1   ...12  ...12  ...12  ...12  ...1   ...1   ...1   ...2   ...1.23    .2     .3     .      .23    .22    .2     .1     .2             3      2      2      2      3      23     23     2                     3                                  3....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1  ....1   ...2   ...2   ...2   ...    ...    ...    ...    ...    .1     .3     .      .12    .12    .1     .2     .2      2      1      1      23     2      22     13     13      2      2             3      3      2      2              3                                  3....   ....   ....   ....   ....   ....   ....   ....   ...1   ...1   ...1   ...1   ...1   ...    ...    ...    .12    .12    .1     .2     .2     .11    .1     .1      23     2      22     13     1      22     12     12       3      3      2      2      3      23     2                            3                    3

Výpočet šikmých Schurových funkcí je podobný. Například 15 obrazů Littlewood – Richardson pro ν = 5432 a λ = 331 je

...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11 ...11...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2  ...2.11   .11   .11   .12   .11   .12   .13   .13   .23   .13   .13   .12   .12   .23   .2312    13    22    12    23    13    12    24    14    14    22    23    33    13    34

tak S_5432/331 = ΣC^ν
_λμ  S_μ = S₅₂ + S₅₁₁ + S₄₁₁₁ + S₂₂₂₁ + 2S₄₃ + 2S₃₂₁₁ + 2S₃₂₂ + 2S₃₃₁ + 3S₄₂₁ (Fulton 1997, str. 64).

Reference

• Fulton, William (1997), Mladé obrazy, London Mathematical Society Student Texts, 35, Cambridge University Press, str. 121, ISBN  978-0-521-56144-0, PAN  1464693
• Gasharov, Vesselin (1998), „Krátký důkaz pravidla Littlewood-Richardson“, European Journal of Combinatorics, 19 (4): 451–453, doi:10.1006 / eujc.1998.0212, ISSN  0195-6698, PAN  1630540
• James, Gordon (1987), „Teorie reprezentace symetrických skupin“, Konference Arcata o zastoupení konečných skupin (Arcata, Kalifornie, 1986), Proc. Symposy. Čistá matematika., 47„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 111–126, PAN  0933355
• Knuth, Donald E. (1970), „Permutace, matice a generalizované Youngovy obrazy“, Pacific Journal of Mathematics, 34: 709–727, doi:10,2140 / pjm.1970.34.709, ISSN  0030-8730, PAN  0272654
• Littelmann, Peter (1994), „Pravidlo Littlewood-Richardson pro symetrizovatelné Kac-Moodyho algebry“ (PDF), Vymyslet. Matematika., 116: 329–346, doi:10.1007 / BF01231564
• Littlewood, Dudley E. (1950), Teorie skupinových znaků a maticová reprezentace skupin, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN  978-0-8218-4067-2, PAN  0002127
• Littlewood, D. E .; Richardson, A. R. (1934), "Skupinové postavy a algebra", Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Série A, obsahující články matematického nebo fyzického charakteruKrálovská společnost 233 (721–730): 99–141, doi:10.1098 / rsta.1934.0015, ISSN  0264-3952, JSTOR  91293
• Macdonald, I. G. (1995), Symetrické funkce a Hallovy polynomy Oxfordské matematické monografie (2. vydání), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853489-1, PAN  1354144, archivovány z originál dne 2012-12-11
• Okada, Soichi (1998), „Aplikace vzorců menších součtů na obdélníkové reprezentace klasických skupin“, Journal of Algebra, 205 (2): 337–367, doi:10.1006 / jabr.1997.7408, ISSN  0021-8693, PAN  1632816
• Robinson, G. de B. (1938), „O zastoupeních symetrické skupiny“, American Journal of Mathematics Johns Hopkins University Press, 60 (3): 745–760, doi:10.2307/2371609, ISSN  0002-9327, JSTOR  2371609 Zbl0019.25102
• Schensted, C. (1961), „Nejdelší rostoucí a klesající subsekvence“, Kanadský žurnál matematiky, 13: 179–191, doi:10.4153 / CJM-1961-015-3, ISSN  0008-414X, PAN  0121305
• Schützenberger, M. P. (1963), „Quelques remarques sur une construction de Schensted“, Mathematica Scandinavica, 12: 117–128, doi:10,7146 / math.scand.a-10676, ISSN  0025-5521, PAN  0190017^{[trvalý mrtvý odkaz ]}
• Schützenberger, Marcel-Paul (1977), "La korespondence de Robinson", Combinatoire et représentation du groupe symétrique (Actes Table Ronde CNRS, Univ. Louis-Pasteur Strasbourg, Štrasburk, 1976) Přednášky z matematiky, 579, Berlín, New York: Springer-Verlag, str.59–113, doi:10.1007 / BFb0090012, ISBN  978-3-540-08143-2, PAN  0498826
• Stembridge, John R. (2002), „Stručný důkaz pravidla Littlewood-Richardsona“ (PDF), Electronic Journal of Combinatorics, 9 (1): Poznámka 5, 4 s. (Elektronická), ISSN  1077-8926, PAN  1912814
• Thomas, Glânffrwd P. (1974), Baxterovy algebry a Schurovy funkce, Ph.D. Diplomová práce, Swansea: University College of Swansea
• van Leeuwen, Marc A. A. (2001), „Pravidlo Littlewood-Richardson a související kombinatorika“, Interakce kombinatoriky a teorie reprezentace (PDF), MSJ Mem., 11, Tokio: Matematika. Soc. Japonsko, str. 95–145, PAN  1862150
• Zelevinsky, A. V. (1981), „Zevšeobecnění pravidla Littlewood-Richardson a korespondence Robinson-Schensted-Knuth“, Journal of Algebra, 69 (1): 82–94, doi:10.1016/0021-8693(81)90128-9, ISSN  0021-8693, PAN  0613858

externí odkazy

• Online program, rozkládající produkty Schurovy funkce pomocí pravidla Littlewood – Richardson