Domněnka Agoh – Giuga - Agoh–Giuga conjecture

v teorie čísel the Domněnka Agoh – Giuga na Bernoulliho čísla B_k to předpokládá p je prvočíslo kdyby a jen kdyby

${ displaystyle pB_ {p-1} equiv -1 { pmod {p}}.}$

Je pojmenován po Takashi Agoh a Giuseppe Giuga.

Ekvivalentní formulace

Domněnka, jak je uvedeno výše, je způsobena Takashi Agoh (1990); ekvivalentní formulace je způsobena Giuseppe Giuga z roku 1950 v tom smyslu p je hlavní právě tehdy

${ displaystyle 1 ^ {p-1} + 2 ^ {p-1} + cdots + (p-1) ^ {p-1} equiv -1 { pmod {p}}}$

které lze také zapsat jako

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} equiv -1 { pmod {p}}.}$

Je triviální to ukázat p být prvočíslem je dostatečné pro druhou rovnocennost, protože pokud p je hlavní, Fermatova malá věta tvrdí, že

${ displaystyle a ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p}}}$

pro ${ displaystyle a = 1,2, tečky, p-1}$a poté následuje rovnocennost ${ displaystyle p-1 equiv -1 { pmod {p}}.}$

Postavení

Tvrzení je stále domněnkou, protože dosud nebylo prokázáno, že pokud je číslo n není prime (tj. n je kompozitní ), potom vzorec neplatí. Ukázalo se, že složené číslo n splňuje vzorec tehdy a jen tehdy, je-li obojí a Carmichael číslo a a Číslo Giuga „A pokud takové číslo existuje, má alespoň 13 800 číslic (Borwein, Borwein, Borwein, Girgensohn 1996). Laerte Sorini konečně v práci z roku 2001 ukázala, že možným protikladem by mělo být číslo n větší než 10³⁶⁰⁶⁷ což představuje limit navrhovaný Bedocchim pro demonstrační techniku ​​specifikovanou Giugou pro jeho vlastní domněnku.

Vztah k Wilsonově teorému

Domněnka Agoh – Giuga se podobá Wilsonova věta, což se ukázalo jako pravda. Wilsonova věta uvádí, že číslo p je hlavní právě tehdy

${ displaystyle (p-1)! equiv -1 { pmod {p}},}$

které lze také napsat jako

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {p-1} i equiv -1 { pmod {p}}.}$

Pro liché prvočíslo p máme

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} equiv (-1) ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p}},}$

a pro p = 2 máme

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} equiv (-1) ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p}}.}$

Takže pravda domněnky Agoh – Giuga v kombinaci s Wilsonovou teorémou dá: číslo p je hlavní právě tehdy

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} equiv -1 { pmod {p}}}$

a

${ displaystyle prod _ {i = 1} ^ {p-1} i ^ {p-1} equiv 1 { pmod {p}}.}$

Reference

• Giuga, Giuseppe (1951). „Su una presumibile proprietà caratteristica dei numeri primi“. Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend., Cl. Sci. Rohož. Natur. (v italštině). 83: 511–518. ISSN  0375-9164. Zbl  0045.01801.
• Agoh, Takashi (1995). „O domněnce Giuga“. Manuscripta Mathematica. 87 (4): 501–510. doi:10.1007 / bf02570490. Zbl  0845.11004.
• Borwein, D.; Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; Girgensohn, R. (1996). „Giugova domněnka o primalitě“ (PDF). Americký matematický měsíčník. 103 (1): 40–50. CiteSeerX  10.1.1.586.1424. doi:10.2307/2975213. JSTOR  2975213. Zbl  0860.11003. Archivovány od originál (PDF) dne 2005-05-31. Citováno 2005-05-29.
• Sorini, Laerte (2001). „Un Metodo Euristico per la Soluzione della Congettura di Giuga“. Quaderni di Economia, Matematica e Statistica, DESP, Università di Urbino Carlo Bo (v italštině). 68. ISSN  1720-9668.